数学分析试题及答案解析.pdf

万两黄金容易得，知心一个也难求。曹雪芹万两黄金容易得，知心一个也难求。曹雪芹2014-2015 学年度第二学期 数学分析 2A 试卷 学院 班级 学号（后两位）姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人 得分 一.判断题（每小题 3 分，共 21 分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)1.若 xf在ba,连续，则 xf在ba,上的不定积分 dxxf可表为Cdttfxa（）.2.若 xgxf,为连续函数，则 dxxgdxxfdxxgxf（）.3.若 adxxf绝对收敛，adxxg条件收敛，则 adxxgxf必然条件收敛（）.4.若 1dxxf收敛，则必有级数 1nnf收敛（）5.若 nf与 ng均在区间 I 上内闭一致收敛，则nngf 也在区间 I上内闭一致收敛（）.6.若数项级数1nna条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（）.7.任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）.二.单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1.若 xf在ba,上可积，则下限函数 axdxxf在ba,上（）A.不连续 B.连续 C.可.不能确定 2.若 xg在ba,上可积，而 xf在ba,上仅有有限个点处与 xg不相老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。唐王勃勿以恶小而为之，勿以善小而不为。刘备等，则（）A.xf在ba,上一定不可积；B.xf在ba,上一定可积,但是 babadxxgdxxf；C.xf在ba,上一定可积，并且 babadxxgdxxf；D.xf在ba,上的可积性不能确定.3.级数 12111nnnn A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 4.设nu为任一项级数，则下列说法正确的是（）A.若0limnnu，则级数nu一定收敛；B.若1lim1nnnuu，则级数nu一定收敛；C.若1,1nnuuNnN，时有当，则级数nu一定收敛；D.若1,1nnuuNnN，时有当，则级数nu一定发散；5.关于幂级数nnxa的说法正确的是（）A.nnxa在收敛区间上各点是绝对收敛的；B.nnxa在收敛域上各点是绝对收敛的；C.nnxa的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；百学须先立志。朱熹其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。论语 D.nnxa在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值（每小题 5 分，共 10 分）1.nnnnnnn211lim 2.dxxx2cossinln 人不知而不愠，不亦君子乎？论语人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。刘鹗 四.判断敛散性（每小题 5 分，共 15 分）1.dxxxx02113 2.1!nnnn 吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？论语万两黄金容易得，知心一个也难求。曹雪芹 3.nnnnn21211 五.判别在数集 D 上的一致收敛性（每小题 5 分，共 10 分）1.,2,1,sinDnnnxxfn 穷则独善其身，达则兼善天下。孟子人不知而不愠，不亦君子乎？论语 2.,22,2Dxnn 先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。范仲淹大丈夫处世，不能立功建业，几与草木同腐乎？罗贯中 六已知一圆柱体的的半径为 R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面030 角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。（本题满10 分）七.将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表面距离为 10 米，已知三角形底边长为 20 米，高为 10 米，求该三角形铁板所受的静压力。(本题满分 10 分)忍一句，息一怒，饶一着，退一步。增广贤文我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。白居易 谋事在人，成事在天！增广贤文吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？论语八.证明：函数 3cosnnxxf在,上连续，且有连续的导函数.（本题满分 9 分）非淡泊无以明志，非宁静无以致远。诸葛亮人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。刘鹗2014-2015 学年度第二学期 数学分析 2B 卷 答案 学院 班级 学号（后两位）姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人 得分 一、判断题（每小题 3 分，共 21 分，正确者括号内打对勾，否则打叉）1.2.3.4.5.6.7.二.单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1.B;三.求值与计算题（每小题 5 分，共 10 分）1.dxexxxxnn310223sinlim 解：由于310310223sin0dxxdxexxxnxn-3 分 而 03111limlim1310nnnnndxx -4 分 故由数列极限的迫敛性得：0sinlim310223dxexxxxnn -5 分 2.设xxxfsinsin2，求 dxxfxx1 解：令 tx2sin 得 dxxfxx1=tdtftt2222sinsinsin1sin-2 分 以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。旧唐书魏征列传古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。苏轼=tdttttttcossin2sincossin=tdttsin2 -4 分=2 cos2sintttC=2 1arcsin2xxxC-5 分 四.判别敛散性（每小题 5 分，共 10 分）1.dxxx1021arctan 解：241arctanlim1arctan1lim0122101xxxxxxx-3 分 且 121p，由柯西判别法知，瑕积分 dxxx1021arctan收敛 -5 分 2.2lnln1nnn 解：时当00,lnlimnnNnnn 有 2lnen -2 分 从而 当0nn 2ln1ln1nnn-4分 由比较判别法 2lnln1nnn 收敛-5分 五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5 分，共 15 分）1.,0,2,1,12Dnnxxfn 忍一句，息一怒，饶一着，退一步。增广贤文古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。苏轼解：极限函数为 Dxxxfxfnnlim-2 分 又 nxnxnxnxxfxfn11/11222-3 分 10supnx Dfxf xn 从而0suplimffnn 故知 该函数列在 D 上一致收敛.-5 分 2.1,1,3sin2Dxnn 解：因当 Dx 时，nnnnxxu323sin2-2 分 而 正项级数 n32收敛，-4 分 由优级数判别法知，该函数列在 D 上一致收敛.-5 分 3.,12Dnxn 解：易知，级数 n1的部分和序列 nS一致有界，-2 分 而 对 nxxVDxn21,是单调的，又由于 nnnxxVDxn011,2，-4 分 所以 nxxvn21在 D 上一致收敛于 0，从而由狄利克雷判别法可知，该级数在 D 上一致收敛。-5 分 六.设平面区域 D 是由圆222 yx，抛物线2xy 及 x 轴所围第一象限部分，求由 D 绕 y 轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分 10 分）吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？论语先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。范仲淹解：解方程组2222xyyx得圆222 yx与抛物线2xy 在第一象限 的交点坐标为：1,1，-3 分 则所求旋转体得体积为：101022ydydyyV -7分 =-=76 -10分 七.现有一直径与高均为 10 米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功（本题满分 10 分）解：以圆柱上顶面圆圆心为原点，竖直向下方向为x 轴正向建立直角坐标系 则分析可知做功微元为：dxxxdxdW2552-5 分 故所求为：100215dxxW -8 分 =1250 =12250（千焦）-10 分 八 设 2,1nxun是,ba上的单调函数，证明：若 aun与 bun都绝对收敛，则 xun在,ba上绝对且一致收敛.（本题满分 9 分）证明：2,1nxun是,ba上的单调函数，所以有 buauxunnn -4 分 又由 aun与 bun都绝对收敛，所以 buaunn 收敛，-7 分 由优级数判别法知：xun在,ba上绝对且一致收敛.-一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。增广贤文丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。杜甫2013-2014 学年度第二学期 数学分析 2A 试卷 学院 班级 学号（后两位）姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 核分人 得分 一.判断题（每小题 2 分，共 16 分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)1.若)(xf在a,b上可导，则)(xf在a,b上可积.()2.若函数)(xf在a,b上有无穷多个间断点，则)(xf在a,b上必不可积。（）3.若aadxxgdxxf)()(与均收敛，则adxxgxf)()(一定条件收敛。（）4.若 xfn在区间 I 上内闭一致收敛，则 xfn在区间 I 处处收敛（）5.若1nna为正项级数（0na），且当 0nn 时有：11nnaa，则级数1nna必发散。（）6.若 xf以2为周期，且在,上可积，则的傅里叶系数为：nxdxxfancos120（）7.若sann1，则1112asaannn（）8.幂级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛。（）二.单项选择题（每小题 3 分，共 18 分）1.下列广义积分中，收敛的积分是（）我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。白居易天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。易经A 101dxx B 11dxx C 0sin xdx D 1131dxx 2.级数1nna收敛是1nna部分和有界的（）A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 3.正项级数nu收敛的充要条件是（）A.0limnnu B.数列 nu单调有界 C.部分和数列 ns有上界 D.1lim1nnnun 4.设aaannn1lim则幂级数1bxabnn的收敛半径 R=（）A.a B.ba1 C.a1 D.ba11 5.下列命题正确的是（）A)(1xann在,ba绝对收敛必一致收敛 B)(1xann在,ba一致收敛必绝对收敛 C 若0|)(|limxann，则)(1xann在,ba必绝对收敛 D)(1xann在,ba条件收敛必收敛 6.若幂级数nnxa的收敛域为1,1,则幂级数nnxa在1,1上 常将有日思无日，莫待无时思有时。增广贤文老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。唐王勃 A.一致收敛 B.绝对收敛 C.连续 D.可导 三.求值或计算（每题 4 分，共 16 分）1.dxxxxln1；2.dxxxcossin1 3dxexxx11.丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。杜甫大丈夫处世，不能立功建业，几与草木同腐乎？罗贯中 4.设 xf在0,1上连续，求 dxxfnn10lim 四.（16 分）判别下列反常积分和级数的敛散性.1.1324332xxdx；人之为学，不日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染而不自觉。顾炎武海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。林则徐 2.dxxx10)1ln(11 3.21lnnnnn；4.1!nnnnne 老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。唐王勃志不强者智不达，言不信者行不果。墨翟 五、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性（每题 5 分，共 10 分）1.),(;,2,1,)(42xnnxxfn 2.nnnnx13)1(21 ；,5.05.0,Dx 丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。杜甫吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？论语 六.应用题型（14 分）1.一容器的内表面为由2xy 绕 y 轴旋转而形成的旋转抛物面，其内现有水（3m），若再加水 7（3m），问水位升高了多少米 古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。苏轼好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。中庸2.把由xey，x 轴，y 轴和直线x0所围平面图形绕 x 轴旋转得一旋转体，求此旋转体的体积 V，并求满足条件 VaVlim21的a.七证明题型 （10 分）已知 xf与 xg均在a,b上连续，且在a,b上恒有 xgxf，但 xf不恒等于 xg，证明：babadxxgdxxf)()(先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。范仲淹志不强者智不达，言不信者行不果。墨翟 人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。刘鹗一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。增广贤文2013-2014 学年度第二学期 数学分析 2B 试卷 学院 班级 学号（后两位）姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 核分人 得分 一、判断题（每小题 2 分，共 18 分，正确者括号内打对勾，否则打叉）1.对任何可导函数 xf而言，Cxfdxxf成立。（）2.若函数 xf在ba,上连续，则 dttfxFbx必为 xf在ba,上的原函数。（）3.若级数1nna收敛，必有0limnxna。（）4.若1limnnna，则级数1nna发散.5.若幂级数1nnnxa在2x处收敛，则其在-2,2上一致收敛.（）6.如果 xf在以 a,b 为端点的闭区间上可积，则必有 dxxfdxxfbaba.（）7.设 xf在,1上有定义，则 dxxf1与级数 1nnf同敛散.（）8.设 xf在ba,任子区间可积，b 为 xf的暇点，则 badxxf与 海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。林则徐以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。管子牧民dtttbfab2111同敛散.（）9.设 xfn在 bxxaD,00上一致收敛，且 nnxxaxf0limNn存在，则 xfxfnnxxnxxnlimlimlimlim00.二.单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1.函数)(xf在,ba上可积的必要条件是（）A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2.下列说法正确的是（）A.1nna和1nnb收敛，1nnnba也收敛 B.1nna和1nnb发散，1)(nnnba发散 C.1nna收敛和1nnb发散，1)(nnnba发散 D.1nna收敛和1nnb发散，1nnnba发散 3.)(1xann在,ba收敛于)(xa，且)(xan可导，则（）A.xaxann)(1 B.)(xa可导 C.banbandxxadxxa)()(1 D.1)(nnxa一致收敛，则)(xa必连续 4.级数 12111nnnn 以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。旧唐书魏征列传海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。林则徐 A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 5.幂级数0212nnnxn的收敛域为：A.（,）B.,C.5.0,5.0 D.5.0,5.0 三.求值与计算题（每小题 4 分，共 16 分）1.dxxxx2sin2cossin 2.dxxxx12 古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。苏轼百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。汉乐府长歌行3.nnnnnnn111lim 4.dxbaxba2 四.判别敛散性（每小题4 分，共 16 分）1.dxxxx131arctan；大丈夫处世，不能立功建业，几与草木同腐乎？罗贯中好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。中庸 2.dxxx101 3.1111nnnnn.人之为学，不日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染而不自觉。顾炎武穷则独善其身，达则兼善天下。孟子4.11cos1nnn 五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5 分，共 10 分）1.1)1/(1,0)1/(10,)1(1xnnxxnxfn 1,0.,2,1xn 丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。杜甫百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。汉乐府长歌行2.121)(1nnnnx ),(x 六.应用题型（16 分）1.试求由曲线2xy 及曲线22xy所平面图形的面积.老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。唐王勃常将有日思无日，莫待无时思有时。增广贤文 2.将102cos1dxxx表达为级数形式，并确定前多少项的和作为其近似，可使之误差不超过十万分之一.七.（9 分）证明：若函数项级数 xun满足：（）2,1)(,naxuDxnn；（）na收敛.则函数项级数 xun在 D 上一致收敛.吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？论语常将有日思无日，莫待无时思有时。增广贤文 忍一句，息一怒，饶一着，退一步。增广贤文天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。易经014-2015 学年度第二学期 数学分析 2A 卷答案 三.判断题（每小题3 分，共 21 分）1.2.3.4.5.6.7.二.单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）B,C,C,D,A 三.计算与求值（每小题 5 分，共 10 分）1.解：原式=nnnnnn12111lim =nknnnk111lnexplim-2分 =nknnnk111lnlimexp-3 分 =21lnexpxdx=14e-5 分 2.原式=xdxtansinln -2 分 =xdxxxxcottantansinln-4 分 =Cxxxtansinln -5 分 四.判断敛散性（每小题 5 分，共 15 分）1.3113lim223xxxxx -2分 且 123p-3分 由柯西判别法知，dxxxx02113收敛。-5 分 2.由比式判别法 云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。王实甫吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？论语 nnnaa1limnnnnnnn!1!1lim11/111lim1enn-4 分 故该级数收敛.-5 分 3.解：由莱布尼兹判别法知，交错级数 11nnn收敛-2 分 又 121112120nnn 知其单调且有界，-4 分 故由阿贝尔判别法知，级数收敛.-5 分 五.1.解：极限函数为 Dxxfxfnn0lim-2 分 又 nnnxxfxfn1sin -4 分 0suplimffnn 故知 该函数列在 D 上一致收敛.-5 分 2.解：因当 Dx 时，nnnnnxnxnxu2222-3 分 而 正项级数 nn22收敛，-4 分 由优级数判别法知，该函数列在 D 上一致收敛.-5 分 六 已知一圆柱体的的半径为 R，由圆柱下底圆直径线并保持与底圆面030 角向斜上方切割，求所切下这块立体的体积。（本题满分10 分）解:在底圆面上以所截直径线为 x 轴，底圆的圆心为原点示坐标系，人之为学，不日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染而不自觉。顾炎武人不知而不愠，不亦君子乎？论语 过 x 处用垂直 x 轴的平面取截该立体，所得直角三角形的面积为：2202230tan21xRxRxS-5 分 2263xR 故所求立体的体积为：RRdxxRV2263-7 分=3932R -10 分 七.解：建立图示坐标系(竖直方向为 x 轴)则第一象限等腰边的方程为 10 yx-3 分 压力微元为：dxxdxxxdF2100210102 故所求为 dxxF10021002 -7分 丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武非淡泊无以明志，非宁静无以致远。诸葛亮 吨33.1333 千牛67.13066-10 分 八.证明：2,1cos3nnnxxun每一项在,上连续，又 331cosnnnxxun 而31n收敛 所以3cosnnx在,上一致收敛，-3分 故由定理结论知 3cosnnxxf在,上连续，-5分 再者 221sinnnnxxun 而21n收敛 所以 xun在,上一致收敛，结合 xun在,上的连续性 可知 3cosnnxxf在,上有连续的导函数.-9分 以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。管子牧民丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武2014-2015 学年度第二学期 数学分析 2B 试卷 学院 班级 学号（后两位）姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人 得分 二、判断题（每小题 3 分，共 21 分，正确者括号内打对勾，否则打叉）1.若 xf为偶函数，则 dxxf必为奇函数（）.2.xysgn为符号函数，则上限函数 y=xadttsgn在,上连续（）.3.若 dxxfa收敛，必有 0limxfx（）.4.若 nf在区间 I 上内闭一致收敛，则 nf在区间 I 上处处收敛（）.5.若1)(nnxu在ba,上内闭一致收敛，则1)(nnxu在ba,上一致收敛（）.6.若数项级数1nna绝对收敛，则经过任意重拍后得到的新级数仍然绝对收敛，并且其和不变（）.7.若函数项级数)(xun在ba,上的某点收敛，且)(xun在ba,上一致收敛，则)(xun也在ba,上一致收敛（）.二.单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1.函数)(xf是奇函数，且在,aa上可积，则（）A aaadxxfdxxf0)(2)(B 0)(aadxxf 老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。唐王勃常将有日思无日，莫待无时思有时。增广贤文C aaadxxfdxxf0)(2)(D)(2)(afdxxfaa 2.关于积分dxxxx1021sin，正确的说法是（）A.此为普通积分 B.此为瑕积分且瑕点为 0 C.此为瑕积分且瑕点为 1 D.此为瑕积分且瑕点为 0,1 3.就级数nnpln12（0p）的敛散性而言，它是（）A.收敛的 B.发散的 C.仅1p 时收 D.仅1p 时收敛 4.函数列 nf在区间I上一致收敛于 0 的充要条件是（）A.0lim,xfIxnn B.0lim,nnnxfIx C.0limxfNnnx D.0suplimxfnIxn 5.幂级数0212nnnxn的收敛域为：A.（,）B.,C.5.0,5.0 D.5.0,5.0 三.求值与计算题（每小题 5 分，共 10 分）1.dxexxxxnn310223sinlim 以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。旧唐书魏征列传万两黄金容易得，知心一个也难求。曹雪芹 2.设xxxfsinsin2，求 dxxfxx1 四.判别敛散性（每小题 5 分，共 10 分）1.dxxx1021arctan 2.2lnln1nnn 以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。旧唐书魏征列传老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。唐王勃 五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题 5 分，共 15 分）1.,0,2,1,12Dnnxxfn 人不知而不愠，不亦君子乎？论语志不强者智不达，言不信者行不果。墨翟 2.1,1,3sin2Dxnn 3.,12Dnxn 志不强者智不达，言不信者行不果。墨翟忍一句，息一怒，饶一着，退一步。增广贤文 六.设平面区域D是由圆222 yx，抛物线2xy 及x轴所围第一象限部分，求由 D 绕 y 轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分 10 分）宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。洪应明勿以恶小而为之，勿以善小而不为。刘备七.现有一直径与高均为 10 米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功（本题满分 10 分）良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。汤显祖人不知而不愠，不亦君子乎？论语八 设 2,1nxun是,ba上的单调函数，证明：若 aun与 bun 都绝对收敛，则 xun在,ba上绝对且一致收敛.（本题满分 9 分）