2011中央电大最新经济数学基础形成性考核册答案全解.doc

2021最新经济数学根底形成性考核册答案全解作业一一填空题 x-sinx1.lim=_.答案：0 x®0xæx2+1,2.设f(x)=ççk,èx¹0x=0，在x=0处连续，那么k=_.答案：112123.曲线y=x在(1,1)的切线方程是.答案：y=x+4.设函数f(x+1)=x2+2x+5，那么f¢(x)=_.答案：2x5.设f(x)=xsinx，那么f¢¢()=_.答案：- 22二单项选择题1. 函数y=x-1x+x-22的连续区间是 答案：DA(-¥,1)È(1,+¥) B(-¥,-2)È(-2,+¥)C(-¥,-2)È(-2,1)È(1,+¥) D(-¥,-2)È(-2,+¥)或(-¥,1)È(1,+¥)2. 以下极限计算正确的选项是 答案：B A.limxx=1 B.lim+x®0xxx®0=1 C.limxsinx®01x=1 D.limsinxxx®¥=13. 设y=lg2x，那么dy= 答案：BA12xdx B1xln10dx Cln10xdx D1xdx4. 假设函数f (x)在点x0处可导，那么( )是错误的答案：BA函数f (x)在点x0处有定义 Blimf(x)=A，但A¹f(x0) x®x0C函数f (x)在点x0处连续 D函数f (x)在点x0处可微5.当x®0时，以下变量是无穷小量的是 . 答案：CA2 B(三)解答题1计算极限1limxsinxx Cln(1+x) Dcosx x-3x+2x-122x®1= lim(x-2)(x-1)(x-1)(x+1)x®1 = limx-2(x+1)x®1 = -12 12limx-5x+6x-6x+822x®2=lim(x-2)(x-3)(x-2)(x-4)x®2 = limx-3(x-4)x®2 = 12 3lim-x-1xx®0=lim(-x-1)(-x+1)x(-x+1)x®0=lim-xx(-x+1)x®0=lim-1(-x+1)x®0=-124limx-3x+53x+2x+4221-3x2x+3552x=1 43x®¥=limx®¥3+x25limsin3xsin5x2x®0=lim5xsin3x33xsin5x5x®0=6limx-4sin(x-2)x®2=lim(x-2)(x+2)sin(x-2)x®2=4 1ìxsin+b,ïxïa,2设函数f(x)=ísinxïïxîx<0x=0， x>0问：1当a,b为何值时，f(x)在x=0处有极限存在？2当a,b为何值时，f(x)在x=0处连续. 答案：1当b=1，a任意时，f(x)在x=0处有极限存在；2当a=b=1时，f(x)在x=0处连续。3计算以下函数的导数或微分：1y=x+2+logx2x2x-2，求y¢ 1xln22答案：y¢=2x+2ln2+2y=ax+bcx+d ，求y¢答案：y¢=a(cx+d)-c(ax+b)(cx+d)2=ad-cb(cx+d)223y=13x-5，求y¢ 11答案：y=23x-5=(3x-5)- y¢=-32(3x-5)34y=x-xex，求y¢ 答案：y¢=12x-(x+1)ex5y=eaxsinbx，求dy答案：y¢=(eax)¢sinbx+eax(sinbx)¢=aeaxsinbx+eaxcosbx×b=eax(asinbx+bcosbx) dy=eax(asinbx+bcosbx)dx16y=ex+xx，求dy答案：dy=(3112x-x2ex)dx7y=cosx-e-x2，求dy答案：dy=(2xe-x2-sinx2x)dx8y=sinnx+sinnx，求y¢答案：y¢=nsinn-1xcosx+cosnxn=n(sinn-1xcosx+cosnx)9y=ln(x+x2)，求y¢答案1y¢=1(x+x2)¢=11+12x+x2x+x2(2(1+x2)-2x)=1+x210y=2cot1x+1+x2-2xx，求y¢3 ：=1(1+xx+x2+x2)答案：y¢=2cot1xln21x-12x-32+16x-56 xsin24.以下各方程中y是x的隐函数，试求y¢或dy1x2+y2-xy+3x=1，求dy答案：解：方程两边关于X求导：2x+2yy¢-y-xy¢+3=0 (2y-x)y¢=y-2x-3 ， dy=y-3-2x2y-xdx2sin(x+y)+exy=4x，求y¢答案：解：方程两边关于X求导cos(x+y)(1+y¢)+e(y+xy¢)=4 xy(cos(x+y)+ex)y¢=4-yey¢=4-yexexyxyxyxy-cos(x+y) -cos(x+y)+cos(x+y)5求以下函数的二阶导数：1y=ln(1+x2)，求y¢¢ 2-2x222答案：y¢¢=(1+x)2y=1-xx34，求y¢¢及y¢¢(1) 答案：y¢¢=x-52+14x-32，y¢¢(1)=1作业二一填空题1.假设òf(x)dx=2+2x+c，那么f(x)=_.答案：2ln2+2 2. xxò(sinx)¢dx=_.答案：sinx+c23. 假设òf(x)dx=F(x)+c，那么òxf(1-x)dx=.答案：-4.设函数ddx12F(1-x)+c 2òe1ln(1+x)dx=_.答案：0 245. 假设P(x)=ò0x1+t2t，那么P¢(x)=_.答案：-1+x2二单项选择题21. 以下函数中， 是xsinx的原函数11 Acosx2 B2cosx2 C-2cosx2 D-cosx2 22答案：D2. 以下等式成立的是 1 Asinxdx=d(cosx) Blnxdx=d() xC2xdx=1ln2d(2) x D1xdx=dx答案：C3. 以下不定积分中，常用分部积分法计算的是 Aòcos(2x+1)dx， Bòx-xdx Còxsin2xdx Dò答案：C4. 以下定积分计算正确的选项是 Aò2xdx=2 Bò-1116-12x1+x2dx dx=15pCòp-p(x+x)dx=0 Dòsinxdx=0 -p23答案：D5. 以下无穷积分中收敛的是 Aò+¥11xdx Bò+¥11x2dx Cò+¥0edx Dòx+¥1sinxdx答案：B(三)解答题1.计算以下不定积分1ò3exxdx 3xx答案：ò3exxdx=ò(3e)dx=xeln3e+c2ò(1+x)x2dx 答案：ò(1+x)x2dx=ò(1+2x+x)x2dx=ò(x-1213+2x2+x2)dx 5=2x+4323x2+255x2+c3òx-4x+22dx 答案：ò4òx-4x+2dx=ò(x-2)dx=12x-2x+c 211-2x1dx 答案：ò1-2xdx=-1ò21-2x1d(1-2x)=-12ln-2x+c5òx2+xdx 答案：òx2+xdx=sinxsinxx2221ò22+xd(2+x)=(2+x2)2+c 322136òxdx 答案：òxdx=2òsinxdx=-2cosx+c 7òxsin答案：òxsindx x2dx=-2òxdcosx2dx =-2xcosx2+2òcosx2dx=-2xcosx2+4sinx2+c8òln(x+1)dx答案：òln(x+1)dx=òln(x+1)d(x+1) =(x+1)ln(x+1)-2.计算以下定积分1ò-xx -12ò(x+1)dln(x+1)=(x+1)ln(x+1)-x+c答案：ò-xx=ò(1-x)dx+ò(x-1)dx=(x-121212-11x)21-1+(12x-x)221=52612ò21exx22x1答案：ò3òe1exx21x=-ò211exd1x1=-ex21=e-e31x+lnxx答案：òe131x+lnxx=òe131+lnx1+lnx)=21+lnx)2e13=2p4ò20xcos2xdxp答案：òe20xcos2xdx=1p20ò2xdsin2x=12pxsin2x2 -1p20ò2sin2xdx=-12 5òxlnxdx1答案：òxlnxdx=1e1ò2e1lnxdx=212xlnx2e1-òe1xdlnx=214(e+1)26ò(1+xe0404-x)dx )dx=x41答案：ò(1+xe作业三一填空题é1ê1.设矩阵A=3êêë2-x-ò40xde-x=3-xe-x40+ò40edx=5+5e-4-x0-21436-5ùú2，那么A的元素a23=_.答案：3 ú-1úûT2.设A,B均为3阶矩阵，且A=B=-3，那么-2AB22=_. 答案：-7223. 设A,B均为n阶矩阵，那么等式(A-B)=A-2AB+B成立的充分必要条件是答案：AB=BA4. 设A,B均为n阶矩阵，(I-B)可逆，那么矩阵A+BX=X的解X=_. 答案：(I-B)-1A7é1ê5. 设矩阵A=0êêë00200ùú-10，那么Aú-3úûéê1ê=_.答案：A=ê0êê0êë 120ù0úú0ú ú1ú-ú3û二单项选择题1. 以下结论或等式正确的选项是 A假设A,B均为零矩阵，那么有A=BB假设AB=AC，且A¹O，那么B=CC对角矩阵是对称矩阵D假设A¹O,B¹O，那么AB¹O答案C2. 设A为3´4矩阵，B为5´2矩阵，且乘积矩阵ACBT有意义，那么CT为 A2´4 B4´2C3´5 D5´3 答案A3. 设A,B均为n阶可逆矩阵，那么以下等式成立的是 A(A+B)-1=A-1+B-1， B(A×B)-1=A-1×B-1 CAB=BA DAB=BA 答案C 4. 以下矩阵可逆的是 é123ùé-10-1ùAêê023úú Bêê101úú êë0 3úûêë123úûCé11ùé11ùêë00ú Dûêë22ú 答案A û é222ù5. 矩阵A=êê333úú的秩是 êë444úûA0 B1 C2 D3 答案B 三、解答题 1计算 1é-21ùé01ù-2ùêë53ú0=é1ûêë1úûêë35ú û8矩阵2é02ùé11ù0ùêë0-3úûêë00ú=é0ûêë00ú ûé3ùêú3-1254ê0úê-1ú=0 êë2úûé123ùé-124ùé245ù2计算êê-122úêúê143úú-êê610úú êë1-32úûêë23-1úûêë3-27úûé123ùé-124ùé245ùé7197ùé2解 êê-122úêúê143úêú-ê610úú=êê7120úú-êê6êë1-32úûêë23-1úûêë3-27úûêë0-4-7úûêë3é5152ù=êê1110úú êë-3-2-14úûé23-1ùé123ù3设矩阵A=êê111úú，B=êê112úú，求AB。 êë0-11úûêë011úû解 因为AB=AB23-1232A=111=112=(-1)2+3(-1)220-110-1012=2123123B=112=0-1-1=0 011 11所以AB=AB=2´0=0é124ù4设矩阵A=êê2l1úú，确定l的值，使r(A)最小。 êë110úû答案945ù10úú-27úû： é1êA=2êêë12l14ùú1ú0úûé1(2)+(1)´(-2)ê (3)+(1)´(-1)êêë02-19l-4ùú-4úú0úû42l-4-14ùú-7ú-4úûé1ê(2)(3)0êêë02-1l-44ùú-4ú-7úûé1ê7(3)+(2)´(-)ê0êê0ë当l=94时，r(A)=2到达最小值。-5-8-7-1354124221ùú3ú的秩。 0úú3ûé2ê5ê5求矩阵A=ê1êë4答é2ê5êA=ê1êë4-5-8-7-1354124221ùú3ú0úú3û案：(1)(3)é1ê5êê2êë42-600-7-8-5-1453124220ùú3ú1úú3ûé1(2)+(1)´(-5)ê0ê(3)+(1)´(-2)ê0(4)+(1)´(-4)êë0-72924-1-5-12-6-2-60ùú3ú1úú3ûé1ê1ê0(3)+(2)´(-)3ê0(4)+(2)´(-1)ê0ë-727004-15000ùú3úr(A)=2。 0úú0û6求以下矩阵的逆矩阵：é1ê1A=-3êêë1-3012ùú1 ú-1úû答案é1ê(AI)=-3êêë1-3010ùú1010ú-1001úû21-30ùú112ú-101úû1 210é1(2)+(1)´3ê0ê(3)+(1)´(-1)êë0-3-9427-3-3-1021110ùú310ú-101úû1130140ùú2ú9úû é1(2)+(3)´2ê0êêë0-3-14é1(3)+(2)´4ê0êêë010é1(2)+(3)´(-1)ê -3-100-5-2-8-18ùú-3-7é1(2)´(-1)ê -310012133ùú7AI)=é1êë3A-1(1)+(3)´(-2)êúúêë0 1349ú(1)+(2)´(3)êûêë0 1349úûé113ùA-1=êê237úú êë349úûé-13-6-3ù2A =êê-4-2-1úú êë211úû答案é-13-6-3100ùé-1001-30ù(AI)=êê-4-2-1010úú¾(¾1)+(¾2)´(¾-3)®êê-4-2-1010úúêë211001úûêë211001úû(2)+(3)´2é-1001-30ùé-1001-30ù¾)¾3)+(¾1)¾´2®êê001012úú¾(¾2)(¾3)®êê0112-61úúêë0112-61úûêë0 1 12úû(2)+(3)(-1)é100-13 ùé-130ù¾¾(1)´(¾-1)¾®ê102-7-1úêê0úA-1 =ê2-7-1úú êë0 0012úûêë012úû7设矩阵A=é12ùé12ùêë35ú,B=ûêë23ú，求解矩阵方程XA=B û案：210ù210ù0-52ù0-52ù5 1ú(2)+(1)´(-3)é1ûêë0-1-31ú(1)+(2)´2é1ûêë0-1-31ú(2)´(-1)é1ûêë013-1úû=é-52ùê X=BA-1X = é10ùë3-1úêûë-11ú û四、证明题1试证：假设B1,B2都与A可交换，那么B1+B2，B1B2也与A可交换。 证明：(B1+B2)A=B1A+B2A=AB1+AB2=A(B1+B2)，B1B2A=B1AB2=AB1B22试证：对于任意方阵A，A+AT，AAT,ATA是对称矩阵。11答提示TTTT：T证TT明TT(A+A)=A(A)TTTT=A+(A)=A+A=A+ATTTTTT，(AA)=(A)A=AA,(AA)=AA3设A,B均为n阶对称矩阵，那么AB对称的充分必要条件是：AB=BA。 提示：充分性：证明：因为AB=BA(AB)T=BATTT=BA=ABTT必要性：证明：因为AB对称，AB=(AB)4设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且B证明：(B-1=BAT=BA，所以AB=BA-1-1=B，证明BAB是对称矩阵。AB)T=BA(BTT-1)T=BA(B)=B-1AB-1TT作业四 一填空题 1.函数f(x)=x+1x在区间_ Be x Cx 2 D3 x答案：B2. 需求函数q(p)=100´2A4´2-4p-0.4p，当p=10时，需求弹性为 -4pln2 B4ln2 C-4ln2 D-4´2ln2答案：C 3. 以下积分计算正确的选项是 Aò 1e-e2x-x-1dx=0 Bò1e+e212x-x-1dx=0Cò1xsinxdx=0 Dò1(x2+x3)d1x=0-1-答案：A4. 设线性方程组Am´nX=b有无穷多解的充分必要条件是 Ar(A)=r(A)<m Br(A)<n Cm<n Dr(A)=r(A)<n 答案：Dìx1+x2=a15. 设线性方程组ïíx2+x3=a2，那么方程组有解的充分必要条件是 ïîx1+2x2+x3=a3Aa1+a2+a3=0 Ba1-a2+a3=0 Ca1+a2-a3=0 D-a1+a2+a3=0 答案：C三、解答题1求解以下可别离变量的微分方程： (1) y¢=ex+y答案：dyxydx=eeòe-ydy=òexdx -e-y=ex+cx2dy=xedx3y2 答案：ò3y2dy=òxexdx y3=xex-ex+c2. 求解以下一阶线性微分方程： 1y¢-2x+1y=(x+1)3 答案：p(x)=-2x+1,q(x)=(x+1)3，代入公式y=eò22x+1dxéê(x+1)3e-òx+1dxdx+cùëòú=e2ln(x+1)ûò(x+1)3e-2ln(x+1)dx+ce2ln(x+1)ò(x+1)3(x+1)-2dx+cy=(x+1)2(12x2+x+c)2y¢-yx=2xsin2x1答案：p(x)=-1x,q(x)=2xsin2x ，代入公式锝y=eò1xdxéêò2xsin2xe-òxdxdx+cùëúû=elnxò2xsin2xe-lnxdx+c 13锝=x1éù=x2xsin2xdx+cêòúxëûòsin2xd2x+cy=x(-cos2x+c)3.求解以下微分方程的初值问题： (1) y¢=e2x-y,y(0)=0答案：12dydxx=ee122x-y òedy=yòedx，e2xy=12e2x+c，把y(0)=0代入e= 12e+c，C= 12，ey=e+(2)xy¢+y-ex=0,y(1)=0答案1：xy¢+11Xy=exx=e，P(X)=x1X,Q(X)=exxx，代入公式锝y=e-òxdxéeêòëxòxdxùdx+cúû-lnxéelnxù1éeùdx+c=xdx+cêòúêòúëxûxëxû，把y(1)=0代入y=1x(e+c)，C= -e , y=x1x(e-e)x4.求解以下线性方程组的一般解：+2x3-x4=0ìx1ï1í-x1+x2-3x3+2x4=0ï2x-x+5x-3x=0234î1ìx1=-2x3+x4答案：í其中x1,x2是自由未知量îx2=x3-x4é1êA=-1êêë201-12-35-1ùé1úê2®0úêê-3úûë001-12-11-1ùé1úê1®0úêê-1úûë00102-10-1ùú1 ú0úû所以，方程的一般解为ìx1=-2x3+x4其中x1,x2是自由未知量 íx=x-x34î2 14ì2x1-x2+x3+x4=1ï2íx1+2x2-x3+4x4=2ïx+7x-4x+11x=5234î1答案：(Aé2êb)=1êêë1-1271-1-41ùé1úê42(1),(2)2úêê115úûë112-17-11-42ùé1ú(2)+(1)´(-2)ê110ú(3)+(1)´(-1)êê115úûë042-55-13-34-772ùú-3ú3úûéé12-142ùé12-142ùê1ê3úê(3)+(2)ê -53-7-3úêú1-37ê0 0ú(2)´(-105)êê555úê0ëû0 ú(1)+(2)´(-2)ë00êûê0êëìïx1=-1x643-x+í5545ï3其中x1,x2是自由未知量îx732=5x3-5x4+55.当l为何值时，线性方程组 ìx1-x2-5x3+4x4=2ïï2x1-x2+3xí3-x4=1ï3x1-2x2-2x 3+3x4=3ïî7x1-5x2-9x3+10x4=l有解，并求一般解。é1-1-542ù-1-542ùê(Ab)=ê2-13-11ú(2)+(1)´(-2)é1êú113-9-3úúê3-2-233ú(3)+(1)´(-3)ê ê0113-9-3úêë7-5-910lú(4)+(1)´(-7)ûêë0226-18l-14úûé1-1-542ùé108-5-1ù答案：(3)+(2)´(-1)êê 113-9-3úú(1)+(2)êê 113-9-3úú (4)+(2)´(-2)ê00000úê00000úêë0 0l-8úûêë00 l-8úû.当l=8有解,ìxí1=-8x3+5x4-1îx2=-13x3+9x其中x1,x2是自由未知量4-35a,b为何值时，方程组150151-350 64ù55ú73ú55ú00úúúûìx1-x2-x3=1ïíx1+x2-2x3=2 ïx+3x+ax=b23î1答案：é1êA=1êêë1-113-1-2a1ùé1ú(2)+(1)´(-1)ê20ú(3)+(1)´(-1)êêbúûë0-124-1-1a+11ùé1úê10ú(3)+(2)´(-2)êêb-1úûë0-120-1-1a+31ùú1úb-3úû当a=-3且b¹3时，方程组无解；当a¹-3时，方程组有唯一解；当a=-3且b=3时，方程组无穷多解。 6求解以下经济应用问题：1设生产某种产品q个单位时的本钱函数为：C(q)=100+0.25q2+6q万元, 求：当q=10时的总本钱、平均本钱和边际本钱；当产量q为多少时，平均本钱最小？答案：C(10)=185万元- c(q)=c(q)q=100q+0.25q+6q, C(10)=18.5万元/单位c¢(q)=0.5q+6,C¢(10)=11万元/单位-c(q)=到最低。c(q)q=100q-¢+0.25q+6,c(q)=-100q2+0.25=0,当产量为20个单位时可使平均本钱达2.某厂生产某种产品q件时的总本钱函数为C(q)=20+4q+0.01q元，单位销售价格为，问产量为多少时可使利润到达最大？最大利润是多少 p=14-0.01q元/件答案： R(q)= 14q-0.01q, L(q)=R(q)-c(q)=10q-0.02q-20,222L¢(q)=10-0.04q=0当产量为250个单位时可使利润到达最大，且最大利润为L(250)=1230元。3投产某产品的固定本钱为36(万元)，且边际本钱为C¢(q)=2q+40(万元/百台)试求产量由4百台增至6百台时总本钱的增量，及产量为多少时，可使平均本钱到达最低 解：当产量由4百台增至6百台时，总本钱的增量为 答案： DC=C(6)-C(4)=ò64(2q+40)dq=(q+40q)264=100万元16c(q)=_òq_0(2q+40)dq+36=q+40q+36,c(q)=2c(q)q=q+40+36q,c¢(q)=1-36q2=0, 当x=6百台时可使平均本钱到达最低.4某产品的边际本钱C¢(q)=2元/件，固定本钱为0，边际收益R¢(q)=12-0.02q，求：产量为多少时利润最大？在最大利润产量的根底上再生产50件，利润将会发生什么变化？答案：L¢(q)=R¢(q)-c¢(q)=10-0.02q=0, 当产量为500件时，利润最大. DL=ò550500(10-0.02q)dq=(10q-0.01q)2550500=-25元即利润将减少25元. 17