2013高考数学 解题方法攻略 函数与导数2 理.doc

专题二 函数与导数一专题综述函数是整个高中数学的核心内容，所有知识都围绕这一主线展开，均可以与函数建立联系，函数知识的运用也贯穿高中学习的全过程，理所当然是高考的重点。1.考纲要求（1）掌握集合的概念与运算；（2）了解映射的概念；（3）掌握函数、反函数的概念，会建立简单的函数关系，并能求简单函数的反函数；（4）理解函数图像及函数图像关系的重要结论，能借助函数的图像解决函数自身、方程、不等式的有关问题；（5）掌握函数的性质（定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性）；能借助函数的性质去解决问题；（6）掌握函数的极限的定义，能求简单函数的极限；掌握函数连续的概念，了解函数有极限、连续的关系；（7）掌握导数的概念及意义，掌握常见函数的导数公式，能用导数求曲线的切线方程，能求简单函数的导数，能利用导数研究函数的单调性、最值。2.考题设置与分值：每年高考试题涉及函数的题目都占有相当大的比重（约30分），具体表现在：（1）以客观题的形式独立（或简单综合）考查函数的概念、图像、性质及其应用；（1-2题）（2）以主观题（解答题后三题之一）的形式考函数与导数的综合（1个解答题）（3）在其它知识考查时加入函数的成分，主要体现在：不等式与函数综合；数列与函数综合；解析几何与函数综合。3.考试重点及难度：（1）函数的基本性质，是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。研究基本性质：不可忽略定义域对函数性质的影响。函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度；对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，同时掌握运用导数方法研究函数单调性的方法步骤，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等；要善于挖掘抽象函数定义内涵，研究抽象函数的一些性质。会利用单调性、奇偶性解抽象函数值域问题，解抽象不等式等。(2)函数的图像。函数图像是函数形的体现，高考着力考查学生作图、识图、用图能力。作图是会应用基本函数图形或图形变换的方法，画出给定的图像；识图是要能从图像中分析函数性质或生成另外的图像；用图是会用数形结合思想，善于将代数问题图像化或图像问题代数化。 (3)函数的一些小结论。要重视并加强一些小结论形成过程的理解：例如：设函数的定义域为，则有：如恒成立函数图像关于对称；如经过变换得到两函数和，则所得两个函数图像关于对称；如恒成立函数是以为周期的周期函数；如恒成立函数图像关于点对称；如函数的图像关于对称，又关于对称，则函数一定是以为一个周期的周期函数；如函数的图像关于对称，又关于点对称，则函数一定是以为一个周期的周期函数；再如：抽象函数是有特殊、具体的函数抽象而得到。头脑中要有满足抽象条件的具体函数的模型。如，再如：指数函数图像大致形状，单调区间，值域应快速求出，等等。(4)函数思想与方法。函数是高中数学的主线，在考查其他知识时（如：方程、不等式、数列、解析几何、立体几何等）运用函数观念和方法找出解决问题的突破口这也是高考一种趋势；(5)导数。利用导数去研究函数，进而研究方程、不等式，这是高考的一个重要考点，一般以解答题的后三题的形式出现，所以有一定的难度。二考点选讲【考点1】函数的图像及其应用： 以客观题的形式考察函数的图像及其应用，这是高考的必考点，他体现了数形结合的数学思想。这类题一般以客观题的形式出现，虽说难度不大，但往往比较灵巧。对函数的图像我们不仅要会作，还要能识图、用图。【例1】单位圆中弧长为，表示弧与弦所围成弓形面积的2倍。则函数的图像是（ ）ABCD【解析】解一：定量分析。可列出，知时，图像在下方；时，图像在上方。选D解二：定性分析。当从增至时，变化经历了从慢到快，从快到慢的过程。解三：观察满足：，故图像以为对称中心。【注】 此题考查作图、识图、用图的能力。解析二与解析三直接避开求解析式，把图像与性质对应，通过性质，作出判断，本题对学生分析思考能力，要求较高。【练习1】已知函数为偶函数，则函数图像关于直线 对称，函数图像关于直线 对称。【练习2】设定义域为函数满足且当时，单调递增，如果且，则的值（ ）A、恒小于0 B、恒大于0 C、可能为0 D、可正可负【练习3】设函数f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的恒大于零的偶函数，且当x>0时有f /(x) g(x)<f(x) g /(x)，若f(1)=0，则不等式f(x)0的解集是 ( )A（-，-1）(1，+）B.-1，0）(0，1 C.（-，-1 0，1 D.（-1，0）(0，+)【注】通过构造函数来研究不等式（解不等式或证明不等式）是一种很重要的思路；【考点2】函数性质的研究及应用用客观题的形式综合考察函数的性质及其应用，这是近几年高考的必考点。【例2】函数y=f(x)（xR）满足：，当x-1，1时，f(x)=x 3,则f(2007)的值是A-1 B. 0 C.1 D. 2【解析】函数即关于原点对称，又关于直线x1对称，f（x）是以4为周期的周期函数f（2007）f（3）=f（-1）-1，选A【注】本题考查周期函数的应用，要注意关于周期函数的几个小结论。【练习1】（06上海卷）三个同学对问题“关于的不等式在上恒成立，求实数的范围”提出各自的解题思路：甲说：只需不等式左边最小值不小于右边最大值。乙说：把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数最值。丙说：把不等式两边看成关于的函数，作出函数的图像。参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的范围是 【练习2】定义在R上的函数f ( x )满足f (x+2)=3f ( x )， 当时，f (x ) = x 2-2x ，则当x-4,-2时，f(x)的最小值是（ ）A B. C. D. -1【注】这是一种呈周期萎缩的函数，一般的是f（x+T）=kf（x）（k1)，注意它的图像。【考点3】反函数的概念函数的反函数的概念、求法，反函数的定义域、值域与原函数的定义域、值域的关系在复习中要引起重视。【例3】已知f(x)是定义在R上的函数它的反函数是f -1(x)，若f -1(x+a)与f(x+a)互为反函数，且f(a)=a（a为非零常数），则f(2a)的值为A-a B. 0 C. a D. 2a【注】反函数是高考的必考点，在求反函数时要关注反函数的定义域原函数的值域。【考点4】导数的意义及应用【例4】已知函数，过点作曲线的切线的方程为_.【解析】【注】利用导数求切线的斜率，从而的切线的方程，这是基本思路；本题要注意;过某点的切线与再某点的切线是不同的概念。【练习1】设函数在定义域内可导，的图象如右图所示，则导函数y=f ¢(x)可能为（ ）xyO A B C D【注】考查原函数的单调性与其导函数的正负关系；也可根据原函数的极值点的情况做出判断。【练习2】.设球的半径为时间t的函数。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C 【考点5】抽象函数的问题给出一个抽象函数的条件，要你研究其性质，这类题最近几年高考大题未考，但在客观题中却不时出现，要掌握解这类题的基本思路赋值【例5】. 设函数定义在R+上，对任意的，恒有，且当x>1时，。试解决以下问题：（1）求的值，并判断的单调性；（2）设，若 AB，求实数a的取值范围；（3）若，满足求证：【练习1】 定义在（-1，1）上的函数f(x)满足：对任意x、y (-1,1)都有。（I）求证：函数f(x)是奇函数；（II）如果当 时，有f(x)>0，判断f(x)在 (-1,1)上的单调性，并加以证明；（III）设-1<a<1，解不等式： 【考点6】函数、导数的综合问题用导数研究函数的性质，进而解决其他问题（方程的根的问题、不等式恒成立的问题），这是近几年高考的趋势，一般以后三题的形式出现，题目有一定的难度，但这类题易入手。【例6】.设函数f(x)=（1）求f(x)的极值；（2）求f(x)的对称中心；（3）设 f(x)的定义域是D，是否存在a，bD，当xa，b时，f(x)的值域 ?若存在，求出实数a，b的值；若不存在，说明理由。【练习1】. .已知函数.(1) 若函数在区间(0,1)上恒为单调函数，求实数的取值范围；(2) 当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。【练习2】 已知函数 在区间0，1上单调递增，在区间 1，2上单调递减；（1）求a的值；（2）求证：x=1是该函数的一条对称轴；（3）是否存在实数b，使函数的图象与函数f(x)的图象恰好有两个交点？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.【练习3】已知函数f(x)=x lnx(1) 求函数的单调区间和最小值；（2）当b>0时，证明：（3）若a>0,b>0, 证明：三专题训练函数与导数测试题满分：150分 时间：120分钟 第卷（选择题 共60分）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把所选项前的字母填在答题卷的表格内）1设是集合到集合的映射，若，则为 ( )AB1C或2D或12函数的零点所在的区间为 （ ）A（1，0） B（0，1） C（1，2） D（1，e）3若函数在区间上为减函数，则的取值范围是 ( )A(0，1)B(1，)C(1，2)D(0，1)(1，2)4已知函数存在反函数，且的图象过定点（3，1），则函数的图象一定过点 （ ）AB C D 5若，则 （ ）A、 B、1 C、 D、6曲线在点处的切线与坐标轴围成三角形面积为 （ ） A、B、 C、D、yxo127已知的图象如图所示，则有 ( )ABCD8函数的定义域为（a,b），其导函数内的图象如图所示，则函数在区间（a,b）内极小值点的个数是 （ ） （A）1（B）2 （C）3（D）4 9. 已知函数定义域为，则下列命题： 若为偶函数，则的图象关于轴对称. 若为偶函数，则关于直线对称. 若函数是偶函数，则的图象关于直线对称. 若，则则关于直线对称. 函数和的图象关于对称. 其中正确的命题序号是 ( ) A、 B、 C、 D、10. 设是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足的所有之和为 （ ）A B C D11某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越快，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量与时间的函数图像可能是 ( ) 48yot48yot48yot48yot12 函数在定义域R内可导，若，且当时，设则 （ ）ABCD二.填空题(每小题4分,共16分)13.对任意实数，定义为不大于的最大整数（例如等），设函数，给出下列四个结论：；是周期函数；是偶函数。其中正确结论的是 14定义非空集合的真子集的真子集为的“孙集”，则集合的“孙集”的个数有 个15.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为，值域为1,4的“同族函数”共有_个.16.设是定义在上且以3为周期的奇函数，若，则实数的取值范围是 三.解答题（本大题共6小题。共74分，解答应写出文字说明。证明过程或运算步骤）17、 对于函数），若，则称为的“不动点”.若，则称为）的“稳定点”；函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，.（1）求证：；（2）若，且，求实数的取值范围.18.设函数(1)求函数的单调区间;(2)当时，不等式恒成立,求实数的取值范围;(3)关于的方程在上恰有两个相异实根，求的取值范围.19设函数的定义域为，对于任意实数，总有，且当时，(1)求的值；(2)证明：当时，；(3)证明：在上单调递减；(4)若，且，求的取值范围20（本小题满分14分） 对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为: 为, 要求清洗完后的清洁度为. 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为. 设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是, 用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是, 其中是该物体初次清洗后的清洁度. ()分别求出方案甲以及时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少; ()若采用方案乙, 当为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响. 21（本小题满分12分 已知二次函数设方程有两个实数根.()如果，设函数)的对称轴为,求证：;()如果，且的两实根相差为2，求实数 的取值范围.22.定义函数，其导函数记为。（）求证：；（）设，求证：；（）是否存在区间，使函数在区间上的值域为？若存在，求出最小的值及相应的区间；若不存在，请说明理由。参考答案一、选择题DCCCA DABCD CB 二、填空题13 14 26 15 9 16 三、解答题17 （1）【证明】：若A，则显然成立；若A，设，并且，于是，即，从而. （2）【解】：A中元素是方程，即的实根.由A，知或 即.中元素是方程，即的实根.由知上方程左边含有一个因式，即方程可化为因此，要，即方程没有实根或实根是方程的实根.若没有实根，则或，由此解得.若有实根，则的实根是的实根。当时有唯一根，检验发现是的根。当时，方程同解，由此解得，再代入得，由此解得.舍去。故的取值范围是，18. (1)函数定义域为,由得 ；由得则递增区间是递减区间是。 (2)由（1）知, 在上递减,在上递增.又.时, 故时,不等式恒成立. (3)方程 即.记,.由得 由得在上递减,在上递增. 为使在上恰好有两个相异的实根,只须在0，1）和（1，2上各有一个实根,于是 解得19解：(1)令时，得；(2)令，则1，即当时，由于；(3)设，则，由题设知·Oa1·1yaOxxyy在上单调递减；(4)由已知及(3)得：，显然，当时，。当时，要使，必须即。故所求的的取值范围是20 解（1）设方案甲与乙的用水量分别为与，由题设，解得。由得方案乙初次用水量为3，第二次用水量满足，解得，故即两种方案的用水量分别为19和。因为时，即。故方案乙的用水量较少。（2）设初次和第二次的用水量分别为与。类似（1）得（*）于是当为定值时，当且仅当时等号成立，此时（不合题意，舍去）或。将代入（*）式得故时总用水量最少，此时第一次与第二次的用水量分别为与最少总用水量是当时，故是增函数，这说明随着的值的增加，最少总水量增加。21()设于是，（）由知同号，又由于，所以而后者左端看成的函数其正确性是显然的。故22.【略解】（）证明：令，则由得，且， 是的唯一极小值点，故，因此，有；（）：显然，且，而，故；（）的最小值为，相应区间- 14 -