高考理科数学总复习——真题试题分类汇编之函数与导数（含详解）.docx

第 1 页 共 22 页高考理科数学总复习真题试题分类汇编之函数与导数（含详解）1.（北京）能说明“若 f（x）f（0）对任意的 x（0，2都成立，则 f（x）在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是 f（x）=sinx 【解答】解：例如 f（x）=sinx，尽管 f（x）f（0）对任意的 x（0，2都成立，当 x0， ）上为增函数，在（ ，2为减函数，故答案为：f（x）=sinx2. （北京）设函数 f（x）=ax 2（4a+1）x+4a+3e x（）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与 x轴平行，求 a；（）若 f（x）在 x=2处取得极小值，求 a的取值范围【解答】解：（）函数 f（x）=ax 2（4a+1）x+4a+3e x的导数为f（x）=ax 2（2a+1）x+2e x由题意可得曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线斜率为 0，可得（a2a1+2）e=0，解得 a=1；（）f（x）的导数为 f（x）=ax 2（2a+1）x+2e x=（x2） （ax1）e x，若 a=0则 x2 时，f（x）0，f（x）递增；x2，f（x）0，f（x）递减x=2处 f（x）取得极大值，不符题意；若 a0，且 a= ，则 f（x）= （x2） 2ex0，f（x）递增，无极值；若 a ，则 2，f（x）在（ ，2）递减；在（2，+） ， （， ）递增，可得 f（x）在 x=2处取得极小值；若 0a ，则 2，f（x）在（2， ）递减；在（ ，+） ， （，2）递增，第 2 页 共 22 页可得 f（x）在 x=2处取得极大值，不符题意；若 a0，则 2，f（x）在（ ，2）递增；在（2，+） ， （， ）递减，可得 f（x）在 x=2处取得极大值，不符题意综上可得，a 的范围是（ ，+） 3. （江苏）函数 f（x）= 的定义域为 2，+） 【解答】解：由题意得： 1，解得：x2，函数 f（x）的定义域是2，+） 故答案为：2，+） 4. （江苏）函数 f（x）满足 f（x+4）=f（x） （xR） ，且在区间（2，2上，f（x）=，则 f（f（15） ）的值为 【解答】解：由 f（x+4）=f（x）得函数是周期为 4的周期函数，则 f（15）=f（161）=f（1）=|1+ |= ，f（ ）=cos（ ）=cos = ，即 f（f（15） ）= ，故答案为：5. （江苏）若函数 f（x）=2x 3ax 2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，则f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为 3 【解答】解：函数 f（x）=2x 3ax 2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，f（x）=2x（3xa） ，x（0，+） ，当 a0 时，f（x）=2x（3xa）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+）上没有零点，舍去；当 a0 时，f（x）=2x（3xa）0 的解为 x ，f（x）在（0， ）上递减，在（，+）递增，又 f（x）只有一个零点，f（ ）= +1=0，解得 a=3，第 3 页 共 22 页f（x）=2x 33x 2+1，f（x）=6x（x1） ，x1，1，f（x）0 的解集为（1，0） ，f（x）在（1，0）上递增，在（0，1）上递减；f（1）=4，f（0）=1，f（1）=0，f（x） min=f（1）=4，f（x） max=f（0）=1，f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为：f（x） max+f（x） min=4+1=36. （江苏）记 f（x） ，g（x）分别为函数 f（x） ，g（x）的导函数若存在 x0R，满足f（x 0）=g（x 0）且 f（x 0）=g（x 0） ，则称 x0为函数 f（x）与 g（x）的一个“S 点” （1）证明：函数 f（x）=x 与 g（x）=x 2+2x2 不存在“S 点” ；（2）若函数 f（x）=ax 21 与 g（x）=lnx 存在“S 点” ，求实数 a的值；（3）已知函数 f（x）=x 2+a，g（x）= 对任意 a0，判断是否存在 b0，使函数f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S 点” ，并说明理由【解答】解：（1）证明：f（x）=1，g（x）=2x+2，则由定义得 ，得方程无解，则 f（x）=x 与 g（x）=x 2+2x2 不存在“S 点” ；（2）f（x）=2ax，g（x）= ，x0，由 f（x）=g（x）得 =2ax，得 x= ，f（ ）= =g（ ）= lna2，得 a= ；（3）f（x）=2x，g（x）= ， （x0） ，由 f（x 0）=g（x 0） ，得 b = 0，得 0x 01，由 f（x 0）=g（x 0） ，得x 02+a= = ，得 a=x02 ，第 4 页 共 22 页令 h（x）=x 2 a= ， （a0，0x1） ，设 m（x）=x 3+3x2+axa， （a0，0x1） ，则 m（0）=a0，m（1）=20，得 m（0）m（1）0，又 m（x）的图象在（0，1）上连续不断，则 m（x）在（0，1）上有零点，则 h（x）在（0，1）上有零点，则 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S”点7. （全国 1卷）设函数 f（x）=x 3+（a1）x 2+ax若 f（x）为奇函数，则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）DAy=2x By=x Cy=2x Dy=x【解答】解：函数 f（x）=x 3+（a1）x 2+ax，若 f（x）为奇函数，可得 a=1，所以函数f（x）=x 3+x，可得 f（x）=3x 2+1，曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x故选：D8. （全国 1卷）已知函数 f（x）= ，g（x）=f（x）+x+a若 g（x）存在 2个零点，则 a的取值范围是（ ）CA1，0） B0，+） C1，+） D1，+）【解答】解：由 g（x）=0 得 f（x）=xa，作出函数 f（x）和 y=xa 的图象如图：当直线 y=xa 的截距a1，即 a1 时，两个函数的图象都有 2个交点，即函数 g（x）存在 2个零点，故实数 a的取值范围是1，+） ，故选：C第 5 页 共 22 页9. （全国 1卷）已知函数 f（x）=2sinx+sin2x，则 f（x）的最小值是 【解答】解：由题意可得 T=2 是 f（x）=2sinx+sin2x 的一个周期，故只需考虑 f（x）=2sinx+sin2x 在0，2）上的值域，先来求该函数在0，2）上的极值点，求导数可得 f（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos 2x1）=2（2cosx1） （cosx+1） ，令 f（x）=0 可解得 cosx= 或 cosx=1，可得此时 x= ， 或 ；y=2sinx+sin2x 的最小值只能在点 x= ， 或 和边界点 x=0中取到，计算可得 f（ ）= ，f（）=0，f（ ）= ，f（0）=0，函数的最小值为 ，故答案为： 10. （全国 1卷）已知函数 f（x）= x+alnx（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）存在两个极值点 x1，x 2，证明： a2【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+） ，第 6 页 共 22 页函数的导数 f（x）= 1+ = ，设 g（x）=x 2ax+1，当 a0 时，g（x）0 恒成立，即 f（x）0 恒成立，此时函数 f（x）在（0，+）上是减函数，当 a0 时，判别式=a 24，当 0a4 时，0，即 g（x）0，即 f（x）0 恒成立，此时函数 f（x）在（0，+）上是减函数，当 a2 时，x，f（x） ，f（x）的变化如下表：x （0，）（ ，）（ ，+）f（x） 0 + 0 f（x） 递减 递增 递减综上当 a2 时，f（x）在（0，+）上是减函数，当 a2 时，在（0， ） ，和（ ，+）上是减函数，则（ ， ）上是增函数（2）由（1）知 a2，0x 11x 2，x 1x2=1，则 f（x 1）f（x 2）=（x 2x 1） （1+ ）+a（lnx 1lnx 2）=2（x 2x 1）+a（lnx 1lnx 2） ，第 7 页 共 22 页则 =2+ ，则问题转为证明 1 即可，即证明 lnx1lnx 2x 1x 2，即证 2lnx1x 1 在（0，1）上恒成立，设 h（x）=2lnxx+ ， （0x1） ，其中 h（1）=0，求导得 h（x）= 1 = = 0，则 h（x）在（0，1）上单调递减，h（x）h（1） ，即 2lnxx+ 0，故 2lnxx ，则 a2 成立11.（全国 2卷）函数 f（x）= 的图象大致为（ ）BA B C D【解答】解：函数 f（x）= = =f（x） ，则函数 f（x）为奇函数，图象第 8 页 共 22 页关于原点对称，排除 A，当 x=1时，f（1）=e 0，排除 D当 x+时，f（x）+，排除 C，故选：B12.（全国 2卷）已知 f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足 f（1x）=f（1+x） ，若 f（1）=2，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（ ）CA50 B0 C2 D50【解答】解：f（x）是奇函数，且 f（1x）=f（1+x） ，f（1x）=f（1+x）=f（x1） ，f（0）=0，则 f（x+2）=f（x） ，则 f（x+4）=f（x+2）=f（x） ，即函数 f（x）是周期为 4的周期函数，f（1）=2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（12）=f（1）=f（1）=2，f（4）=f（0）=0，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+02+0=0，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=12f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C13.（全国 2卷）曲线 y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x 【解答】解：y=2ln（x+1） ，y= ，当 x=0时，y=2，曲线 y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x故答案为：y=2x14.（全国 2卷）已知函数 f（x）=e xax 2（1）若 a=1，证明：当 x0 时，f（x）1；（2）若 f（x）在（0，+）只有一个零点，求 a第 9 页 共 22 页【解答】证明：（1）当 a=1时，函数 f（x）=e xx 2则 f（x）=e x2x，令 g（x）=e x2x，则 g（x）=e x2，令 g（x）=0，得 x=ln2当（0，ln2）时，h（x）0，当（ln2，+）时，h（x）0，h（x）h（ln2）=e ln22ln2=22ln20，f（x）在0，+）单调递增，f（x）f（0）=1，解：（2） ，f（x）在（0，+）只有一个零点方程 exax 2=0在（0，+）只有一个根，a= 在（0，+）只有一个根，即函数 y=a与 G（x）= 的图象在（0，+）只有一个交点G ，当 x（0，2）时，G（x）0，当（2，+）时，G（x）0，G（x）在（0，2）递增，在（2，+）递增，当0 时，G（x）+，当+时，G（x）+，f（x）在（0，+）只有一个零点时，a=G（2）= 15.（全国 3卷）函数 y=x 4+x2+2的图象大致为（ ）DA B C第 10 页 共 22 页D【解答】解：函数过定点（0，2） ，排除 A，B函数的导数 f（x）=4x 3+2x=2x（2x 21） ，由 f（x）0 得 2x（2x 21）0，得 x 或 0x ，此时函数单调递增，排除C，故选：D16.（全国 3卷）设 a=log0.20.3，b=log 20.3，则（ ）BAa+bab0 Baba+b0 Ca+b0ab Dab0a+b【解答】解：a=log 0.20.3= ，b=log 20.3= ， = ， ， ， ，aba+b0故选：B17.（全国 3卷）曲线 y=（ax+1）e x在点（0，1）处的切线的斜率为2，则 a= 3 【解答】解：曲线 y=（ax+1）e x，可得 y=ae x+（ax+1）e x，曲线 y=（ax+1）e x在点（0，1）处的切线的斜率为2，可得：a+1=2，解得 a=3故答案为：318.（全国 3卷）已知函数 f（x）=（2+x+ax 2）ln（1+x）2x（1）若 a=0，证明：当1x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0；（2）若 x=0是 f（x）的极大值点，求 a