2017年考研数学一真题及答案解析.pdf
欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2017 年考研数学一真题及答案解析一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）若函数1 cos,0(),0 xxfxaxbx在0 x 处连续，则（）11()22()02AabBabCabD ab【答案】A【解析】0011 cos12limlim,()2xxxxfxaxaxa在0 x 处连续11.22baba 选 A.（2）设函数()fx可导，且()()0fxfx，则（）()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)AffB ffC ffD ff【答案】C【解析】()0()()0,(1)()0fxfxfxfx 或()0(2)()0fxfx，只有 C选项满足(1)且满足(2)，所以选 C。（3）函数22(,)fxyz xy z在点(1,2,0)处沿向量1,2,2u 的方向导数为（）()12()6()4()2ABCD【答案】D【解析】2(1,2,0)1 2 22,2,4,1,04,1,0,2.|u|333fugradf xy xzgradfgradfu选 D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v vt（单欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2位：/m s），虚线表示乙的速度曲线2()v vt，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t（单位：s），则（）0000()10()1520()25()25AtBtCtDt【答案】B【解析】从 0 到0t这段时间内甲乙的位移分别为001200(t),(t),ttv dt v dt则乙要追上甲，则0210(t)v(t)10tvdt，当025t时满足，故选 C.（5）设是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（）()()22TTTTAEBECED E不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项 A,由()0 TE得()0TEx有非零解，故0TE。即TE不可逆。选项 B,由()1Tr得T的特征值为 n-1个 0，1.故TE的特征值为 n-1个 1，2.故可逆。其它选项类似理解。（6）设矩阵2 0 02 1 01 0 00 2 1,0 2 0,0 2 00 0 10 0 10 0 2ABC,则（）(),(),AA CB CBA CB CC A CB CD A CB C与 相似与 相似与 相似与 不相似与 不相似与 相似与 不相似与 不相似【答案】B欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【解析】由()0E A可知 A的特征值为 2,2,1因为3(2)1r E A，A可相似对角化，且1 0 0 0 2 00 0 2A由0E B 可知 B特征值为 2,2,1.因为3(2)2r E B，B不可相似对角化，显然 C可相似对角化，A C，且 B不相似于 C（7）设,AB为随机概率，若0()1,0()1PAPB，则()()PABPAB的充分必要条件是（）()()()()()()()()()()()()APBAPBABPBAPBACPBAPBADPBAPBA【答案】A【解析】按照条件概率定义展开，则选项符合题意。（8）设12,(2)nX XX n为来自总体(,1)N的简单随机样本，记11niiXXn，则下列结论中不正确的是（）22221122221()()2()()()()nininiiAXBXXCXXD nX服从分布服从分布服从分布服从分布【答案】B【解析】221222122221(,1),(0,1)()(),(1)()(1)C1(,),()(0,1),()(1),()(0,2),(1),B2iniiniinXNXNXn AnSXXnX NnXNnXDnXXN正确，正确，正确,故 错误.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！4由于找不正确的结论，故 B符合题意。二、填空题：9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9)已知函数21()1fxx，则(3)(0)f=_【答案】(0)6f【解析】22220023211()()(1)11()()(1)2(21)(22)(0)0nnnnnnnnfxxxxxf xn nnxf(10)微分方程230yyy的通解为y _【答案】12(cos2sin2)xy e cx cx，（12,cc为任意常数）【解析】齐次特征方程为21,223 012i 故通解为12(cos2sin2)xe cx cx(11)若曲线积分221Lxdx aydyxy在区域22(,)|1Dxy xy内与路径无关，则a _【答案】1a【解析】22222222,(1)(1)PxyQaxyyxyxxy由积分与路径无关知1PQayx(12)幂级数111(1)nnnnx在区间(1,1)内的和函数()Sx_【答案】21()1sxx【解析】1112111(1)(1)1(1)nnnnnnxnxxxx（13）设矩阵101112011A，123,为线性无关的 3 维列向量组，则向量组123,AAA的秩为欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！_【答案】2【解析】由123,线性无关，可知矩阵123,可逆，故123123,rAAArArA 再由2rA 得123,2rAAA（14）设随机变量X的分布函数为4()0.5()0.5()2xFxx，其中()x为标准正态分布函数，则EX _【答案】2【解析】0.54()0.5()()22 xF xx，故0.540.5()()22xEXx x dxxdx()0 x x dxEX。令42xt，则4()2xxdx=24 2()814()8 t t dtt t dt因此()2EX.三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）设函数(,)fuv具有 2 阶连续偏导数，(,cos)xy fex，求0 xdydx，220 xdydx【答案】2111200(1,1),(1,1),xxdydyffdxdx【解析】012121002 22111221221222111220(,cos)(0)(1,1)sin(1,1)1(1,1)0(1,1)(sin)(sin)sincos(1,1)(1,1)(1,1)xxxxxxxxxxy fexyfdyf efxfffdxdyfefexfexfx f efxdxdyfffdx结论：102111220(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)xxdyfdxdyfffdx欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！6（16）（本题满分 10 分）求21limln 1nnkkknn【答案】14【解析】211122 102000111111limln(1)ln(1)ln(1)(ln(1)2214nnkkkxxxdxxdxx xdxnnx（17）（本题满分 10 分）已知函数()yx由方程33332 0 xyxy 确定，求()yx的极值【答案】极大值为(1)1y，极小值为(1)0y【解析】两边求导得：22333 30 xyyy（1）令0y得1x 对（1）式两边关于 x 求导得226633 0 xyyyyy（2）将1x 代入原题给的等式中，得1110 xxoryy，将1,1xy代入（2）得(1)1 0y 将1,0 xy 代入（2）得(1)2 0y 故1x 为极大值点，(1)1y；1x 为极小值点，(1)0y（18）（本题满分 10 分）设函数()fx在区间0,1上具有 2 阶导数，且0()(1)0,lim0 xfxfx，证明：()方程()0fx在区间(0,1)内至少存在一个实根；()方程2()()()0fxfxfx在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。【答案】【解析】（I）()fx二阶导数，0()(1)0,lim0 xfxfx欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！解：1）由于0()lim0 xfxx，根据极限的保号性得0,(0,)x 有()0fxx，即()0fx进而0(0,)0 xf 有又由于()fx二阶可导，所以()fx在0,1上必连续那么()fx在,1上连续，由()0,(1)0ff根据零点定理得：至少存在一点(,1)，使()0f，即得证（II）由（1）可知(0)0f，(0,1),()0f 使，令()()()Fxfxfx，则(0)()0ff由罗尔定理(0,),()0f 使，则(0)()()0FFF，对()Fx在(0,),(,)分别使用罗尔定理：12(0,),(,)且1212,(0,1),，使得12()()0FF，即2()()()()0F xfxf xfx在(0,1)至少有两个不同实根。得证。（19）（本题满分 10 分）设薄片型物体S是圆锥面22zxy被柱面22zx割下的有限部分，其上任一点的密度为2229 xyz。记圆锥面与柱面的交线为C()求C在xOy平面上的投影曲线的方程；()求S的M质量。【答案】64【解析】（1）由题设条件知，C的方程为2222222zxyxyxzx则C在xoy平面的方程为2220 xyxz（2）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！82222222:22cos2202(x,y,z)99221864ssDx yxmdSxyzdSxydxdydrdr （20）（本题满分 11 分）设 3 阶矩阵123,A有 3 个不同的特征值，且3122。()证明()2rA；()若123 ，求方程组Ax的通解。【答案】（I）略；（II）通解为1121,11kk R 【解析】（I）证明：由3122可得12320，即123,线性相关，因此，1230A，即 A的特征值必有 0。又因为 A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有 1 个 0，另外两个非 0.且由于 A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为1212,00()()2rAr （II）由（1）()2rA，知3()1rA，即0Ax 的基础解系只有 1 个解向量，由12320可得12311,22011A ，则0Ax 的基础解系为121 ，又123 ，即12311,1111A ，则Ax的一个特解为111，综上，Ax的通解为1121,11kk R 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！（21）（本题满分 11 分）设二次型2221231231 21 32 3(,)2282fxx xxxaxx xx xxx在正交变换X QY下的标准型221 12 2yy，求a的值及一个正交矩阵Q【答案】2212111326122;0,3636111326 aQfx Qyyy【解析】123(,)Tfxx xX AX，其中21411 14 1Aa由于123(,)Tfxx xX AX经正交变换后，得到的标准形为221 12 2yy，故214()2|011 1024 1rAAaa ，将2a 代入，满足()2rA，因此2a 符合题意，此时21411 14 12A，则123214|11103,0,6412E A ，由(3)0E Ax，可得 A的属于特征值-3的特征向量为1111 ；由(6)0E Ax，可得 A的属于特征值 6 的特征向量为2101 由(0)0E Ax，可得 A的属于特征值 0 的特征向量为3121欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！10令123,P ，则1360P AP，由 于123,彼此 正交，故 只需单 位化即可：1231111,1,1,1,0,1,1,2,1,326TTT，则12311132612036111326Q ，360TQ AQ221236xQyfyy（22）（本题满分 11 分）设随机变量,XY相互独立，且X的概率分布为1(0)(2)2PXPX，Y的概率密度为201()0,yyfy，其他()求()PY EY()求Z X Y 的概率密度。【答案】,014(I);(II)()2,239 ZzzPY EYf zzz 【解析】102302()()2324()()239()()()()(,0)(,2)(,0)(2,2)11()(2)22zEYyydyPY EY PYydyF ZPZ zPX Y zPX Y zXPX Y zXPY zXPY zXPY zPY z （1）当0,2 0zz，而0z，则()0zF Z 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！（2）当2 1,1,zz 即3z 时，()1zF Z（3）当01z 时，21()2zF Zz（4）当12z 时，1()2zF Z（5）当23z 时，21 1()(2)2 2zF Zz 所以综上22001,0121(),1221 1(2),232 21,3zzzzF Zzzzz 所以01()()2 23zzzzfZF Zzz （23）（本题满分 11 分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量是已知的，设n次测量结果12,nX XX相互独立且均服从正态分布2(,)N。该工程师记录的是n次测量的绝对误差(1,2,)iiZXin，利用12,nZ ZZ估计。()求iZ的概率密度；()利用一阶矩求的矩估计量【答案】2221212,0()();20,1();21()()=izZniiniiezIf zIIXnIIIXn其他矩估计最大似然估计：【解析】()()()()iziiF z PZz P Xz 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！12当0,()0izzF z当0,()()()()()iziiXzF zP z XzPz XzFz Fz 当0z 时，222222222112()()()()222iizzzzzxxf zF zfzfzeee 综上2222,0()20,0izzezf zz222222222002222012()22222()222zzizedzEZzedzzed令1111()nniiiiiEZZZZXnn由此可得的矩估计量112niiXn对总体X的n个样本12,nX XX，则相交的绝对误差的样本12,1,2.,niiZ ZZ Zx uin令其样本值为12,niiZ ZZ Zx u则对应的似然函数2122122,0()20,niiZnneZ ZZL其他两边取对数，当12,0nZ ZZ时22121ln()ln22niiLnZ令231ln()10niid LnZdu 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！所以，221111()nniiiiZXunn为所求的最大似然估计。
