量子力学复习提纲(1).doc
优质文本量子力学复习提纲第一章 绪论1.德布罗意关系,(1)(2)2.微观粒子的波粒二象性.3. 电子被伏电压加速,那么电子的德布罗意波长为 (3)第二章 波函数和薛定谔方程1.波函数的统计解释:波函数在空间某一点的强度和在该处找到粒子的几率成正比,描写粒子的波是几率波.其中代表几率密度.2.态叠加原理:如果和是体系的可能状态,那么它们的线性叠加 ,也是体系的一个可能状态.3. 薛定谔方程和定态薛定谔方程薛定谔方程 (4)定态薛定谔方程 (5)其中 (6)为哈密顿算符,又称为能量算符,4. 波函数的标准条件: 有限性,连续性(包括及其一阶导数)和单值性.5. 波函数的归一化, (9)6.求解一维薛定谔方程的几个例子.一维无限深势阱及其变种, 一维线性谐振子;势垒贯穿.第三章 量子力学中的力学量1. 坐标算符, 动量算符及角动量算符;构成量子力学力学量的法那么;2. 本征值方程,本征值,本征函数的概念 (10)3. 厄密算符的定义,性质及与力学量的关系.(11)实数性: 厄密算符的本征值是实数.正交性: 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数 相互正交.完全性: 厄密算符的本征函数和组成完全系, 即任一函数可以按和展开为级数: (12)展开系数: , (13) . (14)是在态中测量力学量得到的几率,是在态中测量力学量,得到测量结果在到范围内的几率.4. 和算符的本征值方程,本征值和本征函数. , 本征函数 .5. 氢原子的哈密顿算符及其本征值,本征函数的数学结构, (15)主量子数n,角量子数l和磁量子数m的取值范围,简并态的概念. 6. 氢原子的能级公式和能级的简并度. (16)不考虑电子的自旋是度简并的;考虑电子的自旋是度简并的.7. 给定电子波函数的表达式,根据电子在点周围的 体积元内的几率(17)计算电子几率的径向分布和角分布. 计算在半径到的球壳内找到电子的几率.8. 给定态函数,计算力学量平均值,平均值的计算公式. (18)注意(11)式对波函数所在的空间作积分.9. 算符的对易关系及测不准关系.(1) 如果一组算符相互对易,那么这些算符所表示的力学量同时具有确定值(即对应的本征值), 这些算符有组成完全系的共同的本征函数. 例如: 氢原子的哈密顿算符,角动量平方算符和角动量算符相互对易, 那么(i) 它们有共同的本征函数,() 在态中,它们同时具有确定值:, , .(2) 测不准关系:如果算符和不对易,那么一般来说它们不能同时有确定值.设 那么算符和的均方偏差满足:(19)其中 , (a) 利用测不准关系估计氢原子的基态能量, 线性谐振子的零点能等.(b) 给定态函数,计算两个力学量和的均方偏差的乘积(20)第四章 态和力学量的表象1. 对表象的理解(1) 状态: 态矢量 (2) 表象:力学量的本征函数 构成无限维希耳伯特空间(坐标系)的基矢量(4) 将态矢量按照上述基矢量展开:是态矢量在表象中沿各 基矢量的分量.(5) 是在所描写的态中,测量力学量得到结果为的几率. 2. 算符在Q表象中的表示(i)算符在Q表象中是一个矩阵, 称为矩阵元() 算符在自身表象中是一个对角矩阵,其对角矩阵元为该算符对应的本征值.3. 量子力学公式的矩阵表述(1) 平均值公式: (21)(2) 本征值方程 à 久期方程 à(3) 薛定谔方程的矩阵形式 (22)4. 么正变换的概念(1) 么正变换是两个表象基矢量之间的变换矩阵.(2) 么正变换的矩阵元由两个表象的基矢量共同确定,(3) 态矢量由A表象变换到B表象的公式 (23)(4) 力学量由A表象变换到B表象的公式: (24)5. 么正变换的性质(i) 么正变换不改变算符的本征值;() 么正变换不改变矩阵F的迹;() 么正变换不改变力学量的平均值.第五章 微扰理论(I) 求解非简并定态微扰问题(1) 确定微扰的哈密顿算符. , 及与对应的零级近似能量和零级近似波函数;(2) 计算能量的一级修正: (25)(3) 计算波函数的一级修正: (26)(4) 计算能量的二级修正: (27)() 求解非简并定态微扰问题 (只要求能量的一级修正)求解步骤(1) 确定微扰的哈密顿算符.(2) 确定微扰算符的矩阵元:(28)(3) 求解久期方程得到能量的一级修正 (29)() 变分法不作要求() 含时微扰论(1) 根本步骤设的本征函数为为:(30)将按照的定态波函数展开:(31)展开系数的表达式:(32)其中 (33)是微扰矩阵元,(34)为体系由能级跃迁到能级的玻尔频率.在t时刻发现体系处于态的几率是, 体系在微扰的作用下,由初态跃迁到终态的几率为 (35)(2) 用于周期微扰得到 (36)由(36)式,讨论并理解发生跃迁的条件是或 (37)(i) 说明只有外界的微扰含有频率时,体系才能从态跃迁到态,这时体系吸收和发射的能量是;()跃迁是一个共振现象.(3) 能量时间的测不准关系的含义(38)(4) 了解原子的跃迁几率和三个爱因斯坦系数: , 和及相互关系.(5) 了解用含时微扰理论计算爱因斯坦发射和吸收系数(6) 记住对角量子数和磁量子数的选择定那么(39)第六章 散射 只要求理解微分散射截面的概论, 不作计算要求.第七章 自旋与全同粒子1. 电子的自旋角动量,它在空间任何方向的投影只能取(40)2. 自旋算符的矩阵形式 , , (41)3.泡利矩阵 , , (42)(1) 求力学量在某个自旋态的平均值和均方偏差. (43) (44) (2)求解自旋角动量算符的本征值方程, 本征值和本征函数4. 自旋与轨道角动量的耦合及产生光谱的精细结构的原因.5. 全同性原理的表述6. 描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称或反对称的,它们的对称性不随时间改变. 实验证明,微观粒子按照其波函数的对称性可以分为两类: (I) 费米子: 波函数是反对称的; () 玻色子: 波函数是对称的.名称自旋波函数统计规律举例费米子的奇数倍反对称费密-狄拉克统计电子,质子,中子(自旋)玻色子0, 1, 或的偶数倍对称玻色-爱因斯坦统计光子 (自旋为1)粒子(自旋为零)7.泡利不相容原理:不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态.
