《课题学习,最短路径问题》教案、导学案、同步练习.docx

课题学习,最短路径问题教案、导学案、同步练习 13.4 课题学习最短路径问题 教学设计 一、教材分析1 1 、地位作用：随着课改的深化，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。这类问题的解答依据是两点之间，线段最短或垂线段最短，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。2 2 、 目标和目标解析：（1）目标：能利用轴对称解决简洁的最短路径问题，体会图形的改变在解决最值问题中的作用；感悟转化思想. （2）目标解析：达成目标的标记是：学生能讲实际问题中的地点河抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将线段和最小问题转化为连点之间，线段最短问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探究最算路径的过程中，体会轴对称的桥梁作用，感悟转化思想. 3 3 、教学重、难点教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为连点之间，线段最短问题 教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题 突破难点的方法：利用轴对称性质，作随意已知点的对称点，连接对称点和已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决.二、教学打算：多媒体课件、导学案 三、教学过程教学内容与老师活动 学生活动 设计意图 一、创设情景引入课题师：前面我们探讨过一些关于两点的全部连线中，线段最短、连接直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段最短等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中常常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学学问探究数学史中闻名的将军饮马问题 学生思索老师展示问题，并视察图片，获得感性相识. 从生活中问题动身，唤起学生的学习爱好及探究欲望.（板书）课题 二、自主探究合作沟通建构新知追问 1 1 ：视察思索，抽象为数学问题 这是一个实际问题，你准备首先做什么？ 活动 1 1 ：思索画图、得出数学问题将 A ， B 两地抽象为两个点，将河 l 抽象为一条直 线追问 2 2你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答， 并相互补充，最终达成共识：（1）从 A 地动身，到河边 l 饮马，然后到 B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与 A ， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从 A 地 到饮马地点，再回到 B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出访两条线段长度之和为最短的直线 l 上的点设 C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点 C 在 l 的什么位置时， AC 与 CB 的和最小（如图） 动手画 直线 视察口答 动手连线 视察口答 独立思索 合作沟通为学生供应参加数学活动的生活情境，培育学生的把生活问题转化为数学问题的实力. 经验视察-画图-说理等活动，感受几何的探讨方法，培育学生的逻辑思索实力.强调：将最短路径问题抽象为线段和最小问题活动 2 2 ：尝试解决数学问题问题 2 2：如图，点 A ， B 在直线 l 的同侧，点 C 是直线上的一个动点，当点 C 在 l 的什么位置时， AC 与 CB 的和最小？ 追问 1 1你能利用轴对称的有关学问，找到上问中符合条件的点 B ′吗？问题 3 3如图，点 A ， B 在直线 l 的同侧，点 C 是直线上的一个动点，当点 C 在 l 的什么位置时， AC 与 CB 的和最小？ 师生活动：学生独立思索，画图分析，并尝试回答，相互补充 假如学生有困难，老师可作如下提示 汇报沟通成果，书写理由.思索感悟活动 1 中的将军饮马问题，把刚学过的方法阅历迁移过来学生独立完成，集体订正 达到轴对称学问的学以致用留意问题解决方法的小结：抓对称性来解决刚好进行学法指导，注意方法规律的提炼总结. 学以致用，刚好巩固作法：（1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B ′； （2）连接 AB ′，与直线 l 相交于点 C ，则点 C 即为所求 如图所示：问题 3 3你能用所学的学问证明 AC + BC 最短吗？老师展示：证明：如图，在直线 l 上任取一点 C ′（与点C 不重合），连接 AC ′， BC ′， B ′ C ′ 由轴对称的性质知， BC = B ′ C ， BC ′= B ′ C ′ ∴ AC + BC =AC + B′C =AB′ ， AC′ + BC′ =AC′ + B′C′ 学生独立完成，集体订正留意问题解决方法的小结：抓轴对称来解决 经验视察-画图-说理等活动，感B ′方法提炼：将最短路径问题抽象为线段和最小问题. 问题 4 4练习 如图，一个旅游船从大桥 AB 的 P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸 BC 上，再返回 P 处，请画出旅游船的最短路径 基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接 PQ ，线段 PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线 BC ，这样问题就转化为点 P ， Q 在直线 BC 的同侧，如何在 BC 上找到一点 R ，使 PR 与 QR 的和最小 问题 5造桥选址问题如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥相互沟通解题阅历独立完成，沟通阅历视察思索，受几何的探讨方法，培育学生的逻辑思索实力. 提炼思想方法：轴对称，线段和最短MN.乔早在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 思维分析：1、如图假定任选位置造桥，连接和，从 A 到 B 的路径是 AM+MN+BN，那么怎样确定什么状况下最短呢？ 2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？ 思维点拨：变更 AM+MN+BN 的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？（估计有以下方法）1、把 A 平移到岸边. 2、把 B 平移到岸边. 3、把桥平移到和 A 相连. 动手画图，用轴对称学问进行解决各抒己见合作与沟通 体会转化思想， 体验轴对称学问的应用 动手体验动手作图4、把桥平移到和 B 相连. 老师：上述方法都能做到使 AM+MN+BN 不变呢？请检验. 1、2 两种方法变更了.怎样调整呢？把 A 或 B 分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢? 问题解决：如图，平移 A 到 A1，使A1 等于河宽，连接A1交河岸于作桥，此时路径最短. 理由；另任作桥，连接，.由平移性质可知，.AM+MN+BN 转化为，而 转化为.在中，由线段公理知A1N1+BN1A1B 因此 AM+MN+BN如图所示：沟通体会 体验转化思想 B A方法提炼：将最短路径问题转化为线段和最小问题 教学内容与老师活动 学生活动 设计意图 三、巩固训练（一）基础训练：1、最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求 如图所示，点 A ， B 分别是直线 l 异侧的两个点，在 l 上找一个点 C ，使 CA CB 最短，这时点 C 是直线 l 与 AB 的交点(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求 如图所示，点 A ， B 分别是直线 l 同侧的两个点，在 l 上找一个点 C ，使 CA CB 最短，这时先作点 B 关于直线 l的对称点 B ′，则点 C 是直线 l 与 AB ′的交点2.如图，A 和 B 两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）学生独立思索解决问题独立思索，合作沟通. 巩固所学学问，增加学生应用学问的实力，渗透转化思想. 提炼方法，为课本例题奠定基础.如图，问题中所走总路径是 AM+MN+NP+PQ+桥 MN 和PQ 在中间，且方向不能变更，仍无法干脆利用两点之间，线段最短解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移到 A点处、都平移到 B 点处、MN 平移到 A 点处，PQ 平移到 B点处. （二）变式训练：如图，小河边有两个村庄 A ， B ，要在河边建一自来水厂向A 村与 B 村供水(1)若要使厂部到 A ， B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到 A ， B 两村的水管最短，应建在什么地方？ （三）综合训练：茅坪民族中学八(2)班实行文艺晚会，桌子摆成如图 a 所示两直排(图中的 AO ， BO )， AO 桌面上摆满了橘子， OB 桌ABQNABMP面上摆满了糖果，站在 C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到 D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路途，使其所走的总路程最短？图 a 图 b四、反思小结布置作业小结反思（1）本节课探讨问题的基本过程是什么？ （2）轴对称在所探讨问题中起什么作用？ 解决问题中，我们应用了哪些数学思想方法？ 你还有哪些收获？ 作业布置、课后延长必做题：课本 P93-15 题；选做题：生活中，你发觉那些须要用到本课学问解决的最短路径问题 自由发言,相互借鉴.自我评价.总结回顾学习内容，帮助学生归纳反思所学学问及思想方法.关注学生的个体差异. 板书设计：教学反思： 13.4 最短路径问题两点的全部连线中，线段最短、 连接直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段最短等的问题，我们称它们为最短路径问题 方法提炼：将最短路径问题转化为线段和最小问题 13.4 课题学习最短路径问题导学案学习目标：1.能利用轴对称解决简洁的最短路径问题. 2.体会图形的改变在解决最值问题中的作用，感悟转化思想重点：利用轴对称解决简洁的最短路径问题 难点：利用轴对称解决简洁的最短路径问题 一、 学问链接1.如图，连接 A、B 两点的全部连线中，哪条最短？为什么？2.如图，点 P 是直线 l 外一点，点 P 与该直线 l 上各点连接的全部线段中，哪条最短？为什么？3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本领实？ （1）三角形的三边关系：_ ； (2)直角三角形中边的关系：_ .4.如图，如何作点 A 关于直线 l 的对称点？ 一、 要点探究探究点 1 1 ：牧人饮马问题 想一想：1.现在假设点 A,B 分别是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A，点 B 的距离的和最短？2.假如点 A,B 分别是直线 l 同侧的两个点，如何将点 B移到 l 的另一侧B′处，满意直线 l 上的随意一点 C，都保持 CB 与 CB′的长度相等？ 实际问题:如图，牧马人从点 A 地动身，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 数学问题:如图，点 A、B 在直线 l 的同一侧，在直线 l 上求作一点 C,使 AC+BC 最短.：要点归纳：（1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B′；（2）连接 AB′，与直线l 相交于点 C则点 C 即为所求如图所示. 你能用所学的学问证明你所作的点 C 使 AC +BC 最短吗？ 证明： 要点归纳: :在解决牧人饮马问题时，通常利用轴对称，把未知问题转化为已解决的问题，从而做出最短路径的选择. 典例精析例 例 1 1 ：如图，已知点 D、点 E 分别是等边三角形 ABC 中 BC、AB 边的 中点，AD=5，点 F 是 AD 边上的动点，则 BF+EF 的最小值为（）A7.5 B5C4D不能确定 方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再依据已知条件求解.例 例 2 2 ：如图，在直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为（1，4）和 （3，0），点 C 是 y 轴上的一个动点，且 A，B，C 三点不在同一 条直线上，当ABC 的周长最小时点 C 的坐标是（）A（0，3） B（0，2）C（0，1） D（0，0） 方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置. 探究点 2 2 ：造桥选址问题实际问题：如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN.桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？数学问题：如图，假定任选位置造桥 MN，连接 AM 和 BN，从 A 到 B 的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么状况下最短呢？想一想：我们能否在不变更 AM+MN+BN 的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？ 画一画：（1）把 A 平移到岸边. （2）把 B 平移到岸边.（3）把桥平移到和 A 相连.（4）把桥平移到和 B 相连. ：比一比：（1）（2）（3）（4）中，哪种作法使得 AM+MN+BN 最短？ 要点归纳：如图，平移 A 到 A 1 ，使 AA 1 等于河宽，连接 A 1 B 交河岸于 N 作桥MN，此时路径 AM+MN+BN 最短.证明：另任作桥 M 1 N 1 ，连接 AM 1 ，BN 1 ，A 1 N 1 . 针对训练1.如图，直线 l 是一条河，P、Q 是两个村庄.欲在 l 上的某处修建一个水泵站，向 P、Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所须要管道最短的 是（） 2.如图，一个旅游船从大桥 AB 的 P 处前往山脚下的 Q 处接游客，然后将游客送往河岸 BC 上，再返回 P 处，请画出旅游船的最短路径想一想：如何说明此时AM+MN+BN 最 短呢？ 3.如图，小河边有两个村庄 A ， B ，要在河边建一自来水厂向 A 村与 B 村供水 (1)若要使厂址到 A ， B 两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)? (2)若要使厂址到 A ， B 两村的水管最短，应建在什么地方？ 二、 课堂小结1.如图，直线 m 同侧有 A、B 两点，A、A′关于直线 m 对称，A、B 关于直线n 对称，直线 m 与 A′B 和 n 分别交于 P、Q，下面的说法正确的是（）AP 是 m 上到 A、B 距离之和最短的点，Q 是 m 上到 A、B 距离相等的点 BQ 是 m 上到 A、B 距离之和最短的点，P 是 m 上到 A、B 距离相等的点 CP、Q 都是 m 上到 A、B 距离之和最短的点 最短路径问题 牧人饮马问题 造桥选址问题 轴对称+线段公理 平移DP、Q 都是 m 上到 A、B 距离相等的点第 1 题图第 2 题图第 3 题图 2.如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有肯定点 P，且 OP=10若在 OA、OB 上分别有动点 Q、R，则PQR 周长的最小值是（）A10B15 C20 D30 3.如图，牧童在 A 处放马，其家在 B 处，A、B 到河岸的距离分别为 AC 和 BD，且 AC=BD,若点 A 到河岸 CD 的中点的距离为 500 米，则牧童从 A 处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是_ 米. 4.如图，边长为 1 的正方形组成的网格中，AOB 的顶点均在格点上，点 A、B 的坐标分别是 A（3，2），B（1，3）点 P 在 x 轴上，当 PA+PB 的值最小时，在图中画出点 P5.如图，荆州古城河在 CC′处直角转弯，河宽相同，从 A 处到 B 处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使 ADD ′E ′EB 的路程最短？拓展提升6.（1）如图 1，在 AB 直线一侧 C、D 两点，在 AB 上找一点 P，使 C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点 （2）如图 2，在∠AOB 内部有一点 P，是否在 OA、OB 上分别存在点 E、F，使得 E、F、P 三点组成的三角形的周长最短，找出 E、F 两点 （3）如图 3，在∠AOB 内部有两点 M、N，是否在 OA、OB 上分别存在点 E、F，使得 E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出 E、F 两点 13.4 课题学习最短路径问题导学案学习目标 1.能利用轴对称解决简洁的最短路径问题，体会图形的改变在解决最值问题中的作用，感悟转化思想. 2.利用轴对称将最短路径问题转化为两点之间，线段最短问题. 重点：作轴对称图形难点：用轴对称学问解决相应的数学问题 学习过程：一、复习旧知 1、 动一动：如图，已知 ABC 和直线 l ，你能作出 ABC 关于直线 l 对称的图形。二、预习新课 2、探究 1 如图（1）要在燃气管道 L 上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气•泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 你可以在 L 上找几个点试一试，能发觉什么规律吗？ 探究 2 为什么在点 C 的位置修建泵站，就能使所用的输管道最短？ 过程：将实际问题转化为数学问题， 该问题就是证明 已知：求作： 证明过程：三、随堂练习 1、任画一条直线 L 及直线 L 同旁两点 M、N，画出从点 M 动身经过直线 L 上的某一点后，再到达 N 点的最短路途。.N .M 2、已知：两点 A、B 位于直线 L 的两侧，在直线 L 上求作一点 C，使得 AC-BC最大。A .B 四、课时小结 五、巩固提升 1、如图，A 为马厩，B 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路途。2、 为保证2008北京奥运会顺当进行，奥组委在马路L的同侧修建你A，B 两个日用品供应站，要在过路边建一个转运站 C，使 A,B 两站到转运站 C 的距离之和最短，问这个转运站应建在马路的哪个位置上比较合理？ A . B . 13.4 课题学习最短路径问题导学案一、学习目标能利用轴对称解决简洁的最短路径问题. 体会图形的改变在解决最值问题中的作用； 能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想 二、预习内容自学课本 5 85 页，完成下列问题：追问 1 1 ：视察思索，抽象为数学问题 这是一个实际问题，你准备首先做什么？ 活动 1 1 ：思索画图、得出数学问题将 A ， B 两地抽象为两个点，将河 l 抽象为一条直 线追问 2 2你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答， 并相互补充，最终达成共识：（1）从 A 地动身，到河边 l 饮马，然后到 B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与 A ， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从 A 地 到饮马地点，再回到 B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出访两条线段长度之和为最短的直线 l 上的点设 C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点 C 在 l 的什么位置时， AC 与 CB 的和最小（如图）三、探究学习1、 活动 2 2 ：尝试解决数学问题问题 2 2：如图，点 A ， B 在直线 l 的同侧，点 C 是直线上的一个动点，当点 C 在 l 的什么位置时， AC 与 CB 的和最小？ 追问 1 1你能利用轴对称的有关学问，找到上问中符合条件的点 B ′吗？ 师生活动：学生独立思索，画图分析，并尝试回答，相互补充 （2）连接 AB ′，与直线 l 相交于点 C ，则点 C 即为所求四、巩固测评 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求如图所示，点 A ， B 分别是直线 l 异侧的两个点，在 l 上找一个点 C ，使 CA CB 最短，这时点 C 是直线 l 与 AB 的交点 假如学生有困难，老师可作如下提示 作法：（1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B ′； （一）基础训练：1、最短路径问题 (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求 如图所示，点 A ， B 分别是直线 l 同侧的两个点，在 l 上找一个点 C ，使 CA CB 最短，这时先作点 B 关于直线 l 的对称点 B ′，则点 C 是直线 l 与 AB ′的交点2.如图，A 和 B 两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥 MN 和 PQ.桥分别建在何处才能使从 A 到 B 的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）（二）变式训练：.如图，小河边有两个村庄 A ， B ，要在河边建一自来水厂向 A 村与 B 村供水AB(1)若要使厂部到 A ， B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到 A ， B 两村的水管最短，应建在什么地方？ 茅坪民族中学八(2)班实行文艺晚会，桌子摆成如图 a 所示两直排(图中的AO ， BO )， AO 桌面上摆满了橘子， OB 桌面上摆满了糖果，站在 C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到 D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路途，使其所走的总路程最短？图 a 图 b 五、学习心得。 13.4课题学习最短路径问题同步练习基础巩固 1有两棵树位置如图，树脚分别为 A ， B .地上有一只昆虫沿 A B 的路径在地面上爬行小树顶 D 处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶 C处，问小鸟飞至 AB 之间何处时 ，飞行距离最短，在图中画出该点的位置2已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球嬉戏，嬉戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立即传给丙，然后丙又立即将球传给甲若甲站在∠ AOB 内的P 点，乙站在 OA 上，丙站在 OB 上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同问乙和丙必需站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最终丙到甲这一轮所用的时间（三）综合训练：最少？3如图所示， P ， Q 为 ABC 边上的两个定点，在 BC 上求作一点 R ，使 PQR的周长最小4七年级(1)班同学做嬉戏，在活动区域边 OP 放了一些球(如图)， 则小明按怎样的路途跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地 A? 实力提升 5公园内两条小河 MO ， NO 在 O 处汇 合，两河形成的半岛上有一处景点 P (如图所示)现安排在两条小河 上各建一座小桥 Q 和 R ，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥 应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由6如图，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处， A ， B 到河岸 CD 的距离分别为 AC ，BD ，且 AC BD ，若 A 到河岸 CD 的中点的距离为 500 m.(1)牧童从 A 处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出该处，并说明理由； (2)最短路程是多少？ 参考答案1 解：如图，作 D 关于 AB 的对称点 D ′，连接 CD ′交 AB 于点 E ，则点 E就是所求的点2 解：如图所示，(1)分别作点 P 关于 OA ， OB 的对称点 P 1 ， P 2 ； (2)连接 P 1 P 2 ，与 OA ， OB 分别相交于点 M ， N . 因为乙站在 OA 上，丙站在 OB 上，所以乙必需站在 OA 上的 M 处，丙必需站在 OB 上的 N 处才能使传球所用时间最少3 解：(1)作点 P 关于 BC 所在直线的对称点 P ′； (2)连接 P ′ Q ，交 BC 于点 R ，则点 R 就是所求作的点(如图所示)4 解：如图，作小明关于活动区域边线 OP 的对称点 A ′，连接 AA ′交 OP于点 B ，则小明行走的路途是小明→ B → A ， 即在 B 处捡球，才能最快拿到球跑到目的地 A . 5 解：如图，作 P 关于 OM 的对称点 P ′，作 P 关于 ON 的对称点 P ″，连接P ′ P ″，分别交 MO ， NO 于 Q ， R ，连接 PQ ， PR ，则 P ′ Q PQ ， PR P ″ R ，则 Q ，R 就是小桥所在的位置理由：在 OM 上任取一个异于 Q 的点 Q ′，在 ON 上任取一个异于 R 的点 R ′，连接 PQ ′， P ′ Q ′， Q ′ R ′， P ″ R ′， PR ′，则 PQ ′ P ′ Q ′， PR ′ P ″ R ′，且 P ′ Q ′ Q ′ R ′ R ′ P ″ P ′ Q QR RP ″，所以 PQR 的周长最小，故 Q ，R 就是我们所求的小桥的 位置 6 解：(1)作法：如图作点 A 关于 CD 的对称点 A ′；连接 A ′ B 交 CD 于点 M .则点 M 即为所求的点 证明：在 CD 上任取一点 M ′，连接 AM ′， A ′ M ′， BM ′， AM ， 因为直线 CD 是 A ， A ′的对称轴， M ， M ′在 CD 上， 所以 AM A ′ M ， AM ′ A ′ M ′，所以 AM BM A ′ M BM A ′ B ， 在 A ′ M ′ B 中，因为 A ′ M ′ BM ′ A ′ B ， 所以 AM ′ BM ′ A ′ M ′ BM ′ AM BM ，即 AM BM 最小 (2)由(1)可得 AM A ′ M ， A ′ C AC BD ，所以 A ′ CM BDM ， 即 A ′ M BM ， CM DM ，所以 M 为 CD 的中点，且 A ′ B 2 AM ， 因为 AM 500 m，所以 A ′ B AM BM 2 AM 1 000 m即最短路程为 1000 m.