2017年镇海中学高中数学竞赛模拟试卷(4).doc

优质文本2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷4 姓名_一、填空题共10小题，每题6分，总分值60分。请直接将答案写在题中的横线上1假设函数的最小正周期为，那么在区间上的最大值为 。2集合，假设，那么实数的取值范围为 。3函数零点的个数为 。4如图，在正方体中，二面角的大小为 。5在空间四边形中，那么 。6直线过椭圆：的左焦点且交椭圆于、两点。为坐标原点，假设，那么点到直线的距离为 。7，假设关于的方程为虚数单位有实数根，那么复数的模的最小值为 。8将16本相同的书全局部给4个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，那么不同的分配方法种数为 。用数字作答9是定义在的函数，假设，且对任意，满足，那么 。10当，为正数时，的最大值为 。二、解答题共5小题，每题20分，总分值100分。要求写出解题过程11数列的前项和。1求的通项公式；2设，是数列的前项和，求正整数，使得对任意均有；3设，是数列的前项和，假设对任意均有成立，求的最小值。12。1假设曲线在点处的切线方程为，求，的值；2假设恒成立，求的最大值。13如图，、为双曲线：的左、右焦点，动点在双曲线上的右支上。设的角平分线交轴于点，交轴于点。1求的取值范围；2设过，的直线交双曲线于点，两点，求面积的最大值。15求满足以下条件的最小正整数：假设将集合任意划分为63个两两不相交的子集它们非空且并集为集合，那么总存在两个正整数，属于同一个子集且，。【解答】考虑模63的剩余类，即将集合划分为如下63个两两不相交的子集：，2，3，63。 5分那么对每一个及任意的，都有。于是，。 。假设，那么，与矛盾。 时，不满足题设条件。 10分另一方面，当时，由知，以下64个数：，都在集合中。因此，对将任意划分为63个两两不相交的子集，的划分方法，由抽屉原那么知，这64个数中必有两个数，属于同一个。 15分设，。于是，。 ，满足题设的条件。综上可知，满足题设条件的的最小值为2016。 20分2017年高中数学竞赛模拟试卷4参考答案一、填空题共10小题，每题6分，总分值60分。请直接将答案写在题中的横线上1假设函数的最小正周期为，那么在区间上的最大值为 。【答案】 【解答】 ，且的最小正周期为。 ，。又时， ，即时，在区间上取最大值。2集合，假设，那么实数的取值范围为 。【答案】 【解答】。由，得。 时，。满足。时，由，得，。满足。时，由，得，。由满足，得，。综合得，。的取值范围为。3函数零点的个数为 。【答案】 1【解答】 。时，；时，。 在区间上为减函数，在区间上为增函数。又时，；，。 函数的零点个数为1。或：作图考察函数与图像交点的个数。4如图，在正方体中，二面角的大小为 。【解答】设正方体棱长为1。作于，连结。由正方体的性质知，。 ， 为二面角的平面角，且，。 。 二面角的大小为。或：设、交于点，由，得。5在空间四边形中，那么 。【答案】 7【解答】 以，为基底向量。那么。 ，即 。 ， 。 。6直线过椭圆：的左焦点且交椭圆于、两点。为坐标原点，假设，那么点到直线的距离为 。【答案】 【解答】 。显然轴不符合要求。设直线方程为。由，得 的判别式大于0。设，那么，。由，得。 ，。 点到直线的距离为。7，假设关于的方程为虚数单位有实数根，那么复数的模的最小值为 。【答案】 1【解答】设，是方程的一个实数根。那么。 。由得，代入，得，。 ，当且仅当时等号成立。 的最小值为1。，或，即。8将16本相同的书全局部给4个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，那么不同的分配方法种数为 。用数字作答【答案】 216【解答】 将16分解成4个互不相同的正整数的和有9种不同的方式：，。 符合条件的不同分配方法有种。9是定义在的函数，假设，且对任意，满足，那么 。【答案】 【解答】 对任意， 又 ， 。 。 。10当，为正数时，的最大值为 。 【解答】 ，当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立。 。 ，当且仅当，即时等号成立。 的最大值为。注：此题利用待定系数法。将拆成两项和。由，以及，得。由此得到此题的解法。二、解答题共5小题，每题20分，总分值100分。要求写出解题过程11数列的前项和。1求的通项公式；2设，是数列的前项和，求正整数，使得对任意均有；3设，是数列的前项和，假设对任意均有成立，求的最小值。【解答】1由，得。两式相减，得。 ，数列为等比数列，公比。由又，得，。 。2。由计算可知，。当时，由，得当时，数列为递减数列。于是，时，。 时，。因此，。 对任意均有。故。 3 15分 。 对任意均有成立， 。的最小值为。 12。1假设曲线在点处的切线方程为，求，的值；2假设恒成立，求的最大值。【解答】1。依题意，有。解得，。 ，。 5分2设，那么，。 时，定义域，取使得，得。那么与矛盾。 时，不恒成立，即不符合要求。 10分 时，。当时，；当时，。 在区间上为增函数，在区间上为减函数。 在其定义域上有最大值，最大值为。由，得。 。 15分 。设，那么。 时，；时，。 在区间上为增函数，在区间上为减函数。 的最大值为。 当，时，取最大值为。综合，得，的最大值为。 20分14如图，、为双曲线：的左、右焦点，动点在双曲线上的右支上。设的角平分线交轴于点，交轴于点。1求的取值范围；2设过，的直线交双曲线于点，两点，求面积的最大值。【解答】1依题意，。第14题直线方程为；直线方程为。即直线方程为；直线方程为。由点在的平分线上，得。由，以及，得。 ，。 。 结合，得。 的取值范围为。 2由1知，直线方程为。令，得。故，点坐标为。 直线方程为。由，消得 的判别式。设，那么，。 15分 。由，得，。 ， 。设，那么，。 ，即点为时，面积取最大值。 面积的最大值为。 20分15求满足以下条件的最小正整数：假设将集合任意划分为63个两两不相交的子集它们非空且并集为集合，那么总存在两个正整数，属于同一个子集且，。【解答】考虑模63的剩余类，即将集合划分为如下63个两两不相交的子集：，2，3，63。 5分那么对每一个及任意的，都有。于是，。 。假设，那么，与矛盾。 时，不满足题设条件。 10分另一方面，当时，由知，以下64个数：，都在集合中。因此，对将任意划分为63个两两不相交的子集，的划分方法，由抽屉原那么知，这64个数中必有两个数，属于同一个。 15分设，。于是，。 ，满足题设的条件。综上可知，满足题设条件的的最小值为2016。 20分13 / 13