2019版数学浙江省学业水平考试专题复习选修214.docx
优质文本知识点一抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线知识点二抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下知识点三直线与抛物线的位置关系1直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系2有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，假设过抛物线的焦点，且焦点在x轴的正半轴，可直接使用公式|AB|x1x2p，假设不过焦点，那么必须用一般弦长公式3涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求“整体代入等解法特别提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法求解题型一抛物线的定义及应用例1点P是抛物线y22x上的一个动点，那么点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为()A. B3 C. D.答案A解析如图，由抛物线定义知，|PA|PQ|PA|PF|，那么所求距离之和的最小值转化为求|PA|PF|的最小值，那么当A，P，F三点共线时，|PA|PF|取得最小值A(0,2)，F，(|PA|PF|)min|AF|.感悟与点拨与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度“看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径跟踪训练1(1)P是抛物线x24y上一点，抛物线的焦点为F，且|PF|5，那么点P的纵坐标为()A5 B4 C2 D1(2)点P是抛物线x24y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，那么|PA|PQ|的最小值为()A7 B8 C9 D10答案(1)B(2)C解析(1)抛物线的焦点F(0,1)，准线方程为y1，设P(m，n)，那么由抛物线的定义，可得|PF|d(d为点P到准线的距离)，故有n15，解得n4.(2)抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y1，根据抛物线的定义知，|PF|PM|PQ|1.|PA|PQ|PA|PM|1|PA|PF|1|AF|111019.当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，那么|PA|PQ|的最小值为9.应选C.题型二抛物线的标准方程和几何性质例2(1)抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，那么抛物线C的标准方程是()Ay2±2x By2±2xCy2±4x Dy2±4x(2)抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(4，2)，那么它的标准方程为_答案(1)D(2)y22x解析(1)由题意可求得双曲线的焦点坐标为(，0)，(，0)，设抛物线的方程为y2±2px(p>0)，那么，所以p2，所以抛物线的标准方程为y2±4x.(2)由题意可知抛物线的焦点在x轴上，设方程为y22px(p>0)或y22px(p>0)假设方程为y22px(p>0)，那么82p×4，得p1，故方程为y22x；假设方程为y22px(p>0)，那么82p×4，得p1，不符合条件，故不成立所以抛物线的标准方程为y22x.感悟与点拨(1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程跟踪训练2(1)抛物线y22px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|4|OF|，MFO的面积为4，那么抛物线的标准方程为()Ay26x By28xCy216x Dy2(2)假设抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，那么该抛物线的准线方程为_(3)点A(4,0)，抛物线C：y22px(0<p<4)的准线为l，点P在C上，作PHl于H，且|PH|PA|，APH120°，那么p_.答案(1)B(2)x2(3)解析(1)设M(x，y)，因为|OF|，|MF|4|OF|，所以|MF|2p，由抛物线定义知x2p，所以xp，所以y±p.又MFO的面积为4，所以××p4，解得p4(p4舍去)所以抛物线的方程为y28x.(2)由椭圆1，知a3，b，所以c2a2b24，所以c2，因此椭圆的右焦点坐标为(2,0)又抛物线y22px的焦点坐标为，由题意知2，于是抛物线的准线方程为x2.(3)设焦点为F，那么PAF60°，xpxp，所以4xp2pp.题型三直线与抛物线例3(2017年4月学考)抛物线C：y22px过点A(1,1)(1)求抛物线C的方程；(2)过点P(3，1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值(1)解由题意得2p1，所以抛物线方程为y2x.(2)证明设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为xt(y1)3，代入抛物线方程得y2tyt30，所以(t2)28>0，y1y2t，y1y2t3，所以k1·k2··.所以k1·k2是定值感悟与点拨(1)联立方程解方程组，利用根与系数的关系，“设而不求(2)定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值跟踪训练3(1)(2018年4月学考)如图，抛物线yx21与x轴相交于A，B两点，P是该抛物线上位于第一象限内的点记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k2k1为定值；过点A作ADPB，垂足为D.假设D关于x轴的对称点恰好在直线PA上，求PAD的面积证明由题意得点A，B的坐标分别为(1,0)，(1,0)设点P的坐标为P(t，t21)，且t>1，那么k1t1，k2t1，所以k2k12为定值解由直线PA，AD的位置关系知kADk11t.因为ADPB，所以kAD·k2(1t)(t1)1.解得t±.因为P是第一象限内的点，所以t.由此可得点P的坐标为(，1)联立直线PB与AD的方程得点D的坐标为，所以SPAD·|AB|·|yPyD|1.(2)过抛物线y22x的顶点作互相垂直的两条弦OA，OB.求AB的中点的轨迹方程；求证：直线AB过定点解设直线OA的方程为ykx，那么直线OB的方程为yx.联立直线OA与抛物线的方程知，点A的坐标为，联立直线OB与抛物线的方程知，点B的坐标为(2k2，2k)，那么AB的中点M的坐标为，故点M的轨迹方程为xy22.证明由(1)可知kAB，那么直线AB的方程为y，整理得y.所以直线AB过定点(2,0)一、选择题1对抛物线x212y，以下判断正确的选项是()A焦点坐标是(3,0) B焦点坐标是(0，3)C准线方程是y3 D准线方程是x3答案C解析因为2p12，所以3，又因为焦点在y轴上，所以焦点坐标是(0,3)，准线方程是y3，应选C.2抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线1的一个焦点重合，那么该抛物线的标准方程可能是()Ax24y Bx24yCy212x Dx212y答案D解析由题意得c3，所以抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，3)，所以该抛物线的标准方程为x212y或x212y.3抛物线x24y上一点A的纵坐标为4，那么点A与抛物线焦点的距离为()A2 B3 C4 D5答案D4动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x20相切，那么动圆必过点()A(4,0) B(2,0)C(0,2) D(0，2)答案B解析直线x20是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2,0)5设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，那么|AB|等于()A. B6 C12 D7答案C解析由题意，得F，又ktan 30°，故直线AB的方程为y，与抛物线y23x联立，得16x2168x90.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义得，|AB|x1x2p12，应选C.6设抛物线y22px(p>0)的焦点为F，假设F到直线yx的距离为，那么p等于()A2 B4 C2 D4答案B解析由抛物线y22px(p>0)的焦点为F，F到直线yx的距离为，可得，解得p4，应选B.7直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上的一点，那么ABP的面积为()A18 B24 C36 D48答案C解析不妨设抛物线的方程为y22px(p>0)，依题意，lx轴，且焦点F，当x时，|y|p，|AB|2p12，p6，又点P到直线AB的距离为p6，故SABP|AB|·p×12×636.8直线l1：4x3y60和直线l2：x，假设抛物线C：y22px(p>0)上的点到直线l1和l2的距离之和的最小值为2，那么抛物线C的方程为()Ay24x By22xCy2 Dy2答案A解析根据抛物线的定义，设抛物线上的点M(x，y)，M到焦点F的距离与到l2：x的距离相等，那么M到l1和l2的距离之和为M到l1的距离与|MF|之和，最小值为F到l1的距离，所以2，所以p2.应选A.9方程mxny20与mx2ny21(|m|>|n|>0)的曲线在同一坐标系中的示意图应是()答案A解析采用特殊值法，由|m|>|n|>0可取m，n，A项符合题意，B项错误，取m，n时，排除C，D，应选A.10抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x1，直线l与抛物线C相交于A，B两点假设线段AB的中点坐标为(2,1)，那么直线l的方程为()Ay2x3 By2x5Cyx3 Dyx1答案A解析抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x1，1，p2，抛物线的方程为y24x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么两式相减得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，直线AB的斜率k2，从而直线l的方程为y12(x2)，即y2x3.二、填空题11(2016年10月学考)抛物线y22px过点A(1,2)，那么p_，准线方程是_答案2x112抛物线y2x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_答案解析设抛物线上点的坐标为(x，±)，此点到准线的距离为x，到顶点的距离为，由题意有x，x，此点坐标为.13设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|_.答案8解析如下列图，直线AF的方程为y(x2)，与准线方程x2联立得A(2,4)设P(x0,4)，代入抛物线y28x，得8x048，x06，|PF|x028.14圆C：x2y28xay50经过抛物线E：x24y的焦点，那么抛物线E的准线与圆C相交所得弦长为_答案4解析因为抛物线x24y的焦点(0,1)在圆x2y28xay50上，所以02128×0a50，解得a4，所以圆的标准方程为(x4)2(y2)225，那么圆心为C(4，2)，半径为r5，那么圆心C(4，2)到抛物线的准线y1的距离为d1，所以所求弦长为224.三、解答题15(2018年6月学考)如图，直线l不与坐标轴垂直，且与抛物线C：y2x有且只有一个公共点P.(1)当点P的坐标为(1,1)时，求直线l的方程；(2)设直线l与y轴的交点为R，过点R且与直线l垂直的直线m交抛物线C于A，B两点当|RA|·|RB|RP|2时，求点P的坐标解(1)设直线l的斜率为k(k0)，那么l的方程为y1k(x1)，联立方程组消去x，得ky2y1k0，由可得14k(1k)0，解得k，故所求直线l的方程为x2y10.(2)设点P的坐标为(t2，t)，直线l的斜率为k(k0)，那么l的方程为ytk(xt2)，联方程组消去x，得ky2ytkt20，由可得14k(tkt2)0，得k(t0)所以，点R的纵坐标为tkt2，从而，点R的坐标为，由ml可知，直线m的斜率为2t，所以，直线m的方程为y2tx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线m的方程代入y2x，得4t2x2(2t21)x0，所以(2t21)24t44t21>0，x1x2，又|RA|x1|，|RB|x2|，|RP|2t4t2，由|RA|·|RB|RP|2，得(14t2)|x1x2|t4t2，即(14t2)t4t2，解得t±，所以，点P的坐标为.16(2017年11月学考)如图，抛物线x2y与直线y1交于M，N两点Q为该抛物线上异于M，N的任意一点，直线MQ与x轴、y轴分别交于点A，B，直线NQ与x轴、y轴分别交于点C，D.(1)求M，N两点的坐标；(2)证明：B，D两点关于原点O对称；(3)设QBD，QCA的面积分别为S1，S2，假设点Q在直线y1的下方，求S2S1的最小值(1)解由解得或因此M，N两点的坐标分别为(1,1)，(1,1)(2)证明设点Q的坐标为Q(x0，x)，那么直线MQ的方程为y(x01)(x1)1.令x0，得点B的坐标为(0，x0)直线NQ的方程为y(x01)(x1)1.令x0，得点D的坐标为(0，x0)综上所述，点B，D关于原点O对称(3)解由(2)得|BD|2|x0|，因此S1·|BD|·|x0|x.在直线MQ的方程中，令y0，得A.在直线NQ的方程中，令y0，得C.因此|AC|，S2·|AC|·x，S2S1x，令t1x，由题意得1<x0<1，所以0<t1，因此S2S1323，当且仅当t，即x0± 时取等号综上所述，S2S1的最小值是23.
