北师大版八年级下册第一章三角形的证明讲义.doc

精品文档第一章：三角形的证明【根底知识】1、全等三角形 1定义： 能够完全 的三角形是全等三角形。 2性质：全等三角形的 、 相等。 3判定：“SAS、 、 、 、 。2、等腰三角形 1定义：有两条 的三角形是等腰三角形。 2性质：等腰三角形的 相等。“等边对等角等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。( )等腰三角形是 图形。 3判定：定义 “ 4等边三角形 定义： 的三角形是等边三角形。 性质：三角都等于 具有等腰三角形的一切性质。 判定：定义 有一个角 是等边三角形。3、直角三角形 1定义：有一个角是 的三角形是直角三角形。 2性质：“勾股定理 。直角三角形两锐角 。直角三角形斜边上的中线等于 。在直角三角形中，30°角所对直角边等于 。 3判定：定义 两锐角 的三角形是直角三角形“勾股定理逆定理 。ABCDEF4、角平分线 1定义： 。 2性质：角平分线上的点 相等。三角形的三条角平分线 ，且到 相等。 3判定：到角的两边 的点，在这个角的平分线上。 4角平分线的作法：5、线段的垂直平分线 1定义： 一条线段的 叫线段的垂直平分线。 2性质：线段垂直平分线上一点 相等。三角形三边的垂直平分线 ，且到 相等。3判定：到一条线段两个端点 的点，在这条线段的垂直平分线上。4线段的垂直平分线的作法：6、命题：判断一件事的句子叫命题。命题有 与 两局部。 互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的 是另一个命题的 ，那么这两个命题成为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的 。7、逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就叫原定理的逆定理【典例讲解】一、选择题1、到ABC的三条边距离相等的点是ABC的 2、如图，从等腰ABC底边BC上任意一点分别作两腰的平行线DE、DF，分别交AC、AB于点E、F，那么AFDE的周长等于这个等腰三角形的( ) A. 周长 B. 周长的一半 C. 一条腰长的2倍 D. 一条腰长3、如图，ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE相交于F，假设BF=AC，那么ABC的大小是 °°°°4、如图，在，90°，15°，的中垂线交于，为垂足，假设10，那么等于10 8 5 255、如图，在中，30°，3，那么AC的长等于 2题 3题 4题 5题6、ABC中，ABC=123，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是 A.5 cm B.6 cm C. cm D.8 cm7、以下定理中逆定理不存在的是 B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行8、以下说法正确的选项是 C每个命题都有逆命题 D.假命题的逆命题是假命题 二、填空题1、命题：“全等三角形的对应角相等的逆命题是_。这条逆命题是_命题填“真或“假2、，如图，O是ABC的ABC、ACB的角平分线的交点，ODAB交BC于D，OEAC交BC于E，假设BC = 10 cm，那么ODE的周长 .3、如图，AOP=BOP=15°，PCOA，PDOA，假设PC=4，那么PD的长为 .4、如下图的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，那么正方形A、B、C、D的面积的和是 5、在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩一个游戏，要求在他们中间放一个木凳，使他们抢坐到凳子的时机相等，试想想凳子应放在ABC的三条线的交点最适当6、如图九，一个正方体的棱长为2cm，一只蚂蚁欲从A点处沿正方体侧面到B点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 .AB7、如图十的(1)中，ABCD是一张正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在2中EF上，折痕交AE于点G，那么ADG= .三、解答题1某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图，现方案在空地上种植草皮，经测量A90°，AB3m，BC12m，CD13m，DA4m，假设每平方米草皮需要200元，问需要多少投入？ 2、如图，AB=AD=8，四边形的周长为32，求BC和CD的长。3、作图题保存作图的痕迹，写出作法共6分 如图十一，在AOB内，求作点P，使P点到OA，OB的 距离相等，并且P点到M，N的距离也相等.4、如图十五，ABC中，AD是BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F.求证：1ADEF ；2当有一点G从点D向A运动时，DEAB于E，DFAC于F，此时上面结论是否成立？ 5、如图十六，ABC、DEC均为等边三角形，点M为线段AD的中点，点N为线段BE的中点，求证：CNM为等边三角形.4如图，ABC中，AM，CM分别是角平分线，过M作DEAC，求证：AD+CE=DE5、如图2所示，：在ABC中，AD为ABC的中线，F为AC上一点，且AF=AC，连结BF交AD于E，假设EF=5cm.求BE的长。 A F E B D C6、：如图，D是等腰ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF。当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明.7、：菱形ABCD中如图，A72°，请设计三种不同的分法，将菱形ABCD分割成四个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明分法所得三角形内角的度数，没有标出能够说明分法所得三角形内角度数不给分；不要求写出画法，不要求证明注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法 分法一： 分法二： 分法三：8、我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.1请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；2如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于O，假设A=60°，DCB=EBC=A，请你写出图中一个与A相等的角，并猜测图中哪个四边形是等对边四边形；（3） 在ABC中，如果A是不等于60°的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且DCB=EBC=A，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论. 9、巳知：如图，在ABC中ABAC， 延长AB到D使BDAB，E为AB的中点，求证：CD2CE 【稳固练习】°，那么其余两角分别为_.2.一个等腰三角形的两边长为5和8，那么此三角形的周长为_.3.如下左图，ABC中，C=90°，AM平分CAB，CM=20 cm，那么点M到AB的距离是_ 4.如上右图，等边ABC中，F是AB中点，EFAC于E，假设ABC的边长为10，那么AE=_，AEEC=_.5.如下左图，ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AB于D，假设AB=10 cm，AC=6 cm，那么ACD的周长为_. 6.如上右图，C=90°，ABC=75°，CDB=30°，假设BC=3 cm，那么AD=_ cm.7.如下左图，B在AC上，D在CE上，AD=BD=BC，ACE=25°，ADE=_. 17题8.等腰直角三角形一条边长是1 cm，那么它斜边上的高是_ cm.9.如上右图，在AOB的两边OA、OB上分别取OQ=OP，OT=OS，PT和QS相交于点C，那么图中共有_对全等三角形.10.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是_，这个逆命题是_命题.a、b、c，且a2bc=a(bc)，那么这个三角形按边分类一定是_三角形.，那么它的边长为 n°，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于 A.B.90 C.°n°a、b、c组成的三角形，不是直角三角形的是 A.a=3，b=4，c=5B.a=1，b=，c= C.a=9，b=12，c=15 D.a=，b=2，c=15.直角三角形的三边长为连续自然数，那么它的面积为 B.7.5 16.ABC中，ABC=123，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是 A.5 cm B.6 cm C. cm D.8 cm17.如右图，ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，那么A的度数为 °°°°ABC中，AC=2BC，周长为60，那么BC的长为 19.直角三角形两直角边分别是5 cm、12 cm，其斜边上的高是 A.13 cm B. cm C. cm D.9 cma，顶角是底角的4倍，那么腰上的高是 A.aB. aC.aD. a22.假设一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，那么此三角形一定是 ABC中，A=120°，BC中点为D，过D作DEAB于E，AE=4 cm，那么AD等于 A.8 cm B.7 cmC.6 cm D.4 cm24.以下说法中，正确的选项是 25.如右图，ABCD，ABD、BCE都是等腰三角形，如果CD=8，BE=3，那么AC长为 A.8 B.5 C.3 D. °的直角三角形拼成下右图，其中两条长直角边在同一直线上，那么图中等腰三角形的个数是 A.4B.3 C.2D.1 27.以下定理中逆定理不存在的是 B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等*28.一个直角三角形的周长是4+2，斜边上中线长为2，那么这个三角形的面积为 A.5B.2C.29.：如图，AB=AC，DEAC，求证：DBE是等腰三角形.30.：如图，在RtABC中，C=90°，BAD=BAC，过点D作DEAB，DE恰好是ADB的平分线，求证：CD=DB.n2+n，n+和n2+n+ (n0)，求证：这个三角形是直角三角形.32.如图，ABC中，AB=AC，1=2，求证：AD平分BAC.33.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边ABD，连结DC，以DC当边作等边DCE，B、E在C、D的同侧，假设AB=，求BE的长.*34.在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于N，交BC的延长线于M， A=30°，求NMB的大小.如果将中的A的度数改为70°，其余条件不变，再求NMB的大小.你感到存在什么样的规律性？试证明.请同学们自己画图将中的A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？ 【连接中考】 1.2021山东济宁，9，3分如图，ABC的周长为30cm，把ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，假设AE=4cm，那么ABD的周长是A22cm B20 cm C18cm D15cmBCADEABCOyx 2.2021湖北黄冈，14，3分如图，把RtABC放在直角坐标系内，其中CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为1，0、4，0，将ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x6上时，线段BC扫过的面积为 A4 B8C16D3. 2021安徽，6，4分如图，D是ABC内一点，BDCD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，那么四边形EFGH的周长是 A7B9C10D114. 2021山东威海，3，3分在ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，那么AF：CF A1：2B1：3C2：3D2：5 5. 2021浙江省，8，3分如图，在五边形ABCDE中，BAE=120°, B=E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC，DE上分别找一点M,N，使得AMN的周长最小时，那么AMN+ANM的度数为 A. 100° B110° C. 120° D. 130°ABCDEFG6. 2021浙江金华，15，4分如图，在ABCD中，AB3，AD4，ABC60°，过BC的中点E作EFAB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，那么DEF的面积是 7. 2021四川南充市，10，3分如图，ABC和CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，以下结论：tanAEC=;SABC+SCDESACE ;BMDM;BM=DM.正确结论的个数是 A1个 B2个 C3个 D4个8. 2021浙江义乌，10，3分如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BAC=DAE=90°， 四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交 CE于点G，连结BE. 以下结论中： CE=BD； ADC是等腰直角三角形； ADB=AEB； CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有 A1个 B2个 C3个 D4个9. 2021四川凉山州，8，4分如图，在中，点为的中点，垂足为点，那么等于 A B C D D10. 2021浙江杭州，16，4在等腰RtABC中，C=90°，AC1，过点C作直线lAB，F是l上的一点，且ABAF，那么点F到直线BC的距离为 11. 2021浙江台州，14,5分等边ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，把BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B处，DB,EB分别交边AC于点F，G，假设ADF=80º ，那么EGC的度数为 12. 2021山东济宁，15，3分如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AGCD于点G，那么 13. 2021贵州贵阳，15，4分如图，等腰RtABC的直角边长为1，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推直到第五个等腰RtAFG，那么由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为_14. 2021广东茂名，14，3分如图，ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上且CGCD，DFDE，那么E 度15. 2021安徽芜湖，6，4分如图，中， 是高和的交点，那么线段的长度为 . AB 4CD16. 2021浙江衢州，1,3分如图，平分于点，点是射线上的一个动点，假设，那么的最小值为 A.1 B.2 C.3 D. 417. 2021贵州贵阳，7，3分如图，ABC中，C=90°，AC=3，B=30°，点P是BC边上的动点，那么AP长不可能是 A3.5 B4.2 C5.8 D718. 2021河北，9，3分如图3，在ABC中，C=90°，BC=6,D,E分别在AB,AC上，将ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，假设A为CE的中点，那么折痕DE的长为 A B2 C3 D4 ACBEFD ACEDBF30°45° 19. 2021江苏无锡，16，2分如图，在RtABC中，ACB = 90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，假设CD = 5cm，那么EF = _cm 20. 2021山东枣庄，15，4分将一副三角尺如下图叠放在一起，假设=14cm，那么阴影局部的面积是_cm2. 21. 2021山东泰安，19 ，3分如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，假设BC=3，那么折痕CE的长为 B. C. D.6 22. 2021四川重庆，10，4分如图，正方形ABCD中，AB6，点E在边CD上，且CD3DE将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF以下结论：ABGAFG；BGGC；AGCF；SFGC3其中正确结论的个数是( ) A1 B2 C3 D423. 2021重庆江津， 10，4分如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且ACBD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.以下结论正确的有( )A1AA2A3BB1B2B3CC2C1C3DD2D1D3四边形A2B2C2D2是矩形; 四边形A4B4C4D4是菱形；四边形A5B5C5D5的周长; 四边形AnBnCnDn的面积是 A. B. C. D. 24. 2021山东临沂，11，3分如图，ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BEDF交DF的延长线于点E，A30°，BC2，AFBF,那么四边形BCDE的面积是 A2 B3 C4 D425. 2021湖北武汉市，12，3分如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H以下结论：AEDDFB；  S四边形 BCDG=  CG2；假设AF=2DF，那么BG=6GF其中正确的结论A只有 B只有C只有 DABCDEFGHABCDEFGH26. 2021四川内江，16，5分如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足 条件时，四边形EFGH是菱形27. (2021重庆綦江，14，4分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC8，BD6，过点O作OHAB，垂足为H，那么点O到边AB的距离OH 28. 2021四川绵阳17，4如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，那么折痕EF的长为_cm. 29. 2021四川凉山州，17，4分菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，假设DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，那么的值是 。302021山东日照，16，4分正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AMMN当BM= 时，四边形ABCN的面积最大 ABCDE31. 2021山东烟台，24,10分：如图，在四边形ABCD中，ABC90°，CDAD，AD2CD22AB21求证：ABBC；2当BEAD于E时，试证明：BEAECD312021宁波市，23，8分如图，在ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长线于点G1求证：DEBF；2假设G90，求证四边形DEBF是菱形 32. 2021广东株洲，23，8分如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q.1求证： OP=OQ；2假设AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动不与D重合.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形 332021四川内江，18，9分如图，在RtABC中，BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC试猜测线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜测 ABCDE34. 2021四川成都，20,10分 如图，线段ABCD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点. (1)假设BK=KC，求的值； (2)连接BE，假设BE平分ABC，那么当AE=AD时，猜测线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明再探究：当AE=AD ()，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明