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第七章基本知识小结第七章基本知识小结刚体的质心刚体的质心 求质心方法：对称分析法，分割法，积分法求质心方法：对称分析法，分割法，积分法 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 平行轴定理平行轴定理:Io=Ic+md2 正交轴定理正交轴定理:Iz=Ix+Iy.刚体的动量和质心运动定理刚体的动量和质心运动定理 刚体对轴的角动量和转动定理刚体对轴的角动量和转动定理 刚体的转动动能和重力势能刚体的转动动能和重力势能 刚体的平面运动刚体的平面运动=随质心系的平动随质心系的平动+绕质心系的转动绕质心系的转动 静止刚体的平衡方程静止刚体的平衡方程(对任意轴对任意轴)7.1.4 半径为半径为0.1m的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立o-xy坐标系，坐标系，原点在轴上，原点在轴上，x和和y轴沿水平和铅直向上的方向。边缘上一点轴沿水平和铅直向上的方向。边缘上一点A当当t=0时恰好时恰好在在x轴上，该点的角坐标满足轴上，该点的角坐标满足90时，时，A点的速度和加速度在点的速度和加速度在x和和y轴上的投影轴上的投影=1.2t+t2(:rad,t:s)。t=0时，时，自自t=0开始转开始转45时，时，转过转过t=0时，时，=/4时时,由由=1.2t+t2,求得求得t=0.47s,=1.2+2t=2.14xAyo7.1.7飞机沿水平方向飞行飞机沿水平方向飞行,螺旋桨尖端所在半径为螺旋桨尖端所在半径为150cm，发动机转速发动机转速2000rev/min.桨尖相对于飞机的线速率等于桨尖相对于飞机的线速率等于多少？多少？若飞机以若飞机以250km/h 的速率飞行，计算桨尖相对地的速率飞行，计算桨尖相对地面速度的大小，并定性说明桨尖的轨迹。面速度的大小，并定性说明桨尖的轨迹。解：解：桨尖相对飞机的速度：桨尖相对飞机的速度：桨尖相对地面的速度：桨尖相对地面的速度：飞机相对地面的速度与螺旋桨相对飞机相对地面的速度与螺旋桨相对飞机的速度总是垂直的，飞机的速度总是垂直的，桨尖相对地面的运动轨迹为螺旋线桨尖相对地面的运动轨迹为螺旋线 7.2.2 在下面两种情况下求直圆锥体的总质量和质心位置。在下面两种情况下求直圆锥体的总质量和质心位置。圆锥体为匀质；圆锥体为匀质；密度为密度为h的函数：的函数：=0(1-h/L),0为正为正常数常数 圆锥体为匀质圆锥体为匀质,=C,xohLar解：建立图示坐标解：建立图示坐标o-x,据对称性分析，据对称性分析，质心必在质心必在x轴上轴上,在在x坐标处取一厚为坐标处取一厚为dx 的质元的质元，7.2.3 长度为长度为L的匀质杆，令其竖直地立于光滑的桌面上，的匀质杆，令其竖直地立于光滑的桌面上，然后放开手，由于杆不可能绝对沿铅直方向，故随即到然后放开手，由于杆不可能绝对沿铅直方向，故随即到下。求杆子的上端点运动的轨迹（选定坐标系，并求出下。求杆子的上端点运动的轨迹（选定坐标系，并求出轨迹的方程式）轨迹的方程式）xoy解：设杆在解：设杆在o-xy 平面内运动，因杆在平面内运动，因杆在运动过程中，只受竖直向上的支承力运动过程中，只受竖直向上的支承力和竖直向下的重力的作用，在水平方和竖直向下的重力的作用，在水平方向不受外力作用向不受外力作用,据质心定理据质心定理,acx=0，vcx=0,即质心即质心C无水平方向的移无水平方向的移动，只能逆着动，只能逆着y 轴作加速直线运动，轴作加速直线运动，直到倒在桌面上直到倒在桌面上取杆上端点的坐标为取杆上端点的坐标为x,y，匀质杆质心在其几何中心，由匀质杆质心在其几何中心，由图示任一瞬间几何关系可知图示任一瞬间几何关系可知:4x2+y2=L2 (x0,y0)7.3.2 图图示示实实验验用用的的摆摆，l=0.92m，r=0.08m，ml=4.9kg，mr=24.5kg,近近似似认认为为圆圆形形部部分分为为匀匀质质圆圆盘盘,长长杆杆部部分分为为匀匀质细杆。求对过悬点且与盘面垂直的轴线的转动惯量。质细杆。求对过悬点且与盘面垂直的轴线的转动惯量。lro解：摆对解：摆对o轴的转动惯量轴的转动惯量I等于杆对等于杆对o轴的转动轴的转动惯量惯量Il 加上圆盘对加上圆盘对o轴的转动惯量轴的转动惯量Ir,即即I=Il+Ir根据平行轴定理根据平行轴定理:7.3.6 匀质杆可绕支点匀质杆可绕支点o转动，当与杆垂直的冲力作用某点转动，当与杆垂直的冲力作用某点A时，支点时，支点o对杆的作用力并不因此冲力之作用而发生变对杆的作用力并不因此冲力之作用而发生变化，则化，则A点称为打击中心。设杆长为点称为打击中心。设杆长为L，求打击中心与支求打击中心与支点的距离点的距离aCxyNFmgAo解：建立图示坐标解：建立图示坐标o-xyz,z轴垂直纸面轴垂直纸面向外向外,据题意据题意,杆受力及运动情况如图示杆受力及运动情况如图示由质心运动定理：由质心运动定理：由转动定理：由转动定理：把把代入代入中中:7.4.2 质量为质量为2.97kg，长为长为1.0m的匀质等截面细杆可绕水平光滑的轴的匀质等截面细杆可绕水平光滑的轴线线o转动，最初杆静止于铅直方向。一弹片质量为转动，最初杆静止于铅直方向。一弹片质量为10g，以水平速度以水平速度200m/s射出并嵌入杆的下端，和杆一起运动，求杆的最大摆角射出并嵌入杆的下端，和杆一起运动，求杆的最大摆角解：将子弹、杆构成的物体系作为研究解：将子弹、杆构成的物体系作为研究对象，整个过程可分为两个阶段研究：对象，整个过程可分为两个阶段研究：第一阶段，子弹与杆发生完全非弹性碰第一阶段，子弹与杆发生完全非弹性碰获得共同的角速度获得共同的角速度，此过程时间极短，此过程时间极短，可认为杆原地未动，在此过程中，外力可认为杆原地未动，在此过程中，外力矩为零，角动量守恒，矩为零，角动量守恒，第二阶段，子弹与杆以共同的角速度第二阶段，子弹与杆以共同的角速度摆动到最大角度摆动到最大角度，此过程中，只有重力做功，物体系的机械能守恒，物体系此过程中，只有重力做功，物体系的机械能守恒，物体系原来的动能等于重力势能的增量：原来的动能等于重力势能的增量：m vl Mo7.4.3 一质量为一质量为m1,速度为速度为 v1 的子弹沿水平面击中并嵌入一质量为的子弹沿水平面击中并嵌入一质量为m2=99m1,长度为长度为L的棒的端点的棒的端点,速度速度v1与棒垂直，棒原来静止于光与棒垂直，棒原来静止于光滑的水平面上滑的水平面上,子弹击中棒后共同运动，求棒和子弹绕垂直与平面子弹击中棒后共同运动，求棒和子弹绕垂直与平面的轴的角速度等于多少？的轴的角速度等于多少？OCAm2,Lv1m1解：以地为参考系，把子弹和棒看解：以地为参考系，把子弹和棒看作一个物体系，棒嵌入子弹后作平作一个物体系，棒嵌入子弹后作平面运动面运动,可视为随质心可视为随质心C的平动和绕的平动和绕质心质心C的转动的转动,绕质心绕质心C转动的角速转动的角速度即为所求度即为所求.据质心定义据质心定义:据角动量守恒：据角动量守恒：7.5.2 用四根质量各为用四根质量各为m长度各为长度各为l的匀质细杆制成正方形框架，可绕的匀质细杆制成正方形框架，可绕其中一边的中点在竖直平面内转动，支点其中一边的中点在竖直平面内转动，支点o是光滑的。最初，框架处是光滑的。最初，框架处于静止且于静止且AB边沿竖直方向，释放后向下摆动，求当边沿竖直方向，释放后向下摆动，求当AB边达到水平时，边达到水平时，框架质心的线速度框架质心的线速度vc及框架作用于支点的压力及框架作用于支点的压力N.oABBAEp=0解：正方形框架对支点解：正方形框架对支点o的转动惯量：的转动惯量：据机械能守恒定律：据机械能守恒定律：AB边在水平位置时，框架所受到的向上的支撑力边在水平位置时，框架所受到的向上的支撑力N和向下和向下的重力的重力W的作用线均通过支点的作用线均通过支点o，对，对o轴的力矩为零，据转轴的力矩为零，据转动定理，框架的角加速度为零，动定理，框架的角加速度为零，ac=2l/2=6g/7，方向向方向向上上,并可确定并可确定N的方向向上的方向向上,对框架应用质心运动定理：对框架应用质心运动定理：据牛顿第三定律据牛顿第三定律,支点受到的压力支点受到的压力,大小等于大小等于N,方向向下方向向下 7.5.6 板的质量为板的质量为M，受水平力受水平力F的作用，沿水平面运动，板与平面间的作用，沿水平面运动，板与平面间的摩擦系数为的摩擦系数为.在板上放一半径为在板上放一半径为R质量为质量为M2的实心圆柱，此圆柱只的实心圆柱，此圆柱只滚动不滑动。求板的加速度滚动不滑动。求板的加速度w2aCf2N2解：隔离圆柱，其受力及运动情况如图，其中解：隔离圆柱，其受力及运动情况如图，其中aC为质心对地的加速度为质心对地的加速度,为相对质心的角加速度，为相对质心的角加速度，f2,N2分别为板施加给圆柱的静摩擦力和压力分别为板施加给圆柱的静摩擦力和压力由质心运动定理：由质心运动定理：对质心轴应用转动定理：对质心轴应用转动定理：隔离木板隔离木板,其受力及运动情况如图示其受力及运动情况如图示,其中其中a为板对为板对地的加速度地的加速度,f1、N1分别为水平面施加给板的滑动分别为水平面施加给板的滑动摩擦力和压力摩擦力和压力,应用牛二定律：应用牛二定律：圆柱只滚不滑的条件：圆柱只滚不滑的条件：a=ac+R 将将代入代入求得：求得：N1=(M+M2)g；由由解得解得,2ac=R 与与联立联立,可求得，可求得，ac=a/3,代入代入中，中，f2=a M2/3；将将N1、f2代入代入中，有中，有 RM2MFFN2N1f2f1=N1aMg7.5.7 在水平桌面上放置一质量为在水平桌面上放置一质量为m的线轴，内径为的线轴，内径为b，外径为外径为R,其绕其绕中心轴转动惯量为中心轴转动惯量为mR2/3,线轴和地面之间的静摩擦系数为线轴和地面之间的静摩擦系数为。线轴受线轴受一水平拉力一水平拉力F,如图所示。如图所示。使线轴在桌面上保持无滑滚动之使线轴在桌面上保持无滑滚动之F最大值最大值是多少？是多少？若若F和水平方向成和水平方向成角，试证，角，试证，cosb/R时，线轴向前滚；时，线轴向前滚；cosb/R时，线轴向后滚动。时，线轴向后滚动。xFobRyf解：建立图示坐标解：建立图示坐标,z 轴为角量的正方轴为角量的正方向向,据静摩擦力性质据静摩擦力性质,可知其方向与可知其方向与F水平分量方向相反水平分量方向相反,设线轴质心加速度设线轴质心加速度为为a，绕质心角加速度为绕质心角加速度为,方向待定方向待定 由质心定理：由质心定理：由转动定理：由转动定理：，只滚不滑，只滚不滑:a+R=0 由由,联立，可求得：联立，可求得：F水平即水平即 若若,即线轴向前滚即线轴向前滚 若若,即线轴向后滚即线轴向后滚 7.5.9 7.5.9 一质量为一质量为m,m,半径为半径为r r的均质实心小球沿圆弧形导轨的均质实心小球沿圆弧形导轨自静止开始无滑滚下，圆弧形导轨在铅直面内，半径为自静止开始无滑滚下，圆弧形导轨在铅直面内，半径为R R。最初最初,小球质心与圆环中心同高度。求小球运动到最低点小球质心与圆环中心同高度。求小球运动到最低点时的速率以及它作用于导轨的正压力。时的速率以及它作用于导轨的正压力。解：设小球运动到最低点时，其质心速解：设小球运动到最低点时，其质心速度为度为v,绕质心转动的角速度为绕质心转动的角速度为,由机械由机械能守恒能守恒:只滚不滑条件只滚不滑条件:=v/r,代入上式代入上式,求得求得 在最低点应用质心运动定理：在最低点应用质心运动定理：作用于导轨的正压力与此等大，方向向下。作用于导轨的正压力与此等大，方向向下。