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初中一次函数分段函数典例题 识别分段函数,解决收费问题 刘运明 李晓 一、话费中的分段函数 例1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示： （）月通话为100分钟时，应交话费 元； （）当x100时，求y与x之间的函数关系式； （3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？ 图1 二、水费中的分段函数 例2（广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图2. (1) 分别写出当0x15和x15时,y与x的函数关系式; (2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元? 图2 三、电费中分段函数 例3 (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0x100和x100时，y与x的函数关系式；（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准； （3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？ 图3正比例函数与一次函数构成的分段函数 例1某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共支付工资8000元 （1）完成此房屋装修共需多少天？ （2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？ 解析：设正比例函数的解析式为：y=k1x， 图象经过点（3， 14），所以，14= k×3，所以k1111=12，所以y=12 x，0x3 设一次函数的解析式（合作部分）是y=k2x+b，（k?0， kb，是常数） ? 1 因为图象经过点（3，11?k2?3?b?4 14），（5，? 2），得：? ?1 ，解得：k12?8,b?8 ? k2?5?b? 2 一次函数的表达式为y? 18x?18 ，所以，当y?1时，18x?1 8?1，解得x?9 完成此房屋装修共需9天。 （2）由正比例函数的解析式：y= 112 x，可知：甲的工作效率是1 12 ， 所以，甲9天完成的工作量是：9? 112?34，甲得到的工资是：3 4 ?8000?6000（元） 例2、一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的 1 4 ，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图2所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（ ）A20分钟 22分钟 24分钟 D26分钟 设正比例函数的解析式为：y=k11x，图象经过点（10， 4），所以，14= k，所以k11×101=40 ，所以y=11 40x，（0x10 由正比例函数解析式可知：甲的效率是40 ， 所以，步行前往考场需要的时间是：1÷1 40 =40（分钟）， 所以，设一次函数的解析式是y=k2x+b，（k?0，kb，是常数）， ? 1 因为图象经过点（10，11?k2 ?10?b?4 4），（12，2），得：? 1 解得：k1?2?8,b?1， ? k2?12?b? 2 一次函数的表达式为：y? 1318x?1，所以，乘出租车赶往考场用的时间是：x=4÷8 ， 解得：x=6分钟， 所以，先步行前往考场，后乘出租车赶往考场共用时间为：10+6=16分钟， 所以，他到达考场所花的时间比一直步行提前了：40-16=24（分钟），一次函数与一次函数构成的分段函数 例4、为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动 时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图5所示 （1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖 励小强家务劳动的？ （2）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？ 解：（1）从图象上可知道，小强父母给小强的每月基本生活费为150元 ； 当0x20时，y（元）是x（小时）的一次函数，不妨设y=k1x+150， 同时，图象过点（20，200），所以，200=k1×20+150， 解得：，所以，y=2.5x+150， 当20x时，y（元）是x（小时）的一次函数，不妨设y=k2x+b， 同时，图象过点（20，200），（30，240）， 所以，? ?20k2?b?200 ? 30k2?b?240， 解得：k2=4，b=120，所以，y=4x+120， 所以，如果小强每月家务劳动时间不超过20小时，每小时获奖励元； 如果小强每月家务劳动时间超过20小时，那么20小时按每小时元奖励，超过部分按每小时4元奖励 （2）从图象上可知道，小强工作20 小时最多收入为200元，而5月份得到的费用为250元， 大于200元，所以说明4月小强的工作时间一定超过20小时，所以应选择分段函数中当20x时的一段，所以，由题意得，4x?120?250， 解得： 答：当小强4月份家务劳动小时，5月份得到的费用为250元常数函数与一次函数构成的分段函数 例5、有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示 （1）观察图6，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是 元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为 元； （2）李女士买了一部 ，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？ 解析：1）从图6，可以看出，这是常数函数与一次函数构成的分段函数， 当0t100时，话费金额y=20； 当t100时，话费金额y是通话时间t的一次函数，不妨设y=kt+b， 且函数经过点（100，20）和（200，40）， 所以，?100k?b?20? 200k?b?40,解得：，b=0,所以，y=0.2t, 所以,甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是20元；当甲公司用户通话100 分钟以后，每分钟的通话费为元； 2)仔细观察表1,可以知道乙公司每月通话收费y=0.15t+2.5, 当0t100时，甲公司的话费金额y=20；乙公司通话收费y=0.15t+2.5=15+2.5=17.5, 所以,李女士如果月通话时间不超过100分钟，她选择乙通迅公司更合算； 因为，所以，t=500， 所以，当通话时间t=500分钟时，选择甲、乙两家公司哪一家都可以； 因为，所以，t500， 所以，当通话时间100t500分钟时，选择甲公司； 因为，所以，t500， 所以，当通话时间t500分钟时，选择乙公司； 2、三段型分段函数 例6 如图7，矩形ABCD中，AB1，AD2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿ABCM运动，则APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ） 解析： 1）、当0x1，y= 1 2×x×2=x；如图8所示； 2）、当1x3，y=1×2-11111 2×2×2-2×（x-1）×1-2×2 ×（3-x） =54?1 4 x；如图9所示； 3）当3x，y=12×（72-x）×2=7 2 -x；如图10所示； 所以C、D两个选项 是错误的，又因为函数y= 54?14x中的k=-1 4 0，所以直线整体应该是分布在二、一、四象限，所以选项B也是错误的，所以选A。 3、四段型分段函数 例7、星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩，从家出发2小时到达目的地，游玩3小时 后按原路以原速返回，小强离家4小时40分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，如图11，是他们离家的路程y(千米)与时间x(时)的函数图像。已知小强骑车的速度为15千米/时，妈妈驾车的速度为60千米/时。 (1)小强家与游玩地的距离是多少？ (2)妈妈出发多长时间与小强相遇？ 解析： 1） 当0x2，路程y(千米)是时间x(时)的正比例函数，且k=15，所以y=15x； 所以，当x=2时，y=2×15=30，所以，小强家与游玩地的距离是30千米。 2） 当2x5，路程y(千米)是时间x(时)的常数函数，所以y=30； 当5x，路程y(千米)是时间x(时)的一次函数，且k=-15，所以，设y=-15x+b， 又图象过点（5，30），所以30=-75+b，所以b=105，所以直线BD的解析式为：y=-15x+105； 仔细观察图象，可知道点C的坐标为（ 14 3 ，0），且k=60，所以，设y=60x+b， 所以0=280+b，所以b=-280，所以直线CD的解析式为：y=60x-280； 设妈妈出发t小时出与小强相遇，所以，60 t -280=-15t+105， 解得，t= 7715 ， 所以，妈妈出发经过： 7715-1473=15 小时与小强相遇。 4、五段型分段函数 例8、小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象. （1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？ （2）求小明出发两个半小时离家多远？ （3）求小明出发多长时间距家12千米？ 解：（1）由图象可知小明到达离家最远的地方需3小时；此时，他离家30千米 （2）设直线CD的解析式为y=k1x+b1,由C（2，15）、D（3，30）， 代入得：y=15x-15（2x3） 当时，（千米） 答：出发两个半小时，小明离家千米. （3）设过E、F两点的直线解析式为y=k2x+b2， 由E（4，30）、F（6，0），代入得y=-15x+90,(4x6)， 过A、B两点的直线解析为y=k3x， B（1，15）y=15x.(0x1) 分别令y=12，得x= 265（小时），x=45 （小时） 答：小明出发经过45小时或26 5 小时，离家12千米。