222解析几何专题4：圆锥曲线中的最值和范围问题(教师版).doc
本资料来源于?七彩教育网?第二十一讲 圆锥曲线中的最值和范围问题一高考在考什么【考题回放】1双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F，假设过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么此双曲线离心率的取值范围是(C )A.( 1,2) B. (1,2) C. D.(2,+)2 P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x5)2y24和(x5)2y21上的点，那么|PM|PN|的最大值为 D A. 6 B.7 C.8 3抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( A )A B C D4双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|,那么此双曲线的离心率e的最大值为：B(A) (B) (C) (D)5抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，那么y12+y22的最小值是 32 .6对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点Pa，0都满足|PQ|a|，那么a的取值范围是( B )A，0 B，2 C0，2 D0，2高考要考什么【热点透析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：1结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；2不等式组求解法：利用题意结合图形如点在曲线内等列出所讨论的参数适合的不等式组，通过解不等式组得出参数的变化范围；3函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。4利用代数根本不等式。代数根本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；5结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： 通过参数简明地表示曲线上点的坐标； 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；6构造一个二次方程，利用判别式D³0。突破重难点【例1】点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件.记动点的轨迹为W.求W的方程；假设A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.解：依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为： x>0当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为xx0，此时Ax0，Bx0，2 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxb，代入双曲线方程中，得：(1k2)x22kbxb220依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，那么解得|k|>1，又x1x2y1y2x1x2kx1bkx2b1k2x1x2kbx1x2b2>2综上可知的最小值为2【例2】给定点A(-2,2)，B是椭圆上的动点，F是右焦点，当取得最小值时，试求B点的坐标。解：因为椭圆的，所以，而为动点B到左准线的距离。故此题可化为，在椭圆上求一点B，使得它到A点和左准线的距离之和最小，过点B作l的垂线，垂点为N，过A作此准线的垂线，垂点为M，由椭圆定义于是 为定值其中，当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立，此时B为所以，当取得最小值时，B点坐标为【例3】P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1QQ(x，y)，那么|O1Q|2= x2+(y-4)2 因Q在椭圆上,那么x2=9(1-y2) 将代入得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 因为Q在椭圆上移动，所以-1£y£1，故当时，此时【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被无视。【例4】椭圆的一个焦点为F1(0,-2)，对应的准线方程为，且离心率e满足：成等差数列。1求椭圆方程；2是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分，假设存在，求出l的倾斜角的范围；假设不存在，请说明理由。1解：依题意e ， a3，c2，b1， 又F1(0，2)，对应的准线方程为 椭圆中心在原点，所求方程为 (2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被平分直线l的斜率存在。 设直线l：ykxm由消去y，整理得 (k29)x22kmxm290l与椭圆交于不同的两点M、N，4k2m24(k29)(m29)0 即m2k290设 M(x1,y1),N(x2,y2) 把代入式中得，k或k直线l倾斜角第二十二讲圆锥曲线中的最值和范围问题二【例5】长度为的线段的两个端点、分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且为常数且1求点的轨迹方程，并说明轨迹类型；2当=2时，直线与原点O的距离为，且直线与轨迹有公共点，求直线的斜率的取值范围答案：(1)设、，那么，由此及，得，即 *当时，方程*的轨迹是焦点为，长轴长为的椭圆当时，方程*的轨迹是焦点为，长轴长为的椭圆当时，方程*的轨迹是焦点为以O点为圆心，为半径的圆2设直线的方程：，据题意有，即由得 因为直线与椭圆有公共点，所以 又把代入上式得 ：【例6】椭圆E的中心在原点O，焦点在轴上，其离心率, 过点C1,0的直线与椭圆E相交于A、B两点，且满足点C分向量的比为2.1用直线的斜率k ( k0 ) 表示OAB的面积；2当OAB的面积最大时，求椭圆E的方程。解：1设椭圆E的方程为( ab0 )，由e =a2=3b2 故椭圆方程x2 + 3y2 = 3b2 设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C1，0分向量的比为2， 即 由消去y整理并化简得 (3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0由直线l与椭圆E相交于Ax1,y1, B(x2,y2)两点得： 而SOAB 由得:x2+1=，代入得：SOAB = 2因SOAB=,当且仅当SOAB取得最大值此时 x1 + x2 =1, 又 =1 x1=1,x2 =2将x1,x2及k2 = 代入得3b2 = 5 椭圆方程x2 + 3y2 = 5 【例7】设直线过点P0，3，和椭圆顺次交于A、B两点，假设试求l的取值范围.解：当直线垂直于x轴时，可求得;当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得解之得 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.当时，所以 .由 ， 解得 ，所以 ，yO.Mx.综上 .【例8】我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆，其中， 如图，设点，是相应椭圆的焦点，和，是“果圆 与，轴的交点，是线段的中点（1） 假设是边长为1的等边三角形，求该“果圆的方程； 2设是“果圆的半椭圆上任意一点求证：当取得最小值时，在点或处；3假设是“果圆上任意一点，求取得最小值时点的横坐标解：1 ，于是，所求“果圆方程为， 2设，那么， ， 的最小值只能在或处取到 即当取得最小值时，在点或处 3，且和同时位于“果圆的半椭圆和半椭圆上，所以，由2知，只需研究位于“果圆的半椭圆上的情形即可 当，即时，的最小值在时取到，此时的横坐标是 当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是 综上所述，假设，当取得最小值时，点的横坐标是；假设，当取得最小值时，点的横坐标是或
