高中数学复习专题：对数与对数函数.docx

§2.6对数与对数函数最新考纲考情考向分析1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，的对数函数的图象3.体会对数函数是一类重要的函数模型4.了解指数函数yax(a>0，且a1)与对数函数ylogax(a>0，且a1)互为反函数.以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为选择、填空题，中低档难度.1对数的概念一般地，如果axN(a>0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中_a_叫做对数的底数，_N_叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0，且a1，M>0，N>0，那么：loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)(2)对数的性质_N_；logaaN_N_(a>0，且a1)(3)对数的换底公式logab(a>0，且a1；c>0，且c1；b>0)3对数函数的图象与性质ylogaxa>10<a<1图象定义域(1)(0，)值域(2)R性质(3)过定点(1,0)，即x1时，y0(4)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0(6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数4.反函数指数函数yax(a>0且a1)与对数函数ylogax(a>0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称知识拓展1换底公式的两个重要结论(1)logab；(2)logab.其中a>0且a1，b>0且b1，m，nR.2对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)若MN>0，则loga(MN)logaMlogaN.(×)(2)对数函数ylogax(a>0且a1)在(0，)上是增函数(×)(3)函数yln与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(4)对数函数ylogax(a>0且a1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，函数图象只在第一、四象限()题组二教材改编2P68T4log29·log34·log45·log52_.答案23P82A组T6已知a，blog2，c，则a，b，c的大小关系为_答案c>a>b解析0<a<1，b<0，clog23>1.c>a>b.4P74A组T7函数y的定义域是_答案解析由0，得0<2x11.<x1.函数y的定义域是.题组三易错自纠5已知b>0，log5ba，lg bc,5d10，则下列等式一定成立的是()Adac BacdCcad Ddac答案B6已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a>0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是()Aa>1，c>1 Ba>1,0<c<1C0<a<1，c>1 D0<a<1,0<c<1答案D解析由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，0<a<1，图象与x轴的交点在区间(0,1)之间，该函数的图象是由函数ylogax的图象向左平移不到1个单位后得到的，0<c<1.7若loga<1(a>0且a1)，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析当0<a<1时，loga<logaa1，0<a<；当a>1时，loga<logaa1，a>1.实数a的取值范围是(1，).题型一对数的运算1设2a5bm，且2，则m等于()A. B10C20 D100答案A解析由已知，得alog2m，blog5m，则logm2logm5logm102.解得m.2计算：÷_.答案20解析原式(lg 22lg 52)×lg×10lg 102×102×1020.3计算：_.答案1解析原式1.思维升华 对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算题型二对数函数的图象及应用典例 (1)若函数ylogax(a>0且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()答案B解析由题意ylogax(a>0且a1)的图象过(3,1)点，可解得a3.选项A中，y3xx，显然图象错误；选项B中，yx3，由幂函数图象性质可知正确；选项C中，y(x)3x3，显然与所画图象不符；选项D中，ylog3(x)的图象与ylog3x的图象关于y轴对称，显然不符，故选B.(2)当0<x时，4x<logax，则a的取值范围是()A. B.C(1，) D(，2)答案B解析由题意得，当0<a<1时，要使得4x<logax，即当0<x时，函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方又当x时，2，即函数y4x的图象过点.把点代入ylogax，得a.若函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方，则需<a<1(如图所示)当a>1时，不符合题意，舍去所以实数a的取值范围是.引申探究若本例(2)变为方程4xlogax在上有解，则实数a的取值范围为_答案解析若方程4xlogax在上有解，则函数y4x和函数ylogax在上有交点，由图象知解得0<a.思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解跟踪训练 (1)函数y2log4(1x)的图象大致是()答案C解析函数y2log4(1x)的定义域为(，1)，排除A，B；又函数y2log4(1x)在定义域内单调递减，排除D.故选C.(2)(2017·衡水调研)已知函数f(x)且关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析如图，在同一坐标系中分别作出yf(x)与yxa的图象，其中a表示直线在y轴上的截距由图可知，当a>1时，直线yxa与ylog2x只有一个交点题型三对数函数的性质及应用命题点1对数函数的单调性典例 (1)(2018届河南信阳高中大考)设alog412，blog515，clog618，则()Aa>b>c Bb>c>aCa>c>b Dc>b>a答案A解析a1log43，b1log53，c1log63，log43>log53>log63，a>b>c.(2)(2017·江西九江七校联考)若函数f(x)log2(x2ax3a)在区间(，2上是减函数，则实数a的取值范围是()A(，4) B(4,4C(，4)2，) D4,4)答案D解析由题意得x2ax3a>0在区间(，2上恒成立且函数yx2ax3a在(，2上单调递减，则2且(2)2(2)a3a>0，解得实数a的取值范围是4,4)，故选D.命题点2和对数函数有关的复合函数典例 已知函数f(x)loga(3ax)(a>0且a1)(1)当x0,2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由解(1)a>0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数，x0,2时，t(x)的最小值为32a，当x0,2时，f(x)恒有意义，即x0,2时，3ax>0恒成立32a>0.a<.又a>0且a1，a的取值范围为(0,1).(2)假设存在这样的实数a.t(x)3ax，a>0，函数t(x)为减函数f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat为增函数，a>1，x1,2时，t(x)的最小值为32a，f(x)的最大值为f(1)loga(3a)，即故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1.思维升华 (1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题跟踪训练 (1)设alog32，blog52，clog23，则()Aa>c>b Bb>c>aCc>b>a Dc>a>b答案D解析alog32<log331，blog52<log551.又clog23>log221，所以c最大由1<log23<log25，得>，即a>b，所以c>a>b.(2)已知函数f(x)loga(8ax)(a>0，且a1)，若f(x)>1在区间1,2上恒成立，则实数a的取值范围是_答案解析当a>1时，f(x)loga(8ax)在1,2上是减函数，由f(x)>1在区间1,2上恒成立，则f(x)minloga(82a)>1，且82a>0，解得1<a<.当0<a<1时，f(x)在1,2上是增函数，由f(x)>1在区间1,2上恒成立，则f(x)minloga(8a)>1，且82a>0.a>4，且a<4，故不存在综上可知，实数a的取值范围是.比较指数式、对数式的大小考点分析比较大小问题是每年高考的必考内容之一(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.典例 (1)设alog3，blog2，clog3，则()Aa>b>c Ba>c>bCb>a>c Db>c>a答案A解析因为alog3>log331，blog2<log221，所以a>b，又(log23)2>1，c>0，所以b>c，故a>b>c.(2)(2017·新乡二模)设a60.4，blog0.40.5，clog80.4，则a，b，c的大小关系是()Aa<b<c Bc<b<aCc<a<b Db<c<a答案B解析a60.4>1，blog0.40.5(0,1)，clog80.4<0，a>b>c.故选B.(3)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2，则下列关系中不可能成立的是()Aa<b<c Bb<a<cCc<b<a Da<c<b答案A解析由loga2<logb2<logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：1<c<b<a；0<a<1<c<b；0<b<a<1<c；0<c<b<a<1.对照选项可知A中关系不可能成立(4)(2017·石家庄一模)已知函数yf(x2)的图象关于直线x2对称，且当x(0，)时，f(x)|log2x|，若af(3)，bf，cf(2)，则a，b，c的大小关系是()Aa>b>c Bb>a>cCc>a>b Da>c>b答案B解析易知yf(x)是偶函数当x(0，)时，f(x)f|log2x|，且当x1，)时，f(x)log2x单调递增，又af(3)f(3)，bff(4)，所以b>a>c.1设alog37，b21.1，c0.83.1，则()Ab<a<c Bc<a<bCc<b<a Da<c<b答案B解析alog37，1<a<2.b21.1，b>2.c0.83.1，0<c<1.即c<a<b，故选B.2(2017·孝义模拟)函数yln sin x(0<x<)的大致图象是()答案C解析因为0<x<，所以0<sin x1，所以ln sin x0，故选C.3已知函数f(x)则f(f(1)f的值是()A5 B3C1 D.答案A解析由题意可知f(1)log210，f(f(1)f(0)3012，f11213，所以f(f(1)f5.4(2017·北京)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是()(参考数据：lg 30.48)A1033 B1053C1073 D1093答案D解析由题意，lg lg lg 3361lg 1080361lg 380lg 10361×0.4880×193.28.又lg 103333，lg 105353，lg 107373，lg 109393，故与最接近的是1093.故选D.5(2017·江西红色七校二模)已知函数f(x)ln ，若fff503(ab)，则a2b2的最小值为()A6 B8C9 D12答案B解析f(x)f(ex)2，fff2 012，503(ab)2 012，ab4.a2b28，当且仅当ab2时取等号6若函数f(x)loga(a>0，a1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为()A(0，) B(2，)C(1，) D.答案A解析令Mx2x，当x时，M(1，)，f(x)>0，所以a>1，所以函数ylogaM为增函数，又M2，因此M的单调递增区间为.又x2x>0，所以x>0或x<，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，)7函数f(x)log5(2x1)的单调递增区间是_答案解析函数f(x)的定义域为，令t2x1(t>0)因为ylog5t在(0，)上为增函数，t2x1在上为增函数，所以函数ylog5(2x1)的单调递增区间是.8设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是_答案0，)解析当x1时，由21x2，解得x0，所以0x1；当x>1时，1log2x2，解得x，所以x>1.综上可知x0.9(2017·南昌模拟)设实数a，b是关于x的方程|lg x|c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是_答案(0,1)解析由题意知，在(0,10)上，函数y|lg x|的图象和直线yc有两个不同交点，ab1,0<c<lg 101，abc的取值范围是(0,1)10已知a>b>1.若logablogba，abba，则a_，b_.答案42解析令logabt，a>b>1，0<t<1，由logablogba，得t，解得t或t2(舍去)，即logab，b，又abba，()a，即，即，解得a4，b2.11已知函数f(x)loga(2xa)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是_答案解析当0<a<1时，函数f(x)在区间上是减函数，所以loga>0，即0<a<1，又2×a>0，解得<a<，且a<1，故<a<1；当a>1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以loga(1a)>0，即1a>1，且2×a>0，解得a<0，且a<1，此时无解综上所述，实数a的取值范围是.12(2018·长沙模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)0，当x>0时，f(x) .(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)>2.解(1)当x<0时，x>0，则f(x)因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)所以x<0时，f(x)，所以函数f(x)的解析式为f(x)(2)因为f(4)2，f(x)是偶函数，所以不等式f(x21)>2可化为f(|x21|)>f(4)又因为函数f(x)在(0，)上是减函数，所以0<|x21|<4，解得<x<且x±1，而x210时，f(0)0>2，所以<x<.13已知a，b0且a1，b1，若logab1，则()A(a1)(b1)0 B(a1)(ab)0C(b1)(ba)0 D(b1)(ba)0答案D解析由a，b0且a1，b1，及logab1logaa可得，当a1时，ba1，当0a1时，0ba1，代入验证只有D满足题意14已知函数f(x)ln(x21)，g(x)xm，若对x10,3，x21,2，使得f(x1)g(x2)，则实数m的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析当x0,3时，f(x)minf(0)0，当x1,2时，g(x)ming(2)m，由题意可知原条件等价于f(x)ming(x)min，即0m，所以m，故选A.15关于函数f(x)lg (x0，xR)有下列命题：函数yf(x)的图象关于y轴对称；在区间(，0)上，函数yf(x)是减函数；函数f(x)的最小值为lg 2；在区间(1，)上，函数f(x)是增函数其中是真命题的序号为_答案解析函数f(x)lg (x0，xR)，显然f(x)f(x)，即函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故正确；当x>0时，f(x)lg lg lg，令t(x)x，x>0，则t(x)1，可知当x(0,1)时，t(x)<0，t(x)单调递减，当x(1，)时，t(x)>0，t(x)单调递增，即f(x)在x1处取得最小值lg 2.由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知错误，正确，正确，故答案为.16(2017·厦门月考)已知函数f(x)ln .(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)对于x2,6，f(x)ln >ln 恒成立，求实数m的取值范围解(1)由>0，解得x<1或x>1，函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，当x(，1)(1，)时，f(x)ln ln ln1ln f(x)，f(x)ln 是奇函数(2)x2,6时，f(x)ln >ln 恒成立，>>0，x2,6，0<m<(x1)(7x)在2,6上恒成立令g(x)(x1)(7x)(x3)216，x2,6，由二次函数的性质可知，x2,3时函数g(x)单调递增，x3,6时函数g(x)单调递减，当x2,6时，g(x)ming(6)7，0<m<7.