高考真题函数与导数解答题文科教师版.docx
精品文档高考真题：函数与导数解答题文科教师版1设函数.1当时，求函数在上的最小值的表达式；2函数在上存在零点， ，求的取值范围.【来源】2021年全国普通高等学校招生统一考试文科数学浙江卷带解析试题解析：1当时， ，故其对称轴为.当时， .当时， .当时， .综上， 2设为方程的解，且，那么.由于，因此.当时， ，由于和，所以.当时， ，由于和，所以.综上可知， 的取值范围是.考点：1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想.视频2本小题总分值12分设函数.讨论的导函数的零点的个数；证明：当时.【来源】2021年全国普通高等学校招生统一考试文科数学新课标带解析试题解析： 的定义域为， .当时, ， 没有零点；当时，因为单调递增， 单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时， ,故当时， 存在唯一零点.由，可设在的唯一零点为，当时， ;当时， .故在单调递减，在单调递增，所以当时， 取得最小值，最小值为.由于，所以.故当时， .3设函数， ，其中.求的单调区间；假设存在极值点，且，其中，求证：；设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学天津卷精编版试题解析：解：由，可得，下面分两种情况讨论：1当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.2当时，令，解得或.当变化时， ， 的变化情况如下表：0单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为， .证明：因为存在极值点，所以由知且.由题意，得，即，进而，又，且，由题意及知，存在唯一实数满足，且，因此，所以.证明：设在区间上的最大值为， 表示， 两数的最大值，下面分三种情况讨论：1当时， ，由 知， 在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此， 所以.2当时， ，由和 知， ，所以在区间上的取值范围为，因此M= .3当时， ，由和知， ，所以在区间上的取值范围为，因此， .综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.2.由函数fx在a，b上的单调性，求参数范围问题，可转化为或恒成立问题，要注意“是否可以取到视频4设函数求曲线在点处的切线方程；设，假设函数有三个不同零点，求c的取值范围；求证： 是有三个不同零点的必要而不充分条件.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学北京卷精编版试题解析：由，得因为， ，所以曲线在点处的切线方程为当时， ，所以令，得，解得或与在区间上的情况如下：所以，当且时，存在， ，使得由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点当时， ， ，此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点当时， 只有一个零点，记作当时， ， 在区间上单调递增；当时， ， 在区间上单调递增所以不可能有三个不同零点综上所述，假设函数有三个不同零点，那么必有故是有三个不同零点的必要条件当， 时， ， 只有两个不同零点，所以不是有三个不同零点的充分条件因此是有三个不同零点的必要而不充分条件5设函数讨论的单调性；证明当时，；设，证明当时，.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学新课标3卷精编版试题解析：由题设，的定义域为，令，解得.当时，单调递增；当时，单调递减.由知，在处取得最大值，最大值为.所以当时，.故当时，即. 由题设，设，那么，令，解得.当时，单调递增；当时，单调递减. 由知，故，又，故当时，.所以当时，.6函数.讨论的单调性；假设有两个零点，求的取值范围.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学新课标1卷精编版试题解析： 设，那么当时， ；当时， .所以fx在单调递减，在单调递增.设，由得x=1或x=ln-2a.假设，那么，所以在单调递增.假设，那么ln-2a1,故当时， ；当时， ，所以在单调递增，在单调递减.假设，那么，故当时， ，当时， ，所以在单调递增，在单调递减.设，那么由知， 在单调递减，在单调递增.又，取b满足b0且，那么，所以有两个零点.设a=0，那么，所以只有一个零点.iii设a0，假设，那么由知， 在单调递增.又当时， 0，故不存在两个零点；假设，那么由知， 在单调递减，在单调递增.又当时0，故不存在两个零点.综上，a的取值范围为.7函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).I当a=4时，求曲线y=f(x)在1,f(1)处的切线方程；假设当x1,+时，f(x)0，求a的取值范围.试题解析：If(x)的定义域为(0,+).当a=4时，f(x)=(x+1)lnx-4(x-1),f'(x)=lnx+1x-3，f'(1)=-2,f(1)=0.曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为2x+y-2=0.II当x(1,+)时，f(x)>0等价于lnx-a(x-1)x+1>0.设g(x)=lnx-a(x-1)x+1，那么g'(x)=1x-2a(x+1)2=x2+2(1-a)x+1x(x+1)2,g(1)=0，i当a2，x(1,+)时，x2+2(1-a)x+1x2-2x+1>0，故g'(x)>0,g(x)在(1,+)上单调递增，因此g(x)>0；ii当a>2时，令g'(x)=0得x1=a-1-(a-1)2-1,x2=a-1+(a-1)2-1.由x2>1和x1x2=1得x1<1，故当x(1,x2)时，g'(x)<0，g(x)在(1,x2)单调递减，因此g(x)<0.综上，a的取值范围是(-,2.8函数f(x)=excosx-x求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；求函数f(x)在区间0,2上的最大值和最小值【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学北京卷精编版试题解析：因为f(x)=excosx-x，所以f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,f'(0)=0.又因为f(0)=1，所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1.设h(x)=ex(cosx-sinx)-1，那么h'(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.当x(0,2)时，h'(x)<0，所以h(x)在区间0,2上单调递减.所以对任意x(0,2有h(x)<h(0)=0，即f'(x)<0.所以函数f(x)在区间0,2上单调递减.因此f(x)在区间0,2上的最大值为f(0)=1，最小值为f(2)=-2.9函数.(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；(II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学山东卷精编版试题解析：由题意，所以，当时， ， ，所以，因此，曲线在点处的切线方程是，即.因为，所以，令，那么，所以在上单调递增，因为，所以，当时， ；当时， .1当时， ，当时， ， ， 单调递增；当时， ， ， 单调递减；当时， ， ， 单调递增.所以当时取到极大值，极大值是，当时取到极小值，极小值是.2当时， ，当时， ， 单调递增；所以在上单调递增， 无极大值也无极小值.3当时， ，当时， ， ， 单调递增；当时， ， ， 单调递减；当时， ， ， 单调递增.所以当时取到极大值，极大值是；当时取到极小值，极小值是.综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.10设a,bR，|a|1.函数f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b，g(x)=exf(x).求f(x)的单调区间；函数y=g(x)和y=ex的图象在公共点x0，y0处有相同的切线，i求证：f(x)在x=x0处的导数等于0；ii假设关于x的不等式g(x)ex在区间x0-1,x0+1上恒成立，求b的取值范围.【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学天津卷精编版试题解析：I由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b，可得f'(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)(x-(4-a)，令f'(x)=0，解得x=a，或x=4-a.由|a|1，得a<4-a.当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：x(-,a)(a,4-a)(4-a,+)f'(x)+-+f(x)所以，f(x)的单调递增区间为(-,a)，(4-a,+)，单调递减区间为(a,4-a).IIi因为g'(x)=ex(f(x)+f'(x)，由题意知g(x0)=ex0g'(x0)=ex0，所以f(x0)ex0=ex0ex0(f(x0)+f'(x0)=ex0，解得f(x0)=1f'(x0)=0.所以，f(x)在x=x0处的导数等于0.ii因为g(x)ex，xx0-1,x0+1，由ex>0，可得f(x)1.又因为f(x0)=1，f'(x0)=0，故x0为f(x)的极大值点，由I知x0=a.另一方面，由于|a|1，故a+1<4-a，由I知f(x)在(a-1,a)内单调递增，在(a,a+1)内单调递减，故当x0=a时，f(x)f(a)=1在a-1,a+1上恒成立，从而g(x)ex在x0-1,x0+1上恒成立.由f(a)=a3-6a2-3a(a-4)a+b=1，得b=2a3-6a2+1，-1a1.令t(x)=2x3-6x2+1，x-1,1，所以t'(x)=6x2-12x，令t'(x)=0，解得x=2舍去，或x=0.因为t(-1)=-7，t(1)=-3，t(0)=1，故t(x)的值域为-7,1.所以，b的取值范围是-7,1.11设函数.I讨论函数的单调性；II当时， ，求实数的取值范围.【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学新课标2卷精编版【答案】I函数在和上单调递减，在上单调递增.II.【解析】试题分析：1先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间；2对分类讨论，当a1时， ，满足条件；当时，取，当0a1时，取， .试题解析： 解1f (x)=(1-2x-x2)ex令f(x)=0得x=-1- ，x=-1+当x-，-1-时，f(x)<0；当x-1-，-1+时，f(x)>0；当x-1-，+时，f(x)<0所以f(x)在-，-1-，-1+，+单调递减，在-1-，-1+单调递增(2) f (x)=(1+x)1-xex当a1时，设函数h(x)=1-xex，h(x)= -xex0x0，因此h(x)在0，+)单调递减，而h(0)=1，故h(x)1，所以f(x)=x+1h(x)x+1ax+1当0a1时，设函数gx=ex-x-1，gx=ex-10x0，所以gx在在0，+)单调递增，而g(0)=0，故exx+1当0x1， ， ，取那么当 综上，a的取值范围1，+12函数.1讨论的单调性；2当时，证明.【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学新课标3卷精编版【答案】1假设，那么当时， ，故在单调递增假设，那么当时， ；当时， 故在单调递增，在单调递减；2见解析.【解析】试题分析：1先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时， ，那么在单调递增；当时， 在单调递增，在单调递减.2证明，即证，而，所以需证，设gx=lnx-x+1 ，利用导数易得，即得证.试题解析：1fx的定义域为0，+，.假设a0，那么当x0，+时， ，故fx在0，+单调递增.假设a0，那么当x时， ；当x时， .故fx在单调递增，在单调递减.2由1知，当a0时，fx在取得最大值，最大值为.所以等价于，即.设gx=lnx-x+1，那么.当x0,1时， ；当x1，+时， .所以gx在0,1单调递增，在1，+x=1时，gx取得最大值，最大值为gx0时，gxa0时， ，即.132018年天津卷文设函数f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3)，其中t1,t2,t3R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.I假设t2=0,d=1, 求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；II假设d=3，求f(x)的极值；III假设曲线y=f(x) 与直线 y=-(x-t2)-63有三个互异的公共点，求d的取值范围.【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学天津卷【解析】分析：由题意可得f(x)=x3x，f'(x)=3x21，结合f(0)=0，f'(0)=1，可得切线方程为x+y=0.由可得：f(x)=x33t2x2+(3t229)x t23+9t2.那么f'(x)= 3x26t2x+3t229.令f'(x)=0，解得x= t23，或x= t2+3.据此可得函数f(x)的极大值为f(t23)=63；函数极小值为f(t2+3)=63.III原问题等价于关于x的方程(xt2+d) (xt2) (xt2d)+ (xt2)+ 63=0有三个互异的实数解，令u= xt2，可得u3+(1d2)u+63=0.设函数g(x)= x3+(1d2)x+63，那么y=g(x)有三个零点.利用导函数研究g(x)的性质可得d的取值范围是(-,-10)(10,+). 详解：由，可得f(x)=x(x1)(x+1)=x3x，故f'(x)=3x21，因此f(0)=0，f'(0)=1，又因为曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为yf(0)=f'(0)(x0)，故所求切线方程为x+y=0由可得f(x)=(xt2+3)(xt2)(xt23)=(xt2)39(xt2)=x33t2x2+(3t229)xt23+9t2故f'(x)=3x26t2x+3t229令f'(x)=0，解得x=t23，或x=t2+3当x变化时，f'(x)，f(x)的变化如下表：x(，t23)t23(t23，t2+3)t2+3(t2+3，+)f'(x)+00+f(x)极大值极小值所以函数f(x)的极大值为f(t23)=(3)39×(3)=63；函数f(x)的极小值为f(t2+3)=(3)39×(3)=63曲线y=f(x)与直线y=(xt2)63有三个互异的公共点等价于关于x的方程(xt2+d)(xt2)(xt2d)+(xt2)+ 63=0有三个互异的实数解，令u=xt2，可得u3+(1d2)u+63=0设函数g(x)=x3+(1d2)x+63，那么曲线y=f(x)与直线y=(xt2)63有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点g'(x)=3x3+(1d2)当d21时，g'(x)0，这时g(x)在R上单调递增，不合题意当d2>1时，g'(x)=0，解得x1=-d2-13，x2=d2-13易得，g(x)在(，x1)上单调递增，在x1，x2上单调递减，在(x2，+)上单调递增g(x)的极大值g(x1)=g(-d2-13)=23(d2-1)329+63>0g(x)的极小值g(x2)=g(d2-13)=23(d2-1)329+63假设g(x2)0，由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点，不合题意假设g(x2)<0,即(d2-1)32>27，也就是|d|>10，此时|d|>x2，g(|d|)=|d|+63>0,且-2|d|<x1,g(-2|d|)=-6|d|3-2|d|+63<-6210+63<0，从而由g(x)的单调性，可知函数y=g(x)在区间(-2|d|,x1),(x1,x2),(x2,|d|)内各有一个零点，符合题意所以，d的取值范围是(-,-10)(10,+)点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的14设函数f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex.假设曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线斜率为0，求a；假设f(x)在x=1处取得极小值，求a的取值范围.【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学北京卷【答案】12(1,+)【解析】分析：1求导f'(x)，构建等量关系k=f'(2)=0，解方程可得参数a的值；2对a分a>1及a1两种情况进行分类讨论，通过研究f'(x)的变化情况可得f(x)取得极值的可能，进而可求参数a的取值范围.详解：解：因为f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex，所以f'(x)=ax2-(a+1)x+1ex.f'(2)=(2a-1)e2，由题设知f'(2)=0，即(2a-1)e2=0，解得a=12.方法一：由得f'(x)=ax2-(a+1)x+1ex=(ax-1)(x-1)ex.假设a>1，那么当x(1a,1)时，f'(x)<0；当x(1,+)时，f'(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极小值.假设a1，那么当x(0,1)时，ax-1x-1<0，所以f'(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是(1,+).方法二：f'(x)=(ax-1)(x-1)ex.1当a=0时，令f'(x)=0得x=1.f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：x(-,1)1(1,+)f'(x)+0f(x)极大值f(x)在x=1处取得极大值，不合题意.2当a>0时，令f'(x)=0得x1=1a,x2=1.当x1=x2，即a=1时，f'(x)=(x-1)2ex0，f(x)在R上单调递增，f(x)无极值，不合题意.当x1>x2，即0<a<1时，f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：x(-,1)1(1,1a)1a(1a,+)f'(x)+00+f(x)极大值极小值f(x)在x=1处取得极大值，不合题意.当x1<x2，即a>1时，f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：x(-,1a)1a(1a,1)1(1,+)f'(x)+00+f(x)极大值极小值f(x)在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.3当a<0时，令f'(x)=0得x1=1a,x2=1.f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：x(-,1a)1a(1a,1)1(1,+)f'(x)0+0f(x)极小值极大值f(x)在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为(1,+).点睛：导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；利用导数证明函数单调性或求单调区间问题；利用导数求函数的极值最值问题；关于不等式的恒成立问题.解题时需要注意的有以下两个方面：在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；在研究单调性及极值最值问题时常常会涉及到分类讨论的思想，要做到不重不漏；不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性.152018年新课标I卷文函数fx=aex-lnx-11设x=2是fx的极值点求a，并求fx的单调区间；2证明：当a1e时，fx0【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学新课标I卷详解：1fx的定义域为(0，+)，f x=aex1x由题设知，f 2=0，所以a=12e2从而fx=12e2ex-lnx-1，f x=12e2ex-1x当0<x<2时，f x<0；当x>2时，f x>0所以fx在0，2单调递减，在2，+单调递增2当a1e时，fxexe-lnx-1设gx=exe-lnx-1，那么g'(x)=exe-1x 当0<x<1时，gx<0；当x>1时，gx>0所以x=1是gx的最小值点故当x>0时，gxg1=0因此，当a1e时，f(x)0点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.162018年全国卷文函数f(x)=ax2+x-1ex1求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程；2证明：当a1时，f(x)+e0【来源】2018年全国卷文数高考试题文档版详解：1f'(x)=-ax2+(2a-1)x+2ex，f'(0)=2因此曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=02当a1时，f(x)+e(x2+x-1+ex+1)e-x令g(x)x2+x-1+ex+1，那么g'(x)2x+1+ex+1当x<-1时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x>-1时，g'(x)>0，g(x)单调递增；所以g(x) g(-1)=0因此f(x)+e0点睛：此题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问当a1时，fx+e（ex+1+x2+x-1）e-x,令gx=ex+1+x2+x-1，将问题转化为证明gx0很关键，此题难度较大。17题文函数fx=13x3-ax2+x+11假设a=3，求f(x)的单调区间；2证明：f(x)只有一个零点【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试文数全国卷II分析：1将a=3代入，求导得f'(x)=x2-6x-3，令f'(x)>0求得增区间，令f'(x)<0求得减区间；2令f(x)=13x3-a(x2+x+1)=0，即x3x2+x+1-3a=0，那么将问题转化为函数g(x)=x3x2+x+1-3a只有一个零点问题，研究函数g(x)单调性可得.详解：1当a=3时，fx=13x3-3x2-3x-3，f x=x2-6x-3令f x=0解得x=3-23或x=3+23当x，3-233+23，+时，f x>0；当x3-23，3+23时，f x<0故fx在，3-23，3+23，+单调递增，在3-23，3+23单调递减2由于x2+x+1>0，所以f(x)=0等价于x3x2+x+1-3a=0设g(x)=x3x2+x+1-3a，那么g x=x2(x2+2x+3)(x2+x+1)20，仅当x=0时g x=0，所以gx在，+单调递增故gx至多有一个零点，从而fx至多有一个零点又f3a1=-6a2+2a-13=-6(a-16)2-16<0，f3a+1=13>0，故fx有一个零点综上，fx只有一个零点二、填空题18本小题总分值14分设，.学&科网函数，.求的单调区间；函数和的图象在公共点x0，y0处有相同的切线，i求证：在处的导数等于0；ii假设关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学天津卷正式版【答案】1递增区间为，递减区间为.2在处的导数等于0.的取值范围是.【解析】I由，可得，令，解得，或.由，得.当变化时，的变化情况如下表：所以，的单调递增区间为，单调递减区间为.IIi因为，由题意知，所以，解得.所以，在处的导数等于0.ii因为，由，可得.又因为，学.科网故为的极大值点，由I知.另一方面，由于，故，由I知在内单调递增，在内单调递减，故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.由，得，。令，所以，令，解得舍去，或.因为，故的值域为.所以，的取值范围是.
