22等差数列(第1课时)学案.doc
第1课时等差数列1理解等差数列的概念，明确“同一个常数”的含义2掌握等差数列的通项公式及其应用3会判定或证明等差数列；了解等差数列与一次函数的关系1等差数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于_，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的_，通常用字母d表示(1)定义中“每一项与它的前一项的差”的含义有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻(2)公差dR，当d0时，数列为常数列；当d0时，数列为递增数列；当d0时，数列为递减数列【做一做1】 等差数列4,7,10,13,16的公差等于_2通项公式等差数列an的首项是a1，公差是d，则通项公式是an_.(1)如果数列an的通项公式是anpnq(p，q是常数)，那么数列an是等差数列(2)如果数列an满足2anan1an1(n1，nN*)，那么数列an是等差数列【做一做2】 已知等差数列an中，首项a14，公差d2，则通项公式an等于()A42n B2n4C62n D2n63等差中项如果三个数a，A，b成等差数列，那么_叫做_的等差中项等差中项的性质：A是a与b的等差中项，则A或2Aab，即两个数的等差中项有且只有一个当2Aab时，A是a与b的等差中项【做一做3】 13与11的等差中项m_.答案：1(1)同一个常数公差【做一做1】 32a1(n1)d【做一做2】 C3Aa与b【做一做3】 11对等差数列定义的理解剖析：(1)等差数列定义中的关键词是：“从第2项起”与“同一个常数”如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列如果一个数列，从第2项起，每一项与前一项的差，尽管是常数，但这个数列也不一定是等差数列这是因为这些常数可能不相同，必须是同一个常数，才是等差数列(2)也可以用数学符号语言叙述等差数列的定义：在数列an中，如果an1and(常数)对任意nN*都成立，则称数列an为等差数列，常数d称为等差数列的公差(3)公差是数列中的某一项(除第一项外)与其前一项的差，不可颠倒，即dan1ananan1a3a2a2a1.(4)切忌只通过计算数列中特殊几项的差后，发现它们是同一个常数，就断言此数列为等差数列2对等差数列通项公式的理解剖析：(1)从函数的角度看等差数列的通项公式由等差数列的通项公式ana1(n1)d可得andn(a1d)，如果设pd，qa1d，那么anpnq，其中p，q是常数当p0时，an是关于n的一次函数，即(n，an)在一次函数ypxq的图象上，因此从图象上看，表示等差数列的各点均在一次函数ypxq的图象上所以公差不为零的等差数列的图象是直线ypxq上的均匀排开的一群孤立的点当p0时，anq，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀分布的一群孤立的点(2)由两点确定一条直线的性质可以得出，已知等差数列的任意两项可以确定这个等差数列若已知等差数列的通项公式，可以写出数列中的任意一项(3)等差数列an的通项公式ana1(n1)d中共含有四个变数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”题型一 求等差数列的通项公式【例题1】 若an是等差数列，a158，a6020，求an.分析：先求出a1，d，然后求an.反思：一般地，可由ama，anb，得求出a1和d，从而确定通项公式题型二 等差数列的判定与证明【例题2】 已知数列an的通项公式为an42n，求证：数列an是等差数列分析：只需证明an1an常数或anan1常数(n2)反思：已知数列an的通项公式anf(n)，用定义判断或证明an是等差数列的步骤：(1)利用通项公式anf(n)写出an1f(n1)(或an1f(n1)；(2)作差an1an(或anan1)，将差变形；(3)当差an1an(或anan1)是一个与n无关的常数时，数列an是等差数列；当差an1an(或anan1)不是常数，是与n有关的代数式时，数列an不是等差数列题型三 实际应用问题【例题3】 梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度分析：要求梯子中间各级的宽度，必须知道各级宽度组成的等差数列的公差又梯子的级数是12，因此，该问题相当于已知等差数列的首项、末项及项数求公差反思：解决实际应用问题的关键是建立数学模型，本题中的数学模型是已知等差数列的首项和末项及项数，求各项题型四 易错辨析【例题4】 若数列an的通项公式为an10lg 2n，求证数列an为等差数列错解：因为an10lg 2n10nlg 2，所以a110lg 2，a2102lg 2，a3103lg 2，所以a2a1lg 2，a3a2lg 2，则a2a1a3a2，故数列an为等差数列错因分析：a3a2a2a1常数，不能满足等差数列的定义中“从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数”的要求反思：要说明一个数列为等差数列，必须说明从第二项起所有的项与其前一项之差为同一常数，即anan1d(n2)恒成立，而不能只验证有限个相邻两项之差相等答案：【例题1】 解：由题意，知解得故ana1(n1)d(n1)×n4.【例题2】 证明：an42n，an142(n1)22n.an1an(22n)(42n)2.an是等差数列【例题3】 解：设梯子的第n级的宽为an cm，其中最高一级宽为a1 cm，则数列an是等差数列由题意，得a133，a12110，n12，则a12a111d.所以1103311d，解得d7.所以a233740，a340747，a11967103，即梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm，96 cm，103 cm.【例题4】 正解：因为an10lg 2n10nlg 2，所以an110(n1)lg 2.所以an1an10(n1)lg 2(10nlg 2)lg 2(nN*)所以数列an为等差数列1 (2011·吉林长春高三调研)在等差数列an中，a1·a38，a23，则公差d()A1 B1 C±1 D±22等差数列3,1,5，的第15项为()A40 B53 C63 D763等差数列1，1，3，89的项数是()A92 B47 C46 D454已知数列an的通项公式是an7n2，求证：数列lg an是等差数列5有一正四棱台形楼顶，其中一个侧面中最上面一行铺瓦30块，总共需要铺瓦15行，并且下一行比其上一行多铺3块瓦，求该侧面最下面一行需铺瓦多少块？答案：1C由题意解得d±1.2Ba13，d1(3)4，故a15a1(151)d314×453.3Ca11，d(1)12，故ana1(n1)d32n，令8932n，解得n46.4分析：转化为证明lg an1lg an是一个与n无关的常数证明：设bnlg anlg 7n2(n2)lg 7，则bn1(n1)2lg 7(n3)lg 7，则bn1bn(n3)lg 7(n2)lg 7lg 7常数所以数列bn是等差数列，即数列lg an是等差数列5分析：转化为求等差数列的第15项解：设从上面开始第n行铺瓦an块，则数列an是首项为30，公差为3的等差数列则a15a114d3014×372，即该侧面最下面一行应铺瓦72块第 4 页 共 4 页
