同济大学___高数上册知识点.pdf
高等数学（上）期末复习要点第 1 页 共 9 页高等数学上册复习要点高等数学上册复习要点一、一、函数与极限函数与极限（一）（一）函数函数1 1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2 2、反函数、复合函数、函数的运算；反函数、复合函数、函数的运算；3 3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数；初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数；4 4、函数的连续性与间断点；函数的连续性与间断点；函数函数)(xf在在0 x连续连续)()(lim00 xfxfxx第一类：左右极限均存在第一类：左右极限均存在.间断点间断点可去间断点、跳跃间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在第二类：左右极限、至少有一个不存在.无穷间断点、振荡间断点无穷间断点、振荡间断点5 5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论理及其推论.（二）（二）极限极限1 1、定义定义1 1）数列极限数列极限axNnNaxnnn ,0lim2 2）函数极限函数极限AxfxxxAxfxx)(0 ,0 ,0)(lim00时，时，当当左极限：左极限：)(lim)(00 xfxfxx右极限：右极限：)(lim)(00 xfxfxx高等数学（上）期末复习要点第 2 页 共 9 页)()()(lim000 xfxfAxfxx存存在在2 2、极限存在准则极限存在准则1 1）夹逼准则：夹逼准则：1 1）)(0nnzxynnn2 2）azynnnnlimlimaxnnlim2 2）单调有界准则：单调有界数列必有极限单调有界准则：单调有界数列必有极限.3 3、无穷小（大）量无穷小（大）量1 1）定义：若定义：若0lim则称为无穷小量；若则称为无穷小量；若lim则称为无穷大量则称为无穷大量.2 2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小阶无穷小Th1Th1)(o;Th2Th2limlim lim,存在，则存在，则（无穷小代换）（无穷小代换）4 4、求极限的方法求极限的方法1 1）单调有界准则；单调有界准则；2 2）夹逼准则；夹逼准则；3 3）极限运算准则及函数连续性；极限运算准则及函数连续性；4 4）两个重要极限：两个重要极限：a)a)1sinlim0 xxxb)b)exxxxxx)11(lim)1(lim105 5）无穷小代换无穷小代换：（0 x）a)a)xxxxxarctanarcsintansinb)b)221cos1xx高等数学（上）期末复习要点第 3 页 共 9 页c)c)xex1（axaxln1）d)d)xx)1ln(（axxaln)1(log）e)e)xx1)1(二、二、导数与微分导数与微分（一）（一）导数导数1 1、定义：定义：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx左导数：左导数：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx右导数：右导数：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx函数函数)(xf在在0 x点可导点可导)()(00 xfxf2 2、几何意义：几何意义：)(0 xf 为曲线为曲线)(xfy 在点在点)(,00 xfx处的切线的斜率处的切线的斜率.3 3、可导与连续的关系：可导与连续的关系：4 4、求导的方法求导的方法1 1）导数定义；导数定义；2 2）基本公式；基本公式；3 3）四则运算；四则运算；4 4）复合函数求导（链式法则复合函数求导（链式法则）；5 5）隐函数求导数；隐函数求导数；6 6）参数方程求导；参数方程求导；7 7）对数求导法对数求导法.5 5、高阶导数高阶导数高等数学（上）期末复习要点第 4 页 共 9 页1 1）定义：定义：dxdydxddxyd222 2）LeibnizLeibniz 公式：公式：nkknkknnvuCuv0)()()(（二）（二）微分微分1 1）定义：定义：)()()(00 xoxAxfxxfy，其中，其中A与与x无关无关.2 2）可微与可导的关系：可微可微与可导的关系：可微可导，且可导，且dxxfxxfdy)()(00三、三、微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用（一）（一）中值定理中值定理1 1、RolleRolle 罗尔定理：若函数罗尔定理：若函数)(xf满足：满足：1 1）,)(baCxf；2 2）),()(baDxf；3 3）)()(bfaf；则则0)(),(fba使使.2 2、LagrangeLagrange 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若函数：若函数)(xf满足：满足：1 1）,)(baCxf；2 2）),()(baDxf；则则)()()(),(abfafbfba使使.3 3、CauchyCauchy 柯西柯西中值定理：若函数中值定理：若函数)(),(xFxf满足：满足：1 1）,)(),(baCxFxf；2 2）),()(),(baDxFxf；3 3）),(,0)(baxxF则则)()()()()()(),(FfaFbFafbfba使使（二）（二）洛必达法则洛必达法则（三）（三）TaylorTaylor 公式公式高等数学（上）期末复习要点第 5 页 共 9 页（四）（四）单调性及极值单调性及极值1 1、单调性判别法：单调性判别法：,)(baCxf，),()(baDxf，则若，则若0)(xf，则，则)(xf单调增加；则若单调增加；则若0)(xf，则，则)(xf单调减少单调减少.2 2、极值及其判定定理：极值及其判定定理：a)a)必要条件：必要条件：)(xf在在0 x可导，若可导，若0 x为为)(xf的极值点，则的极值点，则0)(0 xf.b)b)第一充分条件第一充分条件：)(xf在在0 x的邻域内可导的邻域内可导，且且0)(0 xf，则则若当若当0 xx 时时，0)(xf，当当0 xx 时时，0)(xf，则则0 x为极大值点为极大值点；若当若当0 xx 时时，0)(xf，当当0 xx 时时，0)(xf，则则0 x为极小值点为极小值点；若在若在0 x的的两侧两侧)(xf 不变号，则不变号，则0 x不是极值点不是极值点.c)c)第二充分条件第二充分条件：)(xf在在0 x处二阶可导处二阶可导，且且0)(0 xf，0)(0 xf，则则若若0)(0 xf，则则0 x为极大值点为极大值点；若若0)(0 xf，则则0 x为极小值点为极小值点.3 3、凹凸性及其判断，拐点凹凸性及其判断，拐点1 1）)(xf在区间在区间I I上连续上连续，若若2)()()2(,212121xfxfxxfIxx，则称则称)(xf在在区间区间I I上的图形是凹的上的图形是凹的；若若2)()()2(,212121xfxfxxfIxx，则称则称)(xf在在区间区间I I上的图形是凸的上的图形是凸的.2 2）判定定理：）判定定理：)(xf在在,ba上连续，在上连续，在),(ba上有一阶、二阶导数，则上有一阶、二阶导数，则a)a)若若0)(),(xfbax,则则)(xf在在,ba上的图形是凹的；上的图形是凹的；b)b)若若0)(),(xfbax,则则)(xf在在,ba上的图形是凸的上的图形是凸的.3 3）拐点拐点：设设)(xfy 在区间在区间I I上连续上连续，0 x是是)(xf的内点的内点，如果曲线如果曲线)(xfy 经经过点过点)(,(00 xfx时时，曲线的凹凸性改变了曲线的凹凸性改变了，则称点则称点)(,(00 xfx为曲线的拐点为曲线的拐点.（五）（五）不等式证明不等式证明高等数学（上）期末复习要点第 6 页 共 9 页1 1、利用微分中值定理；利用微分中值定理；2 2、利用函数单调性；利用函数单调性；3 3、利用极值（最值）利用极值（最值）.（六）（六）方程根的讨论方程根的讨论1 1、连续函数的介值定理；连续函数的介值定理；2 2、RolleRolle 定理；定理；3 3、函数的单调性；函数的单调性；4 4、极值、最值；极值、最值；5 5、凹凸性凹凸性.（七）（七）渐近线渐近线1 1、铅直渐近线：铅直渐近线：)(limxfax，则，则ax 为一条铅直渐近线；为一条铅直渐近线；2 2、水平渐近线：水平渐近线：bxfx)(lim，则，则by 为一条水平渐近线；为一条水平渐近线；四、四、不定积分不定积分（一）（一）概念和性质概念和性质1 1、原函数原函数：在区间在区间I I上上，若函数若函数)(xF可导可导，且且)()(xfxF，则则)(xF称为称为)(xf的一个原函数的一个原函数.2 2、不定积分：在区间不定积分：在区间I I上，函数上，函数)(xf的带有任意常数的原函数称为的带有任意常数的原函数称为)(xf在在区间区间I I上的不定积分上的不定积分.3 3、基本积分表（基本积分表（P188P188，1313 个公式个公式）；4 4、性质（线性性）性质（线性性）.高等数学（上）期末复习要点第 7 页 共 9 页（二）（二）换元积分法换元积分法1 1、第一类换元法（凑微分第一类换元法（凑微分）：)()(d)()(xuduufxxxf2 2、第二类换元法（变量代换：三角代换、倒代换、根式代换等第二类换元法（变量代换：三角代换、倒代换、根式代换等）：)(1d)()()(xttttfdxxf（三）（三）分部积分法：分部积分法：vduuvudv（反对幂指三，前（反对幂指三，前 U U 后后 V V）（四）（四）有理函数积分有理函数积分1 1、“拆拆”；2 2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、五、定积分定积分（一）（一）概念与性质：概念与性质：1 1、定义：定义：niiibaxfdxxf10)(lim)(2 2、性质性质：（7 7 条）条）性质性质 7 7（积分中值定理）（积分中值定理）函数函数)(xf在区间在区间,ba上连续，则上连续，则,ba，使，使)()(abfdxxfba（平均值：（平均值：abdxxffba)()(）（二）（二）微积分基本公式（微积分基本公式（N NL L 公式）公式）1 1、变上限积分：设变上限积分：设xadttfx)()(，则，则)()(xfx 高等数学（上）期末复习要点第 8 页 共 9 页推广：推广：)()()()()()()(xxfxxfdttfdxdxx2 2、N NL L 公式公式：若若)(xF为为)(xf的一个原函数的一个原函数，则则)()()(aFbFdxxfba（三）（三）换元法和分部积分换元法和分部积分1 1、换元法：换元法：tttfdxxfbad)()()(2 2、分部积分法：分部积分法：bababavduuvudv（四）（四）反常积分反常积分1 1、无穷积分：无穷积分：tatadxxfdxxf)(lim)(bttbdxxfdxxf)(lim)(00)()()(dxxfdxxfdxxf2 2、瑕积分：瑕积分：btatbadxxfdxxf)(lim)(（a 为瑕点）为瑕点）tabtbadxxfdxxf)(lim)(（b 为瑕点）为瑕点）两个重要的反常积分：两个重要的反常积分：1)1 ,11 ,d1ppapxxpap高等数学（上）期末复习要点第 9 页 共 9 页2)1 ,1 ,1)()(d)(d1qqqabxbxaxxqbaqbaq
