高中数学教案三角函数的图象与性质.doc

精品文档精编习题三角函数的图象与性质一、知识网络 二、高考考点一三角函数的性质1、三角函数的定义域，值域或最值问题；2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇函数或偶函数的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比拟大小的判断等.3、三角函数的周期性；寻求 型三角函数的周期以及难度较高的含有绝对值的三角函数的周期.二三角函数的图象1、根本三角函数图象的变换；2、 型三角函数的图象问题；重点是“五点法作草图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式；3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用；4、利用函数图象解决应用问题.三化归能力以及关于三角函数的认知变换水平.三、知识要点一三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性1根本函数的奇偶性奇函数：ysinx，ytanx；偶函数：ycosx.2 型三角函数的奇偶性gx xRgx为偶函数 由此得 ；同理， 为奇函数 . 为偶函数 ； 为奇函数 .3、周期性1根本公式根本三角函数的周期ysinx，ycosx的周期为 ；ytanx，ycotx的周期为 . 型三角函数的周期 的周期为 ； 的周期为 .2认知 型函数的周期 的周期为 ； 的周期为 . 的周期 的周期为； 的周期为 .均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y 的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与的区别.假设函数为 型两位函数之和，那么探求周期适于“最小公倍数法.探求其它“杂三角函数的周期，根本策略是试验猜测证明.3特殊情形研究ytanxcotx的最小正周期为 ； 的最小正周期为 ；ysin4xcos4x的最小正周期为 .由此领悟“最小公倍数法的适用类型，以防施错对象.4、单调性1根本三角函数的单调区间族依从三角函数图象识证“三部曲：选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；写特解：在所选周期内写出函数的增区间或减区间；获通解：在中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族或减区间族循着上述三部曲，便可得出课本中标准的三角函数的单调区间族.揭示：上述“三部曲也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.2y 型三角函数的单调区间此类三角函数单调区间的寻求“三部曲为换元、分解：令u ，将所给函数分解为内、外两层：yfu，u ；套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出fu的单调性，而后利用1中公式写出关于u的不等式；复原、结论：将u 代入中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或区间形成结论.二三角函数的图象1、对称轴与对称中心1根本三角函数图象的对称性正弦曲线ysinx的对称轴为 ；正弦曲线ysinx的对称中心为 ，0 .余弦曲线ycosx的对称轴为 ；余弦曲线ycosx的对称中心 正切曲线ytanx的对称中心为 ；正切曲线ytanx无对称轴.认知：两弦函数的共性：x 为两弦函数fx对称轴 为最大值或最小值； ，0为两弦函数fx对称中心 0.正切函数的个性： ，0为正切函数fx的对称中心 0或 不存在.2 型三角函数的对称性服从上述认知对于gx 或gx 的图象x 为gx对称轴 为最值最大值或最小值； ，0为两弦函数gx对称中心 0.对于gx 的图象 ，0为两弦函数gx的对称中心 0或 不存在.2、根本变换1对称变换2振幅变换纵向伸缩3周期变换横向伸缩4相位变换左右平移5上、下平移3、y 的图象1五点作图法2对于A，T， ， 的认知与寻求：A：图像上最高点或最低点到平衡位置的距离； 2A：图像上最高点与最低点在y轴上投影 间的距离. ：图象的相邻对称轴或对称中心间的距离； ：图象的对称轴与相邻对称中心间的距离. ： 由T 得出. ：解法一：运用“代点法求解，以图象的最高点或最低点坐标代入为上策，假设以图象与x轴交点坐标代入函数式求 ，那么须注意检验，以防所得 值为增根；解法二：逆用“五点作图法的过程参见经典例题.四、经典例题例1、求以下函数的值域：1 2 3 4 5 6 分析：对于形如123的函数求值域，根本策略是化归为 的值域；转化为sinx或cosx的二次函数；对于456之类含有绝对值的函数求值域，根本策略那么是在适当的条件下考察y2；转化为分段函数来处理；运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化.解：1 ，即所求函数的值域为 .2由 注意到这里xR， ， 所求函数的值域为1，1.3这里 令sinxcosxt那么有 且由 于是有 因此，所求函数的值域为 .4注意到这里y>0，且 即所求函数的值域为 .5注意到所给函数为偶函数，又当 此时 同理，当 亦有 .所求函数的值域为 .6令 那么易见fx为偶函数，且 是fx的一个正周期.只需求出fx在一个周期上的取值范围.当x0， 时， 又注意到 ，x 为fx图象的一条对称轴只需求出fx在0， 上的最大值.而在0， 上， 递增. 亦递增由得fx在0， 上单调递增. 即 于是由、得所求函数的值域为 .点评：解12运用的是根本化归方法；解3运用的是求解关于sinxcosx与sinxcosx的函数值域的特定方法；解4借助平方转化；解56那么是利用函数性质化繁为简，化暗为明.这一点在解6时表现得淋漓尽致.例2、求以下函数的周期：1 ；2 ；3 ；4 ；5 分析：与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为 k的形式，而后运用公式.对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理.解：1 所求最小正周期 .2 所求周期 .3 .注意到 的最小正周期为 ，故所求函数的周期为 .4 注意到3sinx及-sinx的周期为2 ，又sinx0或sinx<0的解区间重复出现的最小正周期为2 .所求函数的周期为2 .5 注意到sin2x的最小正周期 ，又sinx0或sinx<0的解区间重复出现的最小正周期 ，这里 的最小公倍数为 .所求函数的周期 .点评：对于5，令 那么由 知， 是fx的一个正周期.又 不是fx的最小正周期. 于是由知，fx的最小正周期为 .在一般情况下，探求上述一类分段函数的周期，仅考虑各段函数的最小正周期的最小公倍数是不够的，还要考虑各分支中的条件区间重复出现的最小正周期.双方结合，方可能获得正确结果.请大家研究 的最小正周期，并总结自己的有关感悟与经验.例3、函数的局部图象，1求 的值；2求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标.解：1令 ，那么由题意得f01 注意到函数图象在所给长度为一个周期的区间的右端点横坐标为 ，故逆用“五点作图法得： 由此解得 所求 ， .2由1得 令 ，解得 ，函数fx图象的对称轴方程为 ；令 解得 ，函数fx图象的对称中心坐标为 .点评：前事不忘，后事之师.回忆运用“五点作图法作出所给三角函数在一个周期内图象的列表、描点过程，便可从中悟出所给函数图象上的五个关键点横坐标满足的等式： 例4、1函数 的单调递增区间为 。2假设函数 上为单调函数，那么a的最大值为 。3函数 的图象的对称中心是 。函数 的图象中相邻两条对称轴的距离为 。4把函数 的图象向左平移mm>0个单位，所得的图象关于y轴对称，那么m的最小正值为 。5对于函数 ，给出四个论断：它的图象关于直线x 对称；它的图象关于点 ,0对称；它的周期为 ；它在区间 ，0上单调递增.以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它是。分析：1这里 的递增区间 的正号递减区间 递增且 应填 2由fx递增得 易见， 由fx递减得 当k0时， 注意到 而不会属于其它减区间，故知这里a的最大值为 .3令 所给函数图象的对称中心为 ，0 ； 解法一直接寻求在中令 那么有又在中令k0得 ，令k1得 所求距离为 解法二借助转化：注意到所求距离等于函数的最小周期的一半，又由得这一函数的最小正周期为T ，故所求距离为 .4这里 将这一函数图象向左平移mm>0个单位，所得图象的函数解析式为 令 那么由题设知fx为偶函数 fxfx 所求m的最小值为 .5为使解题的眉目清晰，首先需要认定哪个论断必须作为条件，哪个论断只能作为结论，哪个论断既可作为条件，又可作为结论；一般地，单独决定图象形状的论断必须作为条件，既不能决定形状，也不能确定位置的论断只能作为结论.在这里，必须作为条件，而只能作为结论.于是这里只需考察、 、与、 、这两种情形.考察、 、是否成立.由得 ，故 ；又由得 注意到 .在、之下， ，易知此时、成立.考察、 、是否成立.由得 ，故 ；又由得 注意到 .在、之下， ，易知此时、成立.于是综合得正确的命题为、 、与、 、.点评：对于4利用了如下认知： ； .对于5，认定哪个论断必须作为条件，哪个论断必须作为结论是认知问题和简化解题过程的关键，请大家注意领悟和把握这一环节.例5、 的最小正周期为2，当 时，fx取得最大值2.1求fx的表达式；2在闭区间 上是否存在fx图象的对称轴？如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由.分析：出于利用条件以及便于考察fx的图象的对称轴这两方面的考虑，先将fx化为k的形式，这是此类问题的解题的根底.解：1去 令 ， ，即 那么有由题意得又由知 ，注意到这里A>0且B>0，取辅助角 ，那么由得2在中令 解得xk 解不等式注意到 ，故由得k5.于是可知，在闭区间 上有且仅有一条对称轴，这一对称轴的方程为 .点评：对于最值，对称轴和对称中心等问题，fx一经化为 k的形式，解题便胜券在握.例6、点 的图象上.假设定义在非零实数集上的奇函数gx在0，上是增函数，且g20.求当gfx<0且x0， 时，实数a的取值范围.分析：由点A、B都在函数 的图象上得： ，ba，c1a. 此时，由gfx<0且x0， 解出a的范围，一方面需要利用gx的单调性脱去“f，另一方面又要注意借助换元进行转化：化生为熟，化繁为简.因此，下一步的首要工作是考察并利用gx的单调性.解：由分析得 定义在非零实数集上的奇函数gx在0，上是增函数，且g20， gx在，0上是增函数，且g20由知，当x<-2或0<x<2时，gx<0又设 .那么 htat1a， .gfx<0且x0， gh(t)<0，且 .由得，当 时，ht<2或0<h(t)<2注意到htat1a由ht<2得h1<2(a<0)或h( )<-2(a>0),由0<h(t)<2得 ，解得 .于是综上可知，所求a的取值范围为 .点评：在这里，由到的转化，是由“抽象向“具体的转化，此为解题关键环节.在下面的求解中，对0<h(t)<2亦可通过分类讨论来完成.对于htat1a ，0<h(t)<2 ht>0且ht<21h(t)>0， 当a>0时，h(t)在 上递增，由得，h(1)>0，显然成立；当a<0时，h(t)在 上递减由得，h( )>0 1a1>0 ；当a0时，ht显然满足1<h(t)<2.因此由h(t)>0， 得 1<a0 2h(t)<2， 当a>0时，h(t)在 上递增，由得，h( )<2 ；当a<0时，h(t)在 上递减由得，h(1)<2,显然满足条件；当a0时，ht1，显然满足条件.因此由得 于是综合12知，由0<h(t)<2推出 五、高考真题一选择题1、湖北卷假设 A. B. C. D. 分析：注意到我们对 的熟悉，故考虑从认知 的范围入手，去了解 的范围.由 ， 应选C.2、函数 的局部图象如图，那么 A. B. C. D. 分析：由图象得 . ， 又f(1)=1， 注意到 ， 应选C.二、填空题1、湖北卷函数 的最小正周期与最大值的和为 。分析：对于含有绝对值的三角函数的周期或值域，根本策略是化为分段函数，分段寻求周期或范围，而后综合结论. 1注意到sin2x的最小正周期 ，而sinx0的解区间重复出现的最小正周期 ，而 的最小公倍数为 ，故所求函数的最小正周期为 .2由分段函数知，y的最大值为 ，于是由12知应填 .2、辽宁卷 是正实数，设 .假设对每个实数a， 的元素不超过两个，且有a使 含2个元素，那么 的取值范围是 。分析： 注意到有a使 含有两个元素，相邻两 值之差注意到 的元素不超过两个，相间的两个 值之差由、得 .点评：对于1，在考察了各个分支中三角函数的最小正周期后，还要考察各分支中“不等式的解区间重复出现的周期，二者结合才能得出正确结论.对于2，这里的 决定于fx在一个周期图象的左端点横坐标，由此便于认识相邻两个 值之差 的意义.三解答题1、假设函数 的最大值为2，试确定常数a的值.分析：鉴于过去的经验，首先致力于将fx化为 k的形式，而后便会一路坦途.解： 由得 .点评：此题看似简单，但考察多种三角公式，亦能表达考生的根本能力.2、设函数 yfx图象的一条对称轴是直线 .1求 ；2求函数yfx的单调增区间；3证明直线5x2yc0与函数yfx的图象不相切.分析：对于3，由于fx为三角函数，故需要利用导数的几何意义来解决直线与图象的相切或不相切问题.其中，要证直线与x的图象不相切，只需证直线的斜率不属于yfx图象上点的切线斜率的取值集合.解：1 为函数 图象的对称轴， 即 又 .2由1知 ，当 时，yfx递增，所求函数fx的增区间为 .3 yfx图象上点的切线的斜率范围为2，2.而直线5x2yc0 ，直线5x2yc0与函数 的图象不相切.点评：有导数及其几何意义奠基，便可引出诸多不同直线与不同函数图象的相切或不相切问题.此题3的解题思路，值得大家仔细领会与品悟.3、函数 是R上的偶函数，其图象关于点M 对称，且在区间 上是单调函数，求 的值.分析：在此类三角函数问题中，函数的周期可直接确定 的值；函数图象关于某直线或某点对称，那么只能导出关于 的可能取值，此时要进一步确定 的值，还需要其它条件的辅助；而函数在某区间上单调的条件，一般只在利用函数图象对称性寻出 的可能取值之后，用它来进行认定或筛选.解：由fx为偶函数得fxfxxR即 又 故有 由fx图象关于点M 对称得 令x0得 而 由此解得 当k0时， ，此时 当k1时， 当k2时， ， 故此时 因此，综合以上讨论得 或 .所求 ，而 或 .点评：对于正弦函数y k或余弦函数y k，在单调区间“完整的一个周期T，恰是增减区间的长度各为 ；而在任何一个周期T上，增区间或减区间的长度均不超过 .因此，假设区间 的长度大于 ，那么函数在区间 上不会是单调函数.4、设函数fxxsinxxR.1证明： ，其中k为正整数.2设 3设fx在0，内的全部极值点按从小到大的顺序排列为 ，证明： 分析：注意到正弦函数为fx的成员函数之一，试题中又指出fx的极值点，故需应用导数研究极值的方法与结论.可见，解23，均需要从fx切入.证明：1fxxsinxxR 2 令 显然cosx0不是的解，故由得xtanx ，即有 ，于是 3设 是 的一个正整数根，即 ，那么由直线yx与曲线ytanx的位置关系知：对每一个 ，存在 ，使 ，注意到gxxtanx在 上是增函数，且 gx在 又cosx在 内符号不变，xtanxcosxsinxxcosx 在 与在 内异号，所有满足 的 都是fx的极值点.由题设 ， 再注意到 而 1 由得 于是由、得， 点评：在这里应注意对2、3中极值点的区别.对于2， 只需满足 即可；对于3中的 不仅要满足 ，还需认定 在点x 左右两边异号.