圆锥曲线难题汇编...doc

1圆锥曲线难题汇编我经过反思与整理，写成此文。一、 圆锥曲线的光学性质11 椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图 1.1)椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于 F2处，对 F2处的物体加热12 双曲线的光学性质 ：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用13 抛物线的光学性质 ： 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图 1.3）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星2的接收装置，同样保证接收效果最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。二、问题转化及证明21 圆锥曲线的切线与法线的定义设直线 与曲线 交于 ， 两点，当直线 连续变动时， ， 两点沿lcPQlPQ着曲线渐渐靠近，一直到 ， 重合为一点 ,此时直线 称为曲线 在点Mlc处的切线，过 与直线 垂直的直线称为曲线 在点 处的法线。Ml c此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化：2.2 圆锥曲线光学性质的证明预备定理 1.若点 是椭圆 上任一点，则椭圆过该点的0(,)Pxy21xyab切线方程为： 。021ab证明：由 221yxb22()xya1°当 时，过点 的切线斜率 一定存在，且xaPk0'|xky对式求导：202'byxa图 1.3F2 F1图 1.2 AF1F2DO图 1.1B3 切线方程为 020'|xbkyay2000()bxyay点 在椭圆 上，0(,)P21xb故 代入得 21xyab0022ya而当 时， 切线方程为 ，也满足式0yxa故 是椭圆过点 的切线方程.021xyab0(,)Pxy预备定理 2. 若点 是双曲线 上任一点，则双曲线过0(,)21xyab该点的切线方程为： 221xyab证明：由 21yb2()xy1°当 时，过点 的切线斜率 一定存在，且xaPk0'|xky对式求导： 20'byxa020'|xbyay切线方程为 2000()点 在双曲线 上，0(,)Pxy21xyab故 代入得 21ab0022而当 时， 切线方程为 ，也满足式x0yxa故 是双曲线过点 的切线方程.021ab0(,)Py预备定理 3.若点 是抛物线 上任一点，则抛物线过该点0(,)xy2px4的切线方程是 00()ypx证明：由 ，对 求导得：2x 02' '|xpypky当 时，切线方程为0y0()yx即 200px而 0()yyx而当 时，切线方程为 也满足式0,x0故抛物线在该点的切线方程是 .0()ypx定理 1. 椭圆上一个点 P 的两条焦半径的夹角被椭圆在点 P 处的法线平分（图 2.1）已知：如图，椭圆 的方程为 ， 分别是其左、右焦点， 是C21xyab2,Fl过椭圆上一点 的切线， 为垂直于 且过点 的椭圆的法线，交 轴0(,)Pxy'llPx于 D设 ，21,F求证： .证法一：在 上，2:xyCab 0(,)PxyC，则过点 的切 线方程为：P021xyab是通过点 且与切线 垂直的法线，'l l则 0002221':()()yxlybaba法线 与 轴交于'l 0(),cDx22102| ,|cFxFaa 220|又由焦半径公式得： 1020|,|PexFaexL ODxy 2F12L 图 2.15 1122|FDP 是 的平分线1 ，故可得90证法二：由证法一得切线 的斜率 ，而 的斜率 ，l020'|xbkya1PF01ykxc的斜率2PF02ykxc 到 所成的角 满足l1'20022001200tan' ()()ybxcaybxck ay 在椭圆 上0(,)Pxy:1Cab20tan'bc同理， 到 所成的角 满足2Fl'20tan1kbcy tan't'而 ',(0,)2 ''证法三：如图，作点 ，使点 与 关于切线 对称，连结 ， 交椭圆3F32Fl1F3于点C'P下面只需证明点 与 重合即可'P一方面，点 是切线 与椭圆 的唯一交点，则 ，是 上的点lC12|PFal到两焦点距离之和的最小值（这是因为 上的其它点均在椭圆外）l另一方面，在直线 上任取另一点l'P 1213112|'|'|'|'|'|'|PFPFFF即 也是直线 上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而 与 重合'AB P'6即 而得证定理 2 双曲线上一个点 P 的两条焦半径的夹角被双曲线在点 P 处的切线平分（图 2.2）；已知：如图，双曲线 的方程为 ， ， 分别是其左、右焦点，C21xyabF2是过双曲线 上的一点 的切线，交 轴于点 ，设 ，l 0(,)PxD1FP2FPD求证： 证明：2:1xyCab两焦点为 ， 1(,0)Fc2(,)22bac在双曲线上0(,)Pxy则过点 的切线 021xyab切线 与 轴交于 。l0(,)D由双曲线的焦半径公式得 1020|,|ccPFxaPFxa双曲线的两焦点坐标为 ，),()0,(cF故 011102022| |,|,|cxaPDFacaDxDx故 ，切线 为 之角分线。lFP定理 3 抛物线上一个点 P 的焦半径与过点 P 且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点 P 处法线平分（图 2.3）。FLDx LP y 图 2.2PFLDy x D图 2.37已知：如图，抛物线 的方程为为 ，C24ycx直线 是过抛物线上一点 的切线，l 0(,)Px交 轴于 ， ，xD,FD反射线 与 所成角记为 ，PQl求证： 证明： 如图 ，抛物线 的方程为C，点 在该抛物线上，2:4Cycx0(,)y则过点 的切线为P0()px切线 与 轴交于lx0,D焦点为 ， (同位角),(cF 2000| |,|PxyxcFxc |D 通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的。那么它在解题和生产生活中有何应用呢？三、圆锥曲线的光学性质的应用31 解决入射与反射问题例 1. 设抛物线 ，一光线从点 A(5， 2)射出，平行 的对称轴，射2:Cyx C在 上的 P 点，经过反射后，又射到 上的 Q 点，则 P 点的坐标为_，Q 点的坐标为_。解：如图，直线 平行于对称轴且 A(5，2)，则 P 点的坐标为（4，2）A反射线 过点P1(,0)4F设 ，则2(,)t285t解得： 18t图3.1.18 1(,)648Q例 2. 已知椭圆方程为 1，若有光束自焦25x6y点 A(3，0)射出，经二次反射回到 A 点，设二次反射点为 B， C，如图 3.1.2 所示，则 ABC的周长为 。解：椭圆方程为 1 中，25x6y25169c A(3，0)为该椭圆的一个焦点自 A(3，0)射出的光线 AB 反射后，反射光线 AC 定过另一个焦点 (-A3，0)故ABC 的周长为 '4520ABCAa例 3.双曲线 ，又 ，已知2:18xyCA(4，2 )， F(4，0)，若由 F 射至 A 的光线被双曲线 反射，反射光通过 P(8， k)，则 k 。解：入射线 FA 反射后得到的光线 AP 的反向延长线定过双曲线的另一个焦点 '(4,0)F 23218kk32 解决一类“距离之和”的最值问题张奠宙教授说“在一般情况下，光线在传播过程中，总是选择最近的路线从一点传播到另一点。这虽然还只是一种停留“经验、感觉”层面上的结论，但却为我们研究一类“距离之和” 取值范围问题时指明了思考的方向，从而解决了一个从“想不到”到“想得到”的关键问题。如果再辅以严格的数学证明，这种“经验、感觉”依然是很有价值的、不可替代图 3.1.1图 3.1.2图 3.1.39的。 ”我读了他的文章，深受启发，并用圆锥曲线的光学性质解决了我们经常见到而又觉得复杂的一类最值问题。例 4已知椭圆 C： ，F 1、F 2为分别是其左右焦点，点 Q(2，1)，259xyP 是 C 上的动点，求|MF 1|+|MQ|的取值范围。（一）分析猜想：（1）经计算，Q（2，2）点在椭圆内,由于椭圆是封闭图形，因此|MF1|+|MQ|应该有一个封闭的取值范围，既有最小值也有最大值。（2）同样根据光线的“最近传播法则” ，结合椭圆的光学性质，可得：从 F1射出被椭圆反射后经过点 Q 的光线所经过的路程往往是最短的。这种情况又分为两类，一是被上半椭圆反射（如图 3.2.1，光线从 F1 P1 Q） ，二是被下半椭圆反射（如图 3.2.2，光线从 F1 P2 F2 Q） ，究竟哪种情况距离之和更小呢？显然，根据椭圆定义，图 3.2.1 中的|P1F1|+|P1Q|2a，可见图 3.2.1 所示的情况距离之和更小。但是，最大值又是多少呢？图 3.2.2 所示的光线又有什么特点呢？将图 3.2.1.和图 3.2.2 中的光线反射路线合并图 3.2.3，由于|P 2Q| +|P2F1|+|P1Q|+|P1F1|是定值 4a(a 为椭圆长半轴长)，而|P 1Q|+|P1F1|由前面知最小，由此猜测|P 2Q| +|P2F1|可能就是最大值。（二）证明|P 1F1|+|P1Q|是最小值。如图 3.2.2，连接 Q F2，延长交椭圆于 P2，在椭圆上另取一点 ，由2P椭圆定义知：|P 2Q|-|QF2| +|PF1| = | F1| +| F2|（*） ，因为| F2|Q|-|QF2|，代入（* ）式得|P 2Q|-|QF2| +|P2F1| F1| +| Q|-|QF2|所2P 以，|P 2Q| +|P2F1| F1| +| Q|。猜想得证。2P（三）计算：综上所述，只需求出 22|(4)0QyxF1 F2QP1P1'O图 3.2.1P2' P2yxF1 F2QO图 3.2.2 图 3.2.3P2yxF1 F2QP1O10可得最小值为 2|10aFQ最大值为 .|例 5已知双曲线 C： ， F 1、 、F 2为分别是其左右焦点，点23yx，M 是 C 上的动点，求|MF 2|+|MQ|的取值范围。9(4,)2Q分析猜想：经计算，Q 点在双曲线右支开口内部。由于双曲线是不封闭曲线，显然|MF 2|+|MQ|可以无限大，故要求|MF 2|+|MQ|的取值范围，关键是求出|MF 2|+|MQ|的最小值。根据光线的“最近传播”特点，我们猜想：从 F1射出经双曲线反射后经过点 Q 的光线所经过的路程往往是最短的，再结合双曲线的光学性质（从一个焦点射出的光线经椭圆周反射，反射光线的反向延长线经过另一个焦点） ，可作出从 F1射出被双曲线反射后经过点Q 的光线：连接 F1Q，与双曲线的交点即为使得|MF 2|+|MQ|最小的点，设为P 点，光线从 F2 P Q。 （见图 2）（二）证明：如图 2：按猜想作出点 P，由于所求点 P 显然不在双曲线的左支上（此时显然距离之和不会最小） ，故在右支上另取一点 ，由双曲线定义知：|PF 1|-|PF2| = | F1| -| F2|，即|PF 1|+| F2| = | F1| +|PF2|，因为|PF 1|+|PQ| Q| +| F1|，两边同加 |PF2|得：所以|PF1|+|PQ| +|PF2| Q| +| F1|+ |PF2|=| Q| +|PF1|+| F2|，故P|PQ|+|PF2| Q|+| F2|，猜想得证。（三）计算：由题意知 19(,0)(4,FQ 2112|PP= 11()F=|A= 2例 6已知抛物线 C： ， F 是其焦点，点 ，M 是 C 上的动点，xy42(2,1)Q求|MF|+|MQ|的取值范围。 。分析：由于抛物线不是封闭曲线，显然没有最大值，因此关键是求最小值。根据抛物线光学性质（从焦点射出的光线经抛物线反射，反射光线与对称轴平行，反之也成立） ，结合光线的“最近传播”特点，我们猜想：过 Q与对称轴平行的直线与抛物线的交点可能就是使距离之和最小的点，设为 P 点（见图3.2.6） 。可由抛物线的定义证明猜想是正确42-2-4-5 5OP'P QF2 F1 图 3.2.5