2017年高考理科数学全国卷1(含答案)5.pdf

欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！理科数学试题 第 1 页（共 18 页）理科数学试题 第 2 页（共 18 页）绝密启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合|1Ax x,|31xBx,则 A.|0ABx xI B.AB RU C.|1ABx xU D.AB I 2.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A.14 B.8 C.12 D.4 3.设有下面四个命题 1p：若复数z满足1zR,则zR；2p：若复数z满足2z R,则zR；3p：若复数1z,2z满足12z z R,则12zz；4p：若复数zR,则z R.其中的真命题为 A.1p,3p B.1p,4p C.2p,3p D.2p,4p 4.记nS为等差数列na的前n项和若4524aa,648S,则na的公差为 A.1 B.2 C.4 D.8 5.函数()f x在(,)单调递减,且为奇函数若(1)1f,则满足1(2)1f x 的x的取值范围是 A.2,2 B.1,1 C.0,4 D.1,3 6.621(1)(1)xx展开式中2x的系数为 A.15 B.20 C.30 D35 7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为 2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 A.10 B.12 C.14 D.16 8.右面程序框图是为了求出满足321000nn的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入 A.1000A和1nn B.1000A和2nn C.1000A和1nn D.1000A和2nn 9.已知曲线1:cosCyx,22:sin(2)3Cyx,则下面结论正确的是 A.把1C上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _-在-此-卷-上-答-题-无-效-欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！理科数学试题 第 3 页（共 18 页）理科数学试题 第 4 页（共 18 页）个单位长度,得到曲线2C B.把1C上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12个单位长度,得到曲线2C C.把1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6个单位长度,得到曲线2C D.把1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12个单位长度,得到曲线2C 10.已知F为抛物线2:4C yx的焦点,过F作两条互相垂直的直线1l,2l,直线1l与C交于A、B两点,直线2l与C交于D、E两点,则|ABDE的最小值为 A.16 B.14 C.12 D.10 11.设x,y,z为正数,且235xyz,则 A.235xyz B.523zxy C.352yzx D.325yxz 12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是02,接下来的两项是02,12,再接下来的三项是02,12,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数:100N N 且该数列的前N项和为2 的整数幂.那么该款软件的激活码是 A.440 B.330 C.220 D.110 二、填空题：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13.已知向量a,b的夹角为60,|2a,|1b,则|2|ab .14.设x,y满足约束条件21,21,0,xyxyxy 则32zxy的最小值为 .15.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右顶点为A,以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若60MANo,则C的离心率为 .16.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位：3cm)的最大值为 .三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题：共 60 分。17.(12 分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC的面积为23sinaA.(1)求sinsinBC;(2)若6coscos1BC,3a,求ABC的周长.18.(12 分)如 图,在 四 棱 锥PABCD中,ABCD,且90BAPCDP.(1)证明：平面PAB 平面PAD；(2)若PAPDABDC,90APD,求二面角APBC的余弦值.19.(12 分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取 16个零件,并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！理科数学试题 第 5 页（共 18 页）理科数学试题 第 6 页（共 18 页）(1)假 设 生 产 状 态 正 常,记X表 示 一 天 内 抽 取 的 16 个 零 件 中 其 尺 寸 在(33)，之外的零件数,求(1)P X 及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(33)，之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查()试说明上述监控生产过程方法的合理性；()下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得,16119.9716iixx,161622221111()(16)0.2121616iiiisxxxx,其中ix为抽取的第i个零件的尺寸,i 1,2,16 用样本平均数x作为的估计值,用样本标准差s作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(33)，之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到 0.01)附：若随机变量Z服从正态分布2(,)N,则(33)0.997 4PZ.160.997 40.959 2,0.0080.09 20.(12 分)已知椭圆2222:1(0)xyCabab,四点11,1P（）,20,1P（）,331,2P（）,431,2P（）中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过2P点且与C相交于A,B两点.若直线2P A与直线2P B的斜率的和为1,证明：l过定点.21.(12 分)已知函数2()(2)xxf xaeaex(1)讨论()f x的单调性；(2)若()f x有两个零点,求a的取值范围.(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.选修 44：坐标系与参数方程(10 分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为3cos,sinxy(为参数),直线l的参数方程为4,1xatyt(t为参数).(1)若1a ,求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l的距离的最大值为17,求a.23.选修 45：不等式选讲(10 分)已知函数2()4f xxax,()|1|1|g xxx(1)当1a 时,求不等式f xg x（）（）的解集；(2)若不等式f xg x（）（）的解集包含1,1,求a的取值范围.-在-此-卷-上-答-题-无-效-毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _ 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！理科数学试题 第 7 页（共 18 页）理科数学试题 第 8 页（共 18 页）2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学答案 一、选择题 1.【答案】A【解析】本题考查集合的运算及简单不等式的求解.由31x,得0 x,所以|0Bx x,故|0ABx xI,故选A.2.【答案】B【解析】本题考查几何概型.设正方形的边长为2,则正方形的内切圆半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为2,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率2228P,故选B.3.【答案】B【解析】本题考查复数的计算和命题真假的判断.对于命题1p,设(,)zabi a bR,由2211abizabiabR,得0b,则zR成立,故命题1p正确；对于命题2p,设(,)zabi a bR,由222()2zababiR,得0a b g,则0a 或0b,复数z可能为实数或纯虚数,故命题2p错误；对于命题3p,设1(,)zabi a bR,2(c,d)zcdiR,由12()()zzacbdadbc iRg,得0adbc,不一定有12zz,故命题3p错误；对于命题4p,设(,)zabi a bR,则由zR,得0b,所以zaR成立,故命题4p正确.故选B.4.【答案】C【解析】本题考查等差数列基本量的计算与性质的综合应用.等差数列na中,166()482aa nS,则162516aaaa,又4524aa,所以42224168aad,得4d,故选C.5.【答案】D【解析】本题考查利用函数的性质求解不等式.已知函数()f x在(,)上为单调递减函 数,且 为 奇 函 数,则(1)(1)1ff,所 以 原 不 等 式 可 化 为(1)(x2)(1)fff,则121x,即13x,故选D.6.【答案】C【解析】本题考查二项式定理中项的系数问题.对于621(1)(1)xx,若要得到2x项,可以在21(1)x中选取 1,此时6(1)x中要选取含2x的项,则系数为26C；当在21(1)x中选取21x时,6(1)x中要选取含4x的项,即系数为46C,所以,展开式中2x项的系数为246630CC,故选 C.7.【答案】B【解析】本题考查立体几何中的三视图问题.由多面体的三视图还原直观图如图.该几何体由上方的三棱锥ABCE和下方的三棱柱11BCEBC A构成,其中面11CC A A和面11BB A A是梯形,则梯形的面积之和为(24)2122.故选B.8.【答案】D【解析】本题考查程序框图问题.本题求解的是满足321 000nn的最小偶数,可判断出循环结构为当型循环结构,即满足条件要执行循环体,不满足条件要输出结果,所以判断语句应为1 000A,另外,所求为满足不等式的偶数解,因此中语句应为2nn,故选D.9.【答案】D 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！理科数学试题 第 9 页（共 18 页）理科数学试题 第 10 页（共 18 页）【解析】本题考查三角函数的诱导公式及图象变换.首先利用诱导公式化异名为同名.22sin(2)cos(2)cos(2)cos2()332612yxxxx,由cosyx的图象得到cos2yx的图象,需将曲线1C上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变；由cos2yx的图象得到cos2()12yx的图象,需将cos2yx的图象上的各点向左平移12个单位长度,故选D.10.【答案】A【解析】如图所示,设直线AB的倾斜角为,过A,B分别作准线的垂线,垂足为1A,1B,则1|=|AFAA,1|=|BFBB,过点F向1AA引垂线FG,得|cos|AGAFpAFAF,则|=1cospAF,同理,|=1cospBF,则22|sinpABAFBF,即24|sinAB,因l与2l垂直,故直线DE的倾斜角为2或2,则24|cosDE,则222222444416|1sincossincossin 2(sin2)2ABDE,则易知|ABDE的最小值为 16.故选 A.11.【答案】D【解析】由235xyz,可设23535(2)(3)(5)xyzt,因为x,y,z为正数,所以1t,因为636228,6236339,所以323；因为105102232,510525,所 以525,所 以53523.分 别 作 出(2)xy,3(3)xy,5(5)xy 的图像,如图.则325yxz,故选 D.12.【答案】A【解 析】本 题 考 查 了 等 比 数 列 求 和、不 等 式 以 及 逻 辑 推 理 能 力.不 妨 设11(12)(122)(122)2ntm(其中m、n、tN,0tn),则有(1)12n nNt,因为100N,所以13n.由等比数列的前n项和公式可得1122212ntmn.因为13n,所以22nn,所以1222nnn,即1222nnn 因为1210t,所以12222mnnn,故1mn,因为112121tn,所以2223mnn,故1mn.所以1mn,从而有t 123n,因为13n,所以3t.当3t 时,95N,不合题意；当4t 时,440N,满足题意,故所求的最小值为440.二、填空题 13.【答案】2 3【解析】本题考查向量数量积的计算.由题意知1|cos602 112 gga bab,则2222|2|(2)|4|444412gabababa b.所以|2|2 3ab.14.【答案】5 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！理科数学试题 第 11 页（共 18 页）理科数学试题 第 12 页（共 18 页）【解析】本题考查利用线性规划求解最值.由约束条件作出可行域,如图阴影部分所示.平 移 直 线320 xy可 知,目标函 数32zxy在A点 处 取 最小 值,又 由21,21xyxy 解得1,1,xy 即(1,1)A,所以min3(1)2 15z .15.【答案】2 33【解析】本题考查双曲线的几何性质和圆的性质.不妨设点M、N在渐近线byxa上,如图,AMN为等边三角形,且|AMb,则A点到渐近线byxa的距离为32b,又将byxa变形为一般形式为0bxay,则(,0)A a到渐近线0bxay的距离22|baabdcab,所以32abbc,即32ac,所以双曲线离心率2 33cea.16.【答案】4 15【解析】由题意知折叠以后三棱锥的直观图如图所示.连接CO并延长交AB于H,连接DO、DH.则DO 平面ABC.令 cmOHx,则2 cmOCx,(5)cmDHx,得22(5)25 10 cmODxxx,2 3 cmAB.则2231 1(2 3 3)25 103 25 101552 cm3 2D ABCVxxxxxxxgggg,令2()1552f xxx,则22115(105)()15(252 )5252xxfxxxxxxg,则当(0,2)x时,()f x单调递增,当(2,2.5)x时,()f x单调递减,所以当2x 时,体积取最大值,为33454 15 cm.三、解答题 17.【答案】解：(1)由题设得21sin23sinaacBA,即1sin23sinacBA.由正弦定理得1sinsinsin23sinACBA.故2sinsin3BC.(2)由题设及(1)得1coscossinsin2BCBC,即1cos()2BC.所以23BC,故3A.由题设得21sin23sinabcAA,即8bc.由余弦定理得229bcbc,即2()39bcbc,得33bc.故ABC的周长为333.【解析】本题考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式及其综合应用.18.【答案】解：(1)由已知90BAPCDP o,得ABAP,CDPD.由于/ABCD,故ABPD,从而AB 平面PAD.又AB 平面PAB,所以平面PAB 平面PAD.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！理科数学试题 第 13 页（共 18 页）理科数学试题 第 14 页（共 18 页）(2)在平面PAD内作PFAD,垂足为F.由(1)可知,AB 平面PAD,故ABPF,可得PF 平面ABCD.以F为坐标原点,FAuuur的方向为x轴正方向,|ABuuu r为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.由(1)及已知可得2222(,0,0),(0,0,),(,1,0),(,1,0)2222APBC 所以2222(,1,),(2,0,0),(,0,),(0,1,0)2222PCCBPAAB u u uru u uru u uru u ur 设(,)nx y z是平面PCB的法向量,则 0,0,n PCn CBu u uru u ur即220,2220.xyzx 可取(0,1,2)n.设(,)mx y z是平面PAB的法向量,则 0,0,m PAm ABu u uru u ur即220,220.xzy 可取(1,0,1)m.则3cos,|3n mn mn m g.所以二面角APBC的余弦值为33.【解析】本题考查了立体几何中面面垂直的证明和二面角问题.19.【答案】(1)抽取的一个零件的尺寸在(3,3)之内的概率为 0.997 4,从而零件的尺寸在(3,3)之外的概率为 0.002 6,故(16,0.002 6)XB,因此 16(1)1(0)10.997 40.040 8P XP X .X的数学期望为16 0.00260.0416EX.(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(3,3)之外的概率只有 0.002 6,一天内抽取的 16 个零件中,出现尺寸在(3,3)之外的零件的概率只有 0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由9.97,0.212xs,得的估计值为9.97,的估计值为0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(3,3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔 除(3,3)之 外 的 数 据9.22,剩 下 数 据 的 平 均 数 为1(16 9.979.22)10.0215,因此的估计值为10.02.162221160.21216 9.971591.134iix,剔除(3,3)之外的数据 9.22,剩下数据的样本方差为,221(1591.1349.2215 10.02)0.00815,因此的估计值为0.0080.09.【解析】本题考查了统计与概率中的二项分布和正态分布的性质及应用.20.【答案】(1)由于34,P P两点关于y轴对称,故由题设知C经过34,P P两点.又由222211134abab知,C不经过点1P,所以点2P在C上.因此22211,131,4bab解得224,1.ab 故C的方程为2214xy.(2)设直线2P A与直线2P B的斜率分别为12,k k.如果l与x轴垂直,设:l xt,由题设知欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！理科数学试题 第 15 页（共 18 页）理科数学试题 第 16 页（共 18 页）0t,且|2t,可得,A B的坐标分别为2244(,),(,)22tttt.则22124242122ttkktt,得2t,不符合题设.从而可设:(1)l ykxm m.将ykxm代入2214xy得 222(41)8440kxkmxm.由题设可知2216(41)0km.设1122(,),(,)A x yB xy,则2121222844,4141kmmxxx xkk.而12121211yykkxx 121211kxmkxmxx 1212122(1)()kx xmxxx x,由题设121kk,故1212(21)(1)()0kx xmxx.即222448(21)(1)04141mkmkmkkgg.解得12mk.当且仅当1m 时,0,于是1:2ml yxm,即1122myx ,所以l过定点(2,1).【解析】解析本题考查了圆锥曲线的方程以及圆锥曲线与直线位置关系中的定点问题.21.【答 案】(1)()f x的 定 义 域 为(,),2()2(2)1xxfxaeae(1)(21)xxaee.(i)若0a,则()0fx,所以()f x在(,)单调递减.(ii)若0a,则由()0fx的lnxa.当(,ln)xa 时,()0fx；当(ln,)xa 时,()0fx 所以()f x在(,ln)a 单调递减,在(ln,)a单调递增.(2)(i)若0a,由(1)知,()f x至多有一个零点.(ii)若0a,由(1)知,当lnxa 时,()f x取 得 最 小 值,最 小 值 为1(ln)1lnfaaa.当1a 时,由于(ln)0fa,故()f x只有一个零点；当(1,)a时,由于11ln0aa,即(ln)0fa,故()f x没有零点；当(0,1)a时,11ln0aa,即(ln)0fa.又422(2)(2)2220faeaee,故()f x在(,ln)a 有一个零点.设正整数0n满足03ln(1)na,则00000000()(2)20nnnnf neaeanenn.由于3ln(1)lnaa,因此()f x在(ln,)a有一个零点.综上,a的取值范围为(0,1).【解析】本题考查了利用导数讨论函数的单调性和函数的零点问题.22.【答案】解：(1)曲线C的普通方程为.当1a 时,直线l的普通方程为430 xy.由22430,19xyxy解得3,0 xy或21,2524.25xy 从而C与l的交点坐标为21 24(3,0),(,)25 25.(2)直线l的普通方程为440 xya,故C上的点(3cos,sin)到l的距离为|3cos4sin4|17ad.当4a 时,d的最大值为917a,由题设得91717a,所以8a；当4a 时,d的最大值为117a,由题设得11717a,所以16a .2219xy欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！理科数学试题 第 17 页（共 18 页）理科数学试题 第 18 页（共 18 页）综上,8a 或16a .【解析】本题考查参数方程的应用.23.【答案】解：(1)当时,不等式()()f xg x等价于 2|1|1|40 xxxx .当1x 时,式化为2340 xx,无解；当11x 时,式化为220 xx,从而11x；当1x 时,式化为240 xx,从而11712x.所以()()f xg x的解集为117|12xx .(2)当 1,1x 时,()2g x.所以()()f xg x的解集包含 1,1,等价于当 1,1x 时()2f x.又()f x在 1,1的最小值必为(1)f 与(1)f之一,所以(1)2f 且(1)2f,得11a.所以a的取值范围为 1,1.【解析】本题考查参数方程的应用.1a