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优质文本高一数学复习要点(必修5)第一章 解三角形1、正弦定理：在中，、分别为角、的对边，为的外接圆的半径，那么有2、正弦定理的变形公式：，；，；正弦定理主要用来解决两类问题：1、两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、两角和一边，求其余的量。对于两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。一解、两解、无解三中情况如：在三角形中，a、b、AA为锐角求B。具体的做法是：数形结合思想DAbaC画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以有无交点：当无交点那么B无解、当有一个交点那么B有一解、当有两个交点那么B有两个解。法二：是算出,看a的情况：当a<，那么B无解 当<ab,那么B有两解当或a>b时，B有一解注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。3、三角形面积公式：4、余弦定理：在中，有，5、余弦定理的推论：，(余弦定理主要解决的问题：1、两边和夹角，求其余的量。2、三边求角)CABD6、如何判断三角形的形状：设、是的角、的对边，那么：假设，那么；假设，那么；假设，那么正余弦定理的综合应用：如下列图：隔河看两目标A、B,但不能到达，在岸边选取相距千米的C、D两点，并测得75O, 45O, 30O, 45O(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。此题解答过程略附：三角形的五个“心；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点第二章 数列1、数列：按照一定顺序排列着的一列数2、数列的项：数列中的每一个数3、有穷数列：项数有限的数列4、无穷数列：项数无限的数列5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列即：1>6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列即：1<7、常数列：各项相等的数列即：18、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列9、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式10、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项或前几项间的关系的公式11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差符号表示:。注：看数列是不是等差数列有以下三种方法： 2() (为常数12、由三个数，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，那么称为与的等差中项假设，那么称为与的等差中项13、假设等差数列的首项是，公差是，那么14、通项公式的变形：；15、假设是等差数列，且、，那么；假设是等差数列，且、，那么16、等差数列的前项和的公式：；17、等差数列的前项和的性质：假设项数为，那么，且， 假设项数为，那么，且，其中，18、如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比符号表示：注：等比数列中不会出现值为0的项；同号位上的值同号注：看数列是不是等比数列有以下四种方法： (，)(为非零常数).正数列成等比的充要条件是数列成等比数列.19、在与中间插入一个数，使，成等比数列，那么称为与的等比中项假设，那么称为与的等比中项注：由不能得出，成等比，由，20、假设等比数列的首项是，公比是，那么21、通项公式的变形：；22、假设是等比数列，且、，那么；假设是等比数列，且、，那么23、等比数列的前项和的公式：24、对任意的数列的前项和与通项的关系：注： 可为零也可不为零为等差数列充要条件即常数列也是等差数列假设不为0，那么是等差数列充分条件.等差前n项和 可以为零也可不为零为等差的充要条件假设为零，那么是等差数列的充分条件；假设不为零，那么是等差数列的充分条件. 非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.不是非零，即不可能有等比数列附：几种常见的数列的思想方法：1、等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法：一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：数列通项公式对应函数等差数列时为一次函数等比数列指数型函数数列前n项和公式对应函数等差数列时为二次函数等比数列指数型函数我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。例题：1、等差数列中，那么 .分析：因为是等差数列，所以是关于n的一次函数，一次函数图像是一条直线，那么,(),三点共线，所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得图像如上，这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。例题：2、等差数列中，前n项和为，假设，n为何值时最大？分析：等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数是抛物线上的离散点，根据题意，那么因为欲求最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当时，最大。例题：3递增数列，对任意正整数n，恒成立，求分析：1)构造一次函数，由数列递增得到：对于一切恒成立，即恒成立，所以对一切恒成立，设，那么只需求出的最大值即可，显然有最大值，所以的取值范围是：。2)构造二次函数，看成函数，它的定义域是，因为是递增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数f(x)为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与区间的位置。从对应图像上看，对称轴在的左侧，也可以如图，因为此时B点比A点高。于是，得2、如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：3、两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.4. 判断和证明数列是等差等比数列常有三种方法：(1)定义法:对于n2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证都成立。5. 在等差数列中,有关 的最值问题：(1)当>0<0时，满足的项数m使得取最大值. (2)当<0>0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。附：数列求和的常用方法1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于其中 是各项不为0的等差数列，c为常数；局部无理数列、含阶乘的数列等。例题：数列的通项为,求这个数列的前n项和.解：观察后发现： 3.错位相减法:适用于其中 是等差数列，是各项不为0的等比数列。例题：数列的通项公式为，求这个数列的前n项之和。解：由题设得： =即= 把式两边同乘2后得= 用-，即：= = 得4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.5.常用结论1: 1+2+3 = 2 1+3+5(21) = 3 4 5 6 第三章 不等式1、；2、不等式的性质： ；，；3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式4、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1整式不等式高次不等式的解法穿根法零点分段法求解不等式：解法：将不等式化为a0(1)(2)()>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+；(为了统一方便) 求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；由右上方穿线即从右向左、从上往下：偶次根穿而不过，奇次根一穿而过，经过数轴上表示各根的点为什么？；假设不等式x的系数化“+后是“>0,那么找“线在x轴上方的区间；假设不等式是“<0,那么找“线在x轴下方的区间.+XX1X2X321+自右向左正负相间例题：求不等式的解集。解：将原不等式因式分解为： 由方程：解得 将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图+-214x由图可看出不等式的解集为：例题：求解不等式的解集。解：略一元二次不等式的求解：特例 一元一次不等式>b解的讨论；一元二次不等式2>0(a>0)解的讨论. 二次函数的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根 无实根 R 对于a<0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。2.分式不等式的解法1标准化：移项通分化为>0(或<0)； 0(或0)的形式，2转化为整式不等式组例题：求解不等式：解：略例题：求不等式的解集。(3).含绝对值不等式的解法：根本形式：型如：a (a0) 的不等式 的解集为：型如：a (a0) 的不等式 的解集为：变型：解得。其中<<c等价于不等式组 在解<<c得注意a的符号型的不等式的解法可以由来解。对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式：用“零点分区间法分类讨论来解.绝对值不等式解法中常用几何法：即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.例题：求解不等式解：略例题：求解不等式：32x解：零点分类讨论法： 分别令 解得： 在数轴上，-3和2就把数轴分成了三局部，如右上图 当时，去绝对值符号原不等式化为： 当时，去绝对值符号原不等式化为：当时，去绝对值符号原不等式化为：由得原不等式的解集为：注：是把的解集并在一起5=10yo2x函数图像法：令那么有：在直角坐标系中作出此分段函数及的图像如图由图像可知原不等式的解集为：(4).一元二次方程20(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析：对称轴yox设20的两根为，f(x)2,那么：假设两根都大于0，即，那么有对称轴oxy假设两根都小于0，即，那么有oyx假设两根有一根小于0一根大于0，即，那么有nxmoy假设两根在两实数之间，即，yomtnx那么有 假设两个根在三个实数之间，即，那么有常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数例如：假设方程有两个正实数根，求的取值范围。解：由型得所以方程有两个正实数根时，。又如：方程的一根大于1，另一根小于1，求的范围。解：因为有两个不同的根，所以由5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是的不等式6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组7、二元一次不等式组的解集：满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合8、在平面直角坐标系中，直线，坐标平面内的点假设，那么点在直线的上方假设，那么点在直线的下方9、在平面直角坐标系中，直线一由B确定：假设，那么表示直线上方的区域；表示直线下方的区域假设，那么表示直线下方的区域；表示直线上方的区域二由A的符号来确定：先把x的系数A化为正后，看不等号方向：假设是“>号，那么所表示的区域为直线l: 的右边局部。假设是“<号，那么所表示的区域为直线l: 的左边局部。三确定不等式组所表示区域的步骤：画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线定测：由上面一二来确定求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共局部。例题：画出不等式组所表示的平面区域。 解：略10、线性约束条件：由，的不等式或方程组成的不等式组，是，的线性约束条件目标函数：欲到达最大值或最小值所涉及的变量，的解析式线性目标函数：目标函数为，的一次解析式线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解可行域：所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解11、设、是两个正数，那么称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数12、均值不等式定理： 假设，那么，即13、常用的根本不等式：； ； 14、极值定理：设、都为正数，那么有：假设和为定值，那么当时，积取得最大值假设积为定值，那么当时，和取得最小值例题：，求函数的最大值。解：， 由原式可以化为： 当，即时取到“=号也就是说当时有