数值积分矩形公式的复化及误差分析.pdf

人不知而不愠，不亦君子乎？论语谋事在人，成事在天！增广贤文数值积分矩形公式的复化及误差分析 张晓霞（西北师范大学 数学与信息科学学院 甘肃 兰州 730070）摘 要：先推导得出中矩形公式、左矩形公式,然后对其进行复化，但由于结果不理想,再对两个公式进行递推,求出它们的递推化公式以及对其误差进行分析,最后举例说明几种逼近公式误差的变化情况;关键词：中矩形公式,左矩形公式,误差分析,复化公式,公式递推化 1 引言 以前我们在进行积分运算时,都是先对被积函数求出其原函数,然后代值进行计算,但不是每个被积函数都是能轻易找到其原函数的,有的甚至找不到它的原函数,这就要求我们找出另外一种方法来研究积分运算 首先我们来定义即将用到的左矩形公式和中矩形公式：对于积分dxxfIba)(,由积分中值定理知,一点),(ba,使得baxdxf)()(=(b-a)f()A 若用区间左端点 a 的函数值f(a)作为f()的近似值,则得到我们熟悉的左矩形公式：)()(afabJ,其积分余项 2)(2)(abfJIRJ （1）B 若改用区间中点2bac 的函数值)2(baf作为)(f的近似值,则得到中矩形公式：)2()(bafabR,其积分余项 3)(24)(abfJIRR （2）由于我们导出的左矩形公式和中矩形公式对积分值的近似估计误差很大,所以我们采用复化求积公式来近似估计积分的准确值 2 复化公式 所谓复化1就是指将一个积分的积分区间ba,划分为n等分,在每一个小区间1,kkxx上应用左、中矩形公式求出积分值),2,1(nkIk,然后对kI求和,近似估计出积分I的积好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。中庸谋事在人，成事在天！增广贤文分值的算法 21 复化左矩形公式 将积分区间ba,划分为n等分,步长nabh,分点.,1,0,nkkhaxk 对每一个小区间1,kkxx采用左矩形公式有 JxxxxnnkkknkkknkbafhfdxxxxfdxxfIkk1010110)()()()()(1 （3）Jn称为复化左矩形求积公式,下标n表示将区间ba,划分为n等分 22 复化中矩形公式 类 似 于 复 化 左 矩 形 公 式,对 每 一 个 小 区 间1,kkxx采 用 中 矩 形 公 式,且 令2121kkkxxx,则有 RxxxxnnkkknkkknkbafhfdxxxxfdxxfIkk10212110110)()()()()(1 （4）nR称为复化中矩形求积公式,下标n表示将区间ba,划分为n等分3 3 复化公式的误差分析 31 复化左矩形公式的误差估计公式 由(1)式对每个小区间有误差估计式 22112)()()(2)()()()(1hfxhfxxfxfxxdxxfIkkkkkkkkxxkkk 其中k介于kx,1kx之间,将上式代入(3)中则有 10211011010)()(21)()()()(1nkkkknkkkknkxxnkkbafxxxfxxdxxfIdxxfIkk 10210)(2)(nkknkkfhxfh 从而复化左矩形公式的误差估计式为 10102)(12)()(2)(nkknkknnfnabhfhJIfR 由于)(xf 在ba,上连续,k均为ba,的内点,所以由中值定理知,存在一点ba,古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。苏轼天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。易经使得)()(110ffnnkk,所以有 )(2)()(fabhJIfRnn,ba,（5）)(fRn称为复化左矩形公式的误差估计式,下标n表示将区间ba,划分为n等分 32 复化中矩形公式的误差估计公式 类似于复化左矩形的误差公式,同样可得复化中矩形公式的误差估计公式 102103)(124)()(24)(nkknkknnfnabhfhRIfE 其中),(1kkkxx,由于)(xf 在ba,上连续,k均为ba,的内点,所以由中值定理知,存在一点ba,使得)()(110ffnnkk ,所以有)(24)()(2fabhRIfEnn,ba,（6）4 矩形公式的递推化 虽然复化求积方法对提高精度是行之有效的,但在使用求积公式之前必须给出合适的步长,步长太长,精度难以保证,步长太小,又会导致计算量的增加 而事先给出一个合适的步长往往是困难的,那到底怎样选取步长才是合适的呢 实际计算中常常采用变步长的方案,即在步长逐次分半（即步长二分）的过程中,反复利用复化求积公式进行计算,直至所求得的积分值满足精度要求为止 41 左矩形公式的递推公式及误差 变步长过程中左矩形的计算规律：将求积区间ba,分成n等份,则一共有1n个分点,按左矩形公式计算nJ,需要提供n个函数值,如果将积分区间再分一次,则分点增至12 n个,将二分前后两个积分值联系起来加以考虑,注意到每个子区间1,kkxx经过二分只增加了一个分点2121kkkxxx,利用复化的左矩形公式求得该子区间上的积分值为)()(221kkxfxfh,其中代nabh表二分前的步长,将每个子区间上的积分值相加得 以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。管子牧民志不强者智不达，言不信者行不果。墨翟nnnkknkknkkknRJxfhxfhxfxfhJ2121)(2)(2)()(210101022121 （7）从而根据左矩形公式的误差公式)()(2)(2afbfhdxxfhJIban得,积分值的截断误差大致与 h 成正比,因此当步长二分后,误差将减至原有误差的2/1,即有212nnJIJI,移项整理得nnnJJJI22,由此可见只要二分前后的两个积分值nJ与nJ2相当接近,就可以保证计算结果误差很小,积分近似值nJ2的误差大致等于nnJJ2,因此,如果用这个误差值作为nJ2的一种补偿,可以期望得到的 nnnnnJJJJJJ2222 可能是更好的结果 42 中矩形公式的递推公式及误差 同理对中矩形公式也一样,将求积区间ba,分成n等份,则一共有1n个分点,按中矩形公式计算nR,需要提供1n个函数值,如果将积分区间再分一次,则分点增至 2n+1 个,将二分前后两个积分值联系起来加以考虑,注意到每个子区间1,kkxx经过二分只增加了一个分点2121kkkxxx,在上述二分后的子区间上利用复化的中矩形公式求得该子区间上的积分值为)()(24341kkxfxfh,同样nabh代表二分前的步长,将每个子区间上的积分值相加,得 102)()(24341nkkknxfxfhR （8）根据中矩形公式的误差公式)()(2)(222bfafhdxxfhRIban 得,积分值的截断误差大致与2h成正比,因此当步长二分后,误差将减至原有误差的4/1,即有412nnRIRI,移项整理得)(3122nnnRRRI,同样,当二分前后的两个积分值nR与nR2相差很近时,就可以保证计算结果误差很小,积分近似值nR2的误差大致等于丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。白居易)(312nnRR,因此,如果用这个()kf x误差值作为nR2的一种补偿,则可以得到 nnnnnRRRRRR3134)(31222 可能结果比较理想 5 矩圆公式 由右图可见,这样分割后,形成一些小网格,以上一些工作我们就是 通过计算这些小的矩形条的面积之和进而估计出曲线)(xf在ba,上所围 的面积那么除此之外还有无别的近似计算方法呢 首先,我们试想,如右图所示,把网格顶端的一些剩下的不全的网格 近似为底为h,高为)()(1kkxfxf的三角形,那么前面我们按照左矩形公式 算得的矩形条的面积就为)()(2)(1kkkxfxfhxhf,整理后为)(2)(21kkxfhxfh,那么 101110)()(2)()()()(1nkkkkkknkbaxfxfhfdxxxxfdxxfIxxxkk Ixffhnkkkx101)()(2 (9)这就是我们所熟知的梯形公式,而梯形公式对准确值的逼近程度要优于左矩形公式和右矩形公式,所以这样的假设与估计是成立的,同理我们对上面算得的中矩形公式也可以加上这个小三角形的面积而得到与准确值更为近的值 10121110)()(2)()()()(1nkkkkkknkbaxfxfhfdxxxxfdxxfIxxxkk Ixffxfhnkkkkx 10211)()(2)(2 (10)下面我们来讨论另一种情形:即把上述所描写的三角形换成半径为h(或)()(1kkxfxf),为了计算方便,可以直接看成半径为h)的圆,那么按照前面我们推导得到的左矩形公式,计算得到小矩形条的面积为241)(hxhfk,用它来近似积分的准确值可得到)(kxf )(1kxf 吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？论语百学须先立志。朱熹10211041)()()()(1nkkkknkbahfdxxxxfdxxfIxxxkk Phfhnkkx1041)(（11）这就是我们所得到的左矩圆公式 同理按照中矩形公式得到的小矩形条的面积为241)(21hxhfk,用它来近似积分的准 确值可得到 1022111041)()()()(1nkkkknkbahfdxxxxfdxxfIxxxkk Qhfhnkkx102141)(（12）这就是我们所得到的中矩圆公式 例 应用复化矩形公式（3）和（4）计算以及递推公式（7）与（8）和矩圆公式（11）与（12）计算积分dxeIx210的近似值,并与其准确值作相应的比较 解：设xexf)(,2/1,0ba,分点个数8,2,1n;10)(nkknxfhJ 10)(21nkknxfhR )()(afabJ )2()(bafabR nnnRJJ21212 102)()(24341nkkknxfxfhR 1041)(nkkhfhPx 102141)(nkkhfhQx nnabh21 ),2,1,0(,nkkhxk 当h取不同值时各种算法对积分的估计值与近似解的比较 所用 h 海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。林则徐先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。范仲淹公式 2/1 4/1 6/1 8/1 10/1 12/1 14/1 16/1 J R nJ nR nJ2 nR2 P Q 精确解I 通过上表容易看出，当步长h逐渐变小时，不论是复化公式还是递推公式，它们对准确值的逼近效果都显著提高，即h越小，逼近效果越好；另一方面容易看出，中矩形公式比左矩形对准确值的近似程度更高，当然其复化公式的近似程度也比左矩形复化公式的精确度高；还有我们最后推出的(7)式与(8)式，它比起各自的复化公式来，逼近效果也相对较好，同样地中矩形公式的复化公式比(7)式的逼近效果要好由(11)的结果可知在除1n之外，它的计算结果是比较理想的；明显的问题是(12)式的计算结果与准确值的差距特别大，因为对于复化的中矩形公式而言，精确度已经是比较好的了，那么，如果我们再去作(12)式那样的逼近，势必导致出现大的波动这样的公式是不完美的，所以对这样的公式完全可以舍去 只要我们选取合适的步长，分别利用它们各自的递推公式算出的近似值比它们自己的复化公式精确度要高很多 6 结论：通过本文的论述，得出复化求积公式比原近似公式的精确度高；同样地，复化中矩形公式的逼近效果比复化左矩形公式对准确值的逼近效果好;另外，通过公式的递推化之后，我丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武穷则独善其身，达则兼善天下。孟子们得出递推化的公式比复化求积公式的精确度高;理所当然，随着n的不断增大，误差逐渐减小，当n到一定程度大时，会无限接近准确值 参考文献：1李庆杨，王能超，易大义.数值分析M.4 版.武汉:华中科技大学出版社，2006.2王仁宏.数值逼近M.北京:高等教育出版社，1999.3李岳生，黄友谦.数值逼近M.北京:人民教育出版社，1978.4李晓红，堵秀风，张永胜，王延臣.计算方法M.北京:北京航空航天大学出版社，2006.5马东升，雷永军.数值计算方法M.2 版.武汉:机械工业出版社，2001.6张韵华，奚梅成，陈效群.数值计算方法与算法M.2 版.北京:科学出版社，2000.Numerical integration of rectangular complex formula and error analysis Zhang Xiaoxia(College of Mathematics and Information Sciences Northwest Normal University LanzhouGansu 730070)Abstract:Firstly,we deduced in the rectangle formula,the left rectangle formula,and then carry out restoration of them.Because the result is not satisfied with our expectations,so we try to find their recursive formulas and analyze their errors.Finally,we give an example of the some appropriate formulas for the change of error;Keywords:the rectangle formula;the left rectangle formula;error analysis;complex formula;the formula of recurrence