高中数学复习专题：简单的三角恒等变换.docx

§4.5简单的三角恒等变换最新考纲考情考向分析1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识选择、填空、解答题均有可能出现，中低档难度.1两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos()cos cos sin sin (C()cos()cos cos sin sin (C()sin()sin cos cos sin (S()sin()sin cos cos sin (S()tan()(T()tan()(T()2二倍角公式sin 22sin cos ；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.知识拓展1降幂公式：cos2，sin2.2升幂公式：1cos 22cos2，1cos 22sin2.3辅助角公式：asin xbcos xsin(x)，其中sin ，cos .题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)存在实数，使等式sin()sin sin 成立()(2)对任意角都有1sin 2.()(3)y3sin x4cos x的最大值是7.(×)(4)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立(×)题组二教材改编2P127T2若cos ，是第三象限的角，则sin等于()A B. C D.答案C解析是第三象限角，sin ，sin××.3P131T5sin 347°cos 148°sin 77°cos 58° .答案解析sin 347°cos 148°sin 77°cos 58°sin(270°77°)cos(90°58°)sin 77°cos 58°(cos 77°)·(sin 58°)sin 77°cos 58°sin 58°cos 77°cos 58°sin 77°sin(58°77°)sin 135°.4P146T4tan 20°tan 40°tan 20°tan 40° .答案解析tan 60°tan(20°40°)，tan 20°tan 40°tan 60°(1tan 20°tan 40°)tan 20°tan 40°，原式tan 20°tan 40°tan 20°tan 40°.题组三易错自纠5化简： .答案解析原式.6(2018·昆明模拟)若tan ，tan()，则tan .答案解析tan tan().7(2018·烟台模拟)已知，且sin，则tan 2 .答案解析方法一sin，得sin cos ，平方得2sin cos ，可求得sin cos ，sin ，cos ，tan ，tan 2.方法二且sin，cos，tan，tan .故tan 2.第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一和差公式的直接应用1(2018·青岛调研)已知sin ，tan()，则tan()的值为()A B. C. D答案A解析，tan ，又tan ，tan().2(2017·山西太原五中模拟)已知角为锐角，若sin，则cos等于()A. B.C. D.答案A解析由于角为锐角，且sin，则cos，则coscoscoscos sinsin ××，故选A.3计算的值为 答案解析.思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值题型二和差公式的灵活应用命题点1角的变换典例 (1)设，都是锐角，且cos ，sin()，则cos .答案解析依题意得sin ，因为sin()<sin 且>，所以，所以cos().于是cos cos()cos()cos sin()sin ××.(2)(2017·泰安模拟)已知cos(75°)，则cos(30°2)的值为 答案解析cos(75°)sin(15°)，cos(30°2)12sin2(15°)1.命题点2三角函数式的变换典例 (1)化简： (0<<)；(2)求值：sin 10°.解(1)由(0，)，得0<<，cos >0， 2cos .又(1sin cos )2cos 2cos cos ，故原式cos .(2)原式sin 10°sin 10°·sin 10°·2cos 10°.引申探究化简： (0<<)解0<<，2sin ，又1sin cos 2sin cos 2sin22sin 原式cos .思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系(2)常见的配角技巧：2()()，()，等跟踪训练(1)(2017·豫北名校联考)计算： .(用数字作答)答案解析.(2)(2017·南充模拟)已知，且cos ，cos()，则sin .答案解析由已知可得sin ，sin()，sin sin()sin()·cos cos()sin ××.用联系的观点进行三角变换典例 (1)设为锐角，若cos，则sin 的值为 (2)(1tan 17°)·(1tan 28°)的值为 (3)已知sin ，则 .思想方法指导三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的答案(1)(2)2(3)解析(1)为锐角且cos>0，sin.sinsinsin 2cos cos 2sin sincos××.(2)原式1tan 17°tan 28°tan 17°·tan 28°1tan 45°(1tan 17°·tan 28°)tan 17°·tan 28°112.(3)cos sin ，sin ，cos ，原式.1(2017·山西五校联考)若cos ，为第四象限角，则cos的值为()A. B.C. D.答案B解析由cos ，为第四象限角，得sin ，故cos(cos sin )×.故选B.2(2018·成都模拟)若sin ，则sincos 等于()A. BC. D答案A解析sincos sin cos cos sin cos ×.3(2017·西安二检)已知是第二象限角，且tan ，则sin 2等于()A B.C D.答案C解析因为是第二象限角，且tan ，所以sin ，cos ，所以sin 22sin cos 2××，故选C.4(2017·河南洛阳一模)设acos 50°cos 127°cos 40°sin 127°，b(sin 56°cos 56°)，c，则a，b，c的大小关系是()Aa>b>c Bb>a>cCc>a>b Da>c>b答案D解析asin 40°cos 127°cos 40°sin 127°sin(40°127°)sin 167°sin 13°，b(sin 56°cos 56°)sin 56°cos 56°sin(56°45°)sin 11°，ccos239°sin239°cos 78°sin 12°，sin 13°>sin 12°>sin 11°，a>c>b.5已知sin 且为第二象限角，则tan等于()A B C D答案D解析由题意得cos ，则sin 2，cos 22cos21.tan 2，tan.6已知sin 2，则cos2等于()A. B.C. D.答案A解析因为cos2，所以cos2，故选A.7(2018·新疆乌鲁木齐一诊)的值是()A. B.C. D.答案C解析原式.8已知锐角，满足sin cos ，tan tan tan tan ，则，的大小关系是()A<< B<<C.<< D.<<答案B解析为锐角，sin cos >0，<<.又tan tan tan tan ，tan()，又>，<<.9(2017·江苏)若tan，则tan .答案解析方法一tan，6tan 61tan (tan 1)，tan .方法二tan tan.10(2018·河南八市质检)化简：· .答案解析原式tan(90°2)·····.11已知sin cos ，则sin2 .答案解析由sin cos ，两边平方得1sin 2，解得sin 2，所以sin2.12(2018·吉林模拟)已知sin()cos cos()sin ，是第三象限角，则sin .答案解析依题意可将已知条件变形为sin()sin ，sin .又是第三象限角，所以cos .所以sinsinsin cos cos sin ××.13(2017·河北衡水中学调研)若，且3cos 2sin，则sin 2的值为()A B. C D.答案C解析由3cos 2sin可得3(cos2sin2)(cos sin )，又由可知cos sin 0，于是3(cos sin )，所以12sin ·cos ，故sin 2.故选C.14已知coscos，则sin4cos4的值为 答案解析因为coscos(cos2sin2)cos 2.所以cos 2.故sin4cos422.15(2017·武汉调研)设，0，且满足sin cos cos sin 1，则sin(2)sin(2)的取值范围为 答案1,1解析由sin cos cos sin 1，得sin()1，又，0，即，sin(2)sin(2)sinsin(2)cos sin sin.，1sin1，即取值范围为1,116(2017·合肥模拟)已知函数f(x)(2cos2x1)·sin 2xcos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)若(0，)，且f，求tan 的值解(1)f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x)sin，f(x)的最小正周期T.令2k4x2k，kZ，得x，kZ.f(x)的单调递减区间为，kZ.(2)f，sin1.(0，)，<<，故.因此tan2.