2017年初中数学竞赛辅导综合试题及答案.doc

优质文本2017年初中数学竞赛辅导综合试题一、选择题1、三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0恰有一个公共根，那么的值为 A、0B、1C、2D、32、设a,b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是，那么的值为 A、2B、0C、-2D、-1YXFDOBACE(4题)3、正实数a1,a2,.，a2011满足a1+a2+.+a2011=1,设P=，那么 A、p>2012B、p=2012C、p<2012D、p与2012的大小关系不确定NCMBAD(5题)4、如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE，有以下结论：CEF与DEF的面积相等；EFCD；DCECDF；AC=BD；CEF的面积等于，其中正确的个数有 A、2B、3C、4D、55、如图，正方形ABCE的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，且CMN的周长为2，那么MAN的面积的最小值为 A、B、C、D、二、填空题每题5分，共25分6、实数x，y满足，那么3x2-2y2+3x-3y-2012= EOXLAYBCDM·7、实数a,b,c满足a+b+c=10,且,那么的值是 8、 如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O0，0、A0，6、B4，6、C4，4、D6，4，E6，0，假设直线L经过点M2，3，且将多边形OABCDE分割成面积相等的两局部，那么直线L的函数表达式是 ADNMGBEFC9、如图，在正方形ABCD中，AEF的顶点E，F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连BD分别交AE、AF于点M、N，假设EG=4，GF=6，BM=，那么MN的长为 10、菱形A1B1C1D1的边长为2，A1B1C1=60°，对角线A1C1，B1D1相较于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如下图的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3菱形A2B2C2D2，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，An，那么点An的坐标为 三、解答题11、边长为整数的直角三角形，假设其两直角边边长是方程x2-(k+2)x+4k=0的两根，求k的值，并确定直角三角形三边之长。10分12、如图1，等腰RtCEF的斜边CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，CF>BC，取线段AE的中点M 。1求证：MD=MF,MDMF(6分)2假设RtCEF绕点C顺时针旋转任意角度如图2，其他条件不变。1中的结论是否仍然成立，假设成立，请证明，假设不成立，请说明理由。6分ADFMECB(图2)EFMDABC图1161116X(周)2030Y(元)ADCB13、黄冈市三运会期间，武穴黄商有一种姚明牌运动装每件的销售价y元与时间x周之间的函数关系式对应的点都在如下图的图象上，该图象从左至右，依次是线段AB、线段BC、线段CD，而这种运动装每件的进价Z元与时间x周之间的函数关系式为Z=(1x16且x为整数) 1写出每件的销售价y元与时间x周之间的函数关系式；4分2设每件运动装销售利润为w，写出w元与时间x周之间的函数关系式；4分3求该运动装第几周出销时，每件运动装的销售利润最大？最大利润为多少？6分14.如图1所示，：点A2，1在双曲线C：y=上，直线l1：y=x+2，直线l2与l1关于原点成中心对称，F12，2，F22，2两点间的连线与曲线C在第一象限内的交点为B，P是曲线C上第一象限内异于B的一动点，过P作x轴平行线分别交l1，l2于M，N两点1求双曲线C及直线l2的解析式；2求证：PF2PF1=MN=4；3如图2所示，PF1F2的内切圆与F1F2，PF1，PF2三边分别相切于点Q，R，S，求证：点Q与点B重合参考公式：在平面坐标系中，假设有点Ax1，y1，Bx2，y2，那么A、B两点间的距离公式为AB=15.如图，在RtABC中，ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，O是BEF的外接圆，EBF的平分线交EF于点G，交O于点H，连接BD，FH1求证：ABCEBF；2试判断BD与O的位置关系，并说明理由；3假设AB=1，求HGHB的值16.AC，EC分别是四边形ABCD和EFDG的对角线，点E在ABC内，CAE+CBE=90°1如图，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BFi求证：CAECBF；ii假设BE=1，AE=2，求CE的长；2如图，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且=k时，假设BE=1，AE=2，CE=3，求k的值；3如图，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且DAB=GEF=45°时，设BE=m，AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系直接写出结果，不必写出解答过程 答案1.D解：ax²+bx+c=0 (1)bx²+cx+a=0 (2)cx²+ax+b=0 (3)(1) - (2) ，得(a-b)x²+(b-c)x+(c-a) = 0(a-b)x²-(a-b)-(a-c)x+(c-a )= 0x(a-b)(x-1)-(c-a)(x-1) = 0(x-1)x(a-b)-(c-a) = 0x=1是方程的解，又方程(1)和方程(2)恰有一个公共实数根，那么此根为x=1同理，由(1)和(3)、(2)和(3)同样解得公共实数根为x=1，代入(1)，得a+b+c=0 c=-(a+b)2.C解：把代入原方程得+因为因是整数,所以 也是整数,要使必须使的系数为0 那么有: ， 得,，得3.A利用极值法当，那么其它值都为0，得出函数的最小值，进而得出函数的取值范围解：正数，满足，中最大数小于等于1，要使此式子最小只要，中一个为1即可当，那么其他都为0，都是正实数4.C解：设点D的坐标为，那么F，0由函数的图象可知：x0，k0同理可得故 ， 正确假设两个三角形以EF为底，那么EF边上的高相等，故CDEF，即ABEF，AOBFOE. 正确条件缺乏，无法得到判定两三角形全等的条件，故错误；CDEF，DFBE，AF/CE四边形DBEF、ACEF是平行四边形，AE=EF,BD=EF即AC=EF=BD，BD=AC，AC+AB=BD+ABBC=AD 正确 ，因此正确的结论有3个： 5AADN绕A顺时针旋转90º，到达ABL.MNMB+BLMB+DN1-CM+1-CN2-CM+CNMNAMNAMLSSS MANMAL45º设CNx, CMy,那么x²+y²MN² 2-x+yMN 消去MN 得到2-x2-y2常数2-x2-y即xy时，2-x2-y4-x+y2+MN有最小值。此时 xy2-2, MN2-2x42-11.656854249 MAN的面积的最小值. 6. -1解：因为 (1) 所以 (2), 所以 = (3) 化简得 解得 假设x=-y，代入(1), 左边=-2011, 右边=2011, 矛盾, 故舍去. 假设 x=y，代入(1),解得所以原式=7 解：原式= = = =89 10解：菱形A1B1C1D1的边长为2，A1B1C1=60°，OA1=A1B1sin30°=2×=1，OB1=A1B1cos30°=2×=，A11，0B1C2D1A2菱形A1B1C1D1，OA2=3，A23，0同理可得A39，0An3n1，0故答案为：3n1，011.解：设直角边为a，ba<b，那么a+b=k+2，ab=4k，因为方程的根为整数，故=k+22-16k为完全平方数。设(k+2)2-16k=n2 k2-12k+4=n2 (k-6)2-n2=32(k+n-6)(k-n-6)=1×32=2×16=4×8k+n-6>k-n-6 解得舍去，,当时，a+b=17,ab=60 a=15 ， b=12 ， c=13；当时，a+b=14,ab=48a=6 ， b=8 ，c=1012.13、123由2化简得当时 1x6 当x=6时，w有最大值，最大值为18.5当 6x11，故当x=11时，w有最大值，最大值为当 12x16 当x=12时，w有最大值为18综上所述，当x=11时，w有最大值为答：该运动装第11周出售时，每件利润最大，最大利润为14.如图1所示，：点A2，1在双曲线C：y=上，直线l1：y=x+2，直线l2与l1关于原点成中心对称，F12，2，F22，2两点间的连线与曲线C在第一象限内的交点为B，P是曲线C上第一象限内异于B的一动点，过P作x轴平行线分别交l1，l2于M，N两点1求双曲线C及直线l2的解析式；2求证：PF2PF1=MN=4；3如图2所示，PF1F2的内切圆与F1F2，PF1，PF2三边分别相切于点Q，R，S，求证：点Q与点B重合参考公式：在平面坐标系中，假设有点Ax1，y1，Bx2，y2，那么A、B两点间的距离公式为AB=【分析】1利用点A的坐标求出a的值，根据原点对称的性质找出直线l2上两点的坐标，求出解析式；2设Px，利用两点距离公式分别求出PF1、PF2、PM、PN的长，相减得出结论；3利用切线长定理得出，并由2的结论PF2PF1=4得出PF2PF1=QF2QF1=4，再由两点间距离公式求出F1F2的长，计算出OQ和OB的长，得出点Q与点B重合14.【解答】解：1解：把A2，1代入y=中得：a=2×1=2，双曲线C：y=，直线l1与x轴、y轴的交点分别是2，0、0，2，它们关于原点的对称点分别是2，0、0，2，l2：y=x22设Px，由F12，2得：PF12=x22+22=x24x+8，PF12=x+22，x+2=0，PF1=x+2，PMx轴PM=PE+ME=PE+EF=x+2，PM=PF1，同理，PF22=x+22+22=x+22，PF2=x+2，PN=x+2因此PF2=PN，PF2PF1=PNPM=MN=4，3PF1F2的内切圆与F1F2，PF1，PF2三边分别相切于点Q，R，S，PF2PF1=QF2QF1=4又QF2+QF1=F1F2=4，QF1=22，QO=2，B，OB=2=OQ，所以，点Q与点B重合15.解；1证明：ABC=90°，EBF=90°，DFAC，ADF=90°，C+A=A+AFD=90°，C=BFE，在ABC与EBF中，ABCEBF；2BD与O相切，如图1，连接OB证明如下：OB=OF，OBF=OFB，ABC=90°，AD=CD，BD=CD，C=DBC，C=BFE，DBC=OBF，CBO+OBF=90°，DBC+CBO=90°，DBO=90°，BD与O相切；3解：如图2，连接CF，HE，CBF=90°，BC=BF，CF=BF，DF垂直平分AC，AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，BF=，ABCEBF，BE=AB=1，EF=，BH平分CBF，EH=FH，EHF是等腰直角三角形，HF=EF=，EFH=HBF=45°，BHF=BHF，BHFFHG，HGHB=HF2=2+16.解；1i证明：四边形ABCD和EFCG均为正方形，ACB=ECF=45°，ACE=BCF，在CAE和CBF中，CAECBFii解：CAECBF，CAE=CBF，又CAE+CBE=90°，CBF+CBE=90°，EBF=90°，又，AE=2，EF2=BE2+BF2=3，EF=，CE2=2EF2=6，CE=2如图，连接BF，=k，BC=a，AB=ka，FC=b，EF=kb，AC=，CE=，ACE=BCF，在ACE和BCF中，ACEBCF，CAE=CBF，又AE=2，BF=，CAE=CBF，CAE+CBE=90°，CBE+CBF=90°，EBF=90°，EF2=BE2+BF2=1，=，CE=3，EF=，1，解得k=±，=k0，k=3DAB=45°，ABC=180°45°=135°，在ABC中，根据余弦定理，可得AC2=AB2+BC22ABBCcos135°=2=在ACE和BCF中，ACEBCF，CAE=CBF，又AE=n，CAE=CBF，CAE+CBE=90°，CBE+CBF=90°，EBF=90°，EF2=BE2+BF2，2m2+n2=p2，即m，n，p三者之间满足的等量关系是：2m2+n2=p216 / 16