浙江专用2018版高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法6.2等差数列及其前n项和.doc

优质文本浙江专用2018版高考数学大一轮复习 第六章 数列与数学归纳法 6.2 等差数列及其前n项和教师用书1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列这时，A叫做a与b的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)假设an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，那么akalaman.(3)假设an是等差数列，公差为d，那么a2n也是等差数列，公差为2d.(4)假设an，bn是等差数列，那么panqbn也是等差数列(5)假设an是等差数列，公差为d，那么ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列5等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn或Snna1d.6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数)7等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，假设a1>0，d<0，那么Sn存在最大值；假设a1<0，d>0，那么Sn存在最小值【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2 (nN*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列【思考辨析】判断以下结论是否正确(请在括号中打“或“×)(1)假设一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，那么这个数列是等差数列(×)(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数(×)(4)等差数列an的通项公式an32n，那么它的公差为2.()1在等差数列an中，假设a24，a42，那么a6等于()A1 B0 C1 D6答案B解析由等差数列的性质，得a62a4a22×240，应选B.2(2016·全国乙卷)等差数列an前9项的和为27，a108，那么a100等于()A100 B99 C98 D97答案C解析由等差数列性质，知S99a527，得a53，而a108，因此公差d1，a100a1090d98，应选C.3(2016·绍兴一模)数列an中，a33，an1an2，那么a2a4_，an_.答案62n3解析由得an1an2，所以an为公差为2的等差数列，由a12d3，得a11，所以an1(n1)×22n3，a2a42a36.4假设等差数列an满足a7a8a9>0，a7a10<0，那么当n_时，an的前n项和最大答案8解析因为数列an是等差数列，且a7a8a93a80，所以a80.又a7a10a8a90，所以a90.故当n8时，其前n项和最大.题型一等差数列根本量的运算例1(1)在数列an中，假设a12，且对任意的nN*有2an112an，那么数列an前10项的和为()A2 B10 C. D.(2)(2016·北京)an为等差数列，Sn为其前n项和假设a16，a3a50，那么S6_.答案(1)C(2)6解析(1)由2an112an得an1an，所以数列an是首项为2，公差为的等差数列，所以S1010×(2)×.(2)a3a52a40，a40.又a16，a4a13d0，d2.S66×6×(2)6.思维升华等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，表达了用方程的思想解决问题(1)(2016·杭州模拟)设Sn是等差数列an的前n项和，a23，a611，那么S7等于()A13 B35C49 D63(2)(2016·江苏)an是等差数列，Sn是其前n项和假设a1a3，S510，那么a9的值是_答案(1)C(2)20解析(1)a1a7a2a631114，S749.(2)设等差数列an的公差为d，由题意可得解得那么a9a18d48×320.题型二等差数列的判定与证明例2数列an中，a1，an2(n2，nN*)，数列bn满足bn(nN*)(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由(1)证明因为an2(n2，nN*)，bn(nN*)，所以bn1bn1.又b1.所以数列bn是以为首项，1为公差的等差数列(2)解由(1)知bnn，那么an11.设f(x)1，那么f(x)在区间(，)和(，)上为减函数所以当n3时，an取得最小值1，当n4时，an取得最大值3.引申探究例2中，假设条件变为a1，nan1(n1)ann(n1)，试求数列an的通项公式解由可得1，即1，又a1，是以为首项，1为公差的等差数列，(n1)·1n，ann2n.思维升华等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2后，可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根据定义得出数列an为等差数列(3)通项公式法：得出anpnq后，得an1anp对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an为等差数列(4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列an为等差数列(1)在数列an中，假设a11，a2，(nN*)，那么该数列的通项为()Aan BanCan Dan答案A解析由式可得，知是首项为1，公差为211的等差数列，所以n，即an.(2)数列an满足a11，a22，an22an1an2.设bnan1an，证明bn是等差数列；求an的通项公式证明由an22an1an2，得an2an1an1an2，即bn1bn2.又b1a2a11，所以bn是首项为1，公差为2的等差数列解由得bn12(n1)2n1，即an1an2n1.于是 (ak1ak) (2k1)，所以an1a1n2，即an1n2a1.又a11，所以an的通项公式为ann22n2.题型三等差数列性质的应用命题点1等差数列项的性质例3(1)(2016·浙江五校第一次联考)an为等差数列，假设a1a5a98，那么an前9项的和S9_，cos(a3a7)的值为_(2)an，bn都是等差数列，假设a1b109，a3b815，那么a5b6_.答案(1)24(2)21解析(1)由a1a5a93a58，解得a5，所以an前9项的和S99a59×24.cos(a3a7)cos 2a5cos cos .(2)因为an，bn都是等差数列，所以2a3a1a5，2b8b10b6，所以2(a3b8)(a1b10)(a5b6)，即2×159(a5b6)，解得a5b621.命题点2等差数列前n项和的性质例4(1)设等差数列an的前n项和为Sn，且S312，S945，那么S12_.(2)在等差数列an中，a12 018，其前n项和为Sn，假设2，那么S2 018的值等于()A2 018 B2 016C2 019 D2 017答案(1)114(2)A解析(1)因为an是等差数列，所以S3，S6S3，S9S6，S12S9成等差数列，所以2(S6S3)S3(S9S6)，即2(S612)12(45S6)，解得S63.又2(S9S6)(S6S3)(S12S9)，即2×(453)(312)(S1245)，解得S12114.(2)由题意知，数列为等差数列，其公差为1，(2 0181)×12 0182 0171.S2 0182 018.思维升华等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列an中，aman(mn)dd(mn)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差(2)和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，那么S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an.(1)在等差数列an中，a4a816，那么该数列前11项和S11等于()A58 B88 C143 D176(2)等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn，假设，那么等于()A. B.C. D.答案(1)B(2)A解析(1)S1188.(2).5等差数列的前n项和及其最值考点分析 公差不为0的等差数列，求其前n项和与最值在高考中时常出现.题型有小题，也有大题，难度不大.典例1(1)在等差数列an中，2(a1a3a5)3(a7a9)54，那么此数列前10项的和S10等于()A45 B60C75 D90(2)在等差数列an中，S10100，S10010，那么S110_.解析(1)由题意得a3a89，所以S1045.(2)方法一设数列an的首项为a1，公差为d，那么解得所以S110110a1d110.方法二因为S100S1090，所以a11a1002，所以S110110.答案(1)A(2)110典例2在等差数列an中，a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值标准解答解a120，S10S15，10×20d15×20d，d.方法一由an20(n1)×n，得a130.即当n12时，an0，当n14时，an0.当n12或n13时，Sn取得最大值，且最大值为S12S1312×20×130.方法二Sn20n·n2n2.nN*，当n12或n13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.方法三由S10S15，得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.当n12或n13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.1(2016·重庆一诊)在数列an中，an1an2，a25，那么an的前4项和为()A9 B22C24 D32答案C解析由an1an2，知an为等差数列且公差d2，由a25，得a13，a37，a49，前4项和为357924，应选C.2在等差数列an中，a12，a2a313，那么a4a5a6等于()A40 B42C43 D45答案B解析a1a2a33a215，a25，又a12，d3，a4a5a63a53(a14d)3×1442.3(2016·佛山模拟)等差数列an满足a23，SnSn351(n>3)，Sn100，那么n的值为()A8 B9C10 D11答案C解析由SnSn351，得an2an1an51，所以an117，又a23，Sn100，解得n10.4(2016·绍兴柯桥区二模)各项均不为零的等差数列an中，假设an1aan1(nN*，n2)，那么S2 016等于()A0 B2 C2 015 D4 032答案D解析由可得a2an(n2)，an各项均不为零，an2(n2)，又an为等差数列，an2，S2 0164 032.5数列an满足an1an，且a15，设an的前n项和为Sn，那么使得Sn取得最大值的序号n的值为()A7 B8C7或8 D8或9答案C解析由题意可知数列an是首项为5，公差为的等差数列，所以an5(n1)，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以Sn取得最大值时，n7或n8，应选C.*6.设数列an的前n项和为Sn，假设为常数，那么称数列an为“桔祥数列等差数列bn的首项为1，公差不为0，假设数列bn为“桔祥数列，那么数列bn的通项公式为()Abnn1 Bbn2n1Cbnn1 Dbn2n1答案B解析设等差数列bn的公差为d(d0)，k，因为b11，那么nn(n1)dk2n×2n(2n1)d，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因为对任意的正整数n上式均成立，所以(4k1)d0，(2k1)(2d)0，又公差d0，解得d2，k.所以数列bn的通项公式为bn2n1.7数列an中，a11且(nN*)，那么a10_.答案解析由得(101)×134，故a10.8设数列an的通项公式为an2n10(nN*)，那么|a1|a2|a15|_.答案130解析由an2n10(nN*)知an是以8为首项，2为公差的等差数列，又由an2n100，得n5，当n5时，an0，当n5时，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.9设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，假设对任意自然数n都有，那么的值为_答案解析an，bn为等差数列，.，.10(2017·浙江新高考预测三)设数列an满足：a11，a23，且2nan(n1)an1(n1)an1，那么a20的值是_答案解析由2nan(n1)an1(n1)an1，得nan(n1)an1(n1)an1nan，又因为1×a11,2×a21×a15，所以数列nan是首项为1，公差为5的等差数列，那么20a20119×5，解得a20.11在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)假设数列an的前k项和Sk35，求k的值解(1)设等差数列an的公差为d，那么ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3，解得d2.从而an1(n1)×(2)32n.(2)由(1)可知an32n，所以Sn2nn2.由Sk35，可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5.又kN*，故k7.12假设数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：成等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明当n2时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，所以2，又2，故是首项为2，公差为2的等差数列(2)解由(1)可得2n，Sn.当n2时，anSnSn1.当n1时，a1不适合上式故an*13.数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Snan4(nN*)(1)求证：数列an为等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明当n1时，有2a1a14，即a2a130，解得a13(a11舍去)当n2时，有2Sn1an5，又2Snan4，两式相减得2anaa1，即a2an1a，也即(an1)2a，因此an1an1或an1an1.假设an1an1，那么anan11.而a13，所以a22，这与数列an的各项均为正数相矛盾，所以an1an1，即anan11，因此数列an是首项为3，公差为1的等差数列(2)解由(1)知a13，d1，所以数列an的通项公式an3(n1)×1n2，即ann2.13 / 13