3.1.1变化率问题(实用).ppt
1.1.11.1.1变化率问题变化率问题yxy=f(x)f(x2)f(x1)x1x2f(x1)f(x2)x2 x1O第一类问题：研究物体运动的瞬时速度问题；第一类问题：研究物体运动的瞬时速度问题；第二类问题：求曲线的切线问题；第二类问题：求曲线的切线问题；到了十六世纪，有许多科学问题需要解决，由到了十六世纪，有许多科学问题需要解决，由于航海、机械制造、军事上的需要，运动的研究成于航海、机械制造、军事上的需要，运动的研究成了自然科学的中心议题，了自然科学的中心议题，人们提出了四类亟待解决人们提出了四类亟待解决的数学问题：的数学问题：第三类问题：求函数的最大值和最小值问题；第三类问题：求函数的最大值和最小值问题；第四类问题：第四类问题：求长度、面积、体积和重心等问题求长度、面积、体积和重心等问题.微微积积分分的的创创始始人人牛顿牛顿莱布尼兹莱布尼兹发现了解决四类问题的一般方法发现了解决四类问题的一般方法情境应用，感知概念 (1)在股市中，甲挣到在股市中，甲挣到10万元，乙挣万元，乙挣到到2万元，据此，你能评价甲、乙两人万元，据此，你能评价甲、乙两人的收益吗？的收益吗？情境情境1:(2)甲、乙两人投入相同的资金，甲用甲、乙两人投入相同的资金，甲用5年时年时间挣到间挣到10万元，乙用万元，乙用5个月时间挣到个月时间挣到2万元，万元，你能评价甲、乙两人的收益吗？你能评价甲、乙两人的收益吗？仅考虑一个变量的变化是不行的仅考虑一个变量的变化是不行的 海南最近海南最近12个月新房价格走势个月新房价格走势海南在售新房均价：26683 元/平方米(仅供参考)情境情境2:问题问题:如何刻画变化的快与慢呢？如何刻画变化的快与慢呢？情境应用，感知概念 高台跳水高台跳水在在0秒到秒到0.5秒时间段内运动员的平均速度秒时间段内运动员的平均速度?在在1秒到秒到2秒时间段内呢秒时间段内呢?求求看：求求看：运动员距水面的高度运动员距水面的高度h(单位单位:米米)与起跳后的与起跳后的时间时间t（单位（单位:秒）存在函数关系秒）存在函数关系若用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动若用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态状态,那么求那么求:在在t1到到t2秒内呢？秒内呢？(m/s)(m/s)比较各次打气后的气球比较各次打气后的气球,你观察到了什么现象你观察到了什么现象?用打气筒打气球，若每次都打入相同体积的气用打气筒打气球，若每次都打入相同体积的气思考：思考：能否构建一个函数模型能否构建一个函数模型,描述这种现象？描述这种现象？(假定气球是理想的球假定气球是理想的球,且不会被吹爆且不会被吹爆)小实验：小实验：随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢气球气球:第一次打第一次打1升升 第二次打第二次打1升升 第三次打第三次打1升升当空气容量当空气容量V从从0增加到增加到1L时，时，气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为当空气容量当空气容量V从从1L增加到增加到2L时，时，气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为体会一下体会一下:当空气容量从当空气容量从V1增加到增加到V2时，气球的平均时，气球的平均膨胀率是多少？膨胀率是多少？想一想：想一想：式子式子 称为函数称为函数 y=f(x)从从x1到到 x2的的平均变化率平均变化率.定义定义 它反映了它反映了函数变化的快慢函数变化的快慢.是一个整体符号，而是一个整体符号，而不是不是 与与 相乘相乘.理解：理解：1，式子中，式子中x、y 的值可正、可负，但的值可正、可负，但 的的x值不能为值不能为0，y 的值可以为的值可以为02，若函数，若函数f(x)为常函数时，为常函数时，y=0 3,变式变式练习练习:1.甲用甲用5年时间挣到年时间挣到10万元万元,乙用乙用5个月时间挣到个月时间挣到2万元万元,如何比较和评价甲、乙两人的经营成果如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?2.已知函数已知函数 f(x)=2 x+1,g(x)=2 x,分别计算在分别计算在下列区间上下列区间上 f(x)及及 g(x)的平均变化率的平均变化率.(1)3,1;(2)0,5 .做两个题吧!1、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=()A、3 B、3x-(x)2C、3-(x)2 D、3-x D2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率.2x0+x 平均变化率的求解步骤：平均变化率的求解步骤：（1）求函数的增量求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);（2）计算平均变化率计算平均变化率1、已知函数已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点的图象上的一点A（-1,-2）及临近一点及临近一点B（-1+x,-2+y），），则则y/x=（）A.3 B.3x-(x)2 C.3-(x)2 D.3-x D随堂练习随堂练习2、函数函数 在区间在区间 上的上的平均变化率是（平均变化率是（）A.4 B.2 C.D.B3、函数函数 在区间在区间1，1.5上的上的平均变化率为平均变化率为_.5解：由平均变化率的公式解：由平均变化率的公式观察函数观察函数 f(x)的图象的图象,平均变化率平均变化率表示什么表示什么?yxy=f(x)f(x2)f(x1)x1x2f(x1)f(x2)x2 x1O平均变化率的几何意义平均变化率的几何意义曲线上两点对应割线的斜率曲线上两点对应割线的斜率.试一试试一试 已知一次函数已知一次函数 在区间在区间-2，6上的平均变上的平均变化率为化率为2，且函数图象过点（，且函数图象过点（0，2），试求此一次），试求此一次函数的表达式函数的表达式.解：由平均变化率的含义可知该直线的斜率为解：由平均变化率的含义可知该直线的斜率为2，设直线方程为设直线方程为y=2x+b,又因为直线经过点（又因为直线经过点（0，2），），代入方程得代入方程得b=2.则直线方程为：则直线方程为：y=2x+2.平均变化率的定义平均变化率的定义:1.知识方面：知识方面：2.思想方法：思想方法：几何意义几何意义:曲线割线的斜率曲线割线的斜率.由特殊到一般由特殊到一般数形结合数形结合由具体到抽象由具体到抽象交流与反思交流与反思探究探究 平均速度不能反映他在这段平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态度描述运动状态.课后探究课后探究:(1)搜集微积分的发展史资料；搜集微积分的发展史资料；(2)生活中的变化率问题的例子；生活中的变化率问题的例子；(3)物理中如何求瞬时速度物理中如何求瞬时速度.
