中考数学一元二次方程复习.docx

中考数学一元二次方程复习中考数学复习：一元二次方程与二次函数 中考数学专题4一元二次方程与二次函数 第一部分真题精讲 【例1】已知：关于的方程 求证：取任何实数时，方程总有实数根； 若二次函数的图象关于轴对称 求二次函数的解析式； 已知一次函数，证明：在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立； 在条件下，若二次函数的图象经过点，且在实数范围内，对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值，均成立，求二次函数的解析式 【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以须要探讨M=0和M0两种状况，然后利用根的判别式去推断。其次问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。其次问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，干脆相减即可。事实上这个一次函数恰好是抛物线的一条切线，只有一个公共点（1，0）。依据这个信息，第三问的函数假如要取不等式等号，也必需过该点。于是通过代点，将用只含a的表达式表示出来,再利用,构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果. 【解析】 解：（1）分两种状况： 当时，原方程化为，解得，（不要遗漏） 当，原方程有实数根. 当时，原方程为关于的一元二次方程， . 原方程有两个实数根.（假如上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考假如不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家留意就是了） 综上所述，取任何实数时，方程总有实数根. （2）关于的二次函数的图象关于轴对称， .（关于Y轴对称的二次函数一次项系数肯定为0） . 抛物线的解析式为. ，（推断大小干脆做差） （当且仅当时，等号成立）. （3）由知，当时，. 、的图象都经过.（很重要，要对那个等号有敏锐的感觉） 对于的同一个值， 的图象必经过. 又经过， .（奇妙的将表达式化成两点式，避开繁琐计算） 设. 对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立， ， . 又依据、的图象可得， .（a0时,顶点纵坐标就是函数的最小值） . . 而. 只有，解得. 抛物线的解析式为. 【例2】关于的一元二次方程. （1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）点是抛物线上的点，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点与点关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点的直线，若存在，恳求出直线的解析式；若不存在，请说明理由. 【思路分析】第一问判别式依旧要留意二次项系数不为零这一条件。其次问给点求解析式，比较简洁。值得关注的是第三问，要留意假如有一次函数和二次函数只有一个交点，则须要设直线y=kx+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以须要分状况探讨,不要遗漏任何一种可能. 【解析】： （1）由题意得 解得 解得 当且时，方程有两个不相等的实数根. （2）由题意得 解得（舍）(始终牢记二次项系数不为0) （3）抛物线的对称轴是 由题意得(关于对称轴对称的点的性质要驾驭) 与抛物线有且只有一个交点(这种状况考试中简单遗漏) 另设过点的直线（） 把代入，得， 整理得 有且只有一个交点， 解得 综上，与抛物线有且只有一个交点的直线的解析式有， 【例3】 已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点 （1）求的值； （2）推断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由； （3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值 【思路分析】拿到题目，许多同学毫不犹豫就干脆起先代点，然后建立二元方程组， 非常麻烦，计算量大，奢侈时间并且可能出错。但是细致看题，发觉P,Q纵坐标是一样的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴求出b。其次问依旧是判别式问题，比较简洁。第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生肯定要把握平移后解析式发生的改变，即左加右减(单独的x),上加下减(表达式整体)然后求出结果。 【解析】 (1)因为点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等 所以，抛物线对称轴，所以， （2）由（1）可知，关于的一元二次方程为=0 因为，=16-8=80 所以，方程有两个不同的实数根，分别是 ， （3）由（1）可知，抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位后的解析式为 若使抛物线的图象与轴无交点，只需无实数解即可 由=0，得 又是正整数，所以得最小值为2 【例4】已知抛物线，其中是常数 （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若，且抛物线与轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式 【思路分析】本题第一问较为简洁，用干脆求顶点的公式也可以算，但是假如奇妙的将a提出来,里面就是一个关于X的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节约了时间.其次问则须要把握抛物线与X轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其留意利用题中所给,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值. （1）依题意，得， 抛物线的顶点坐标为 （2）抛物线与轴交于整数点， 的根是整数 是整数 ， 是整数 是整数的完全平方数 ， (许多考生想不到这种改变而导致后面无从下手) 取1，4， 当时，；当时， 的值为2或 抛物线的解析式为或 【例5】已知：关于的一元二次方程（为实数） （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，求证：无论取何值，抛物线总过轴上的一个固定点； （3）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，把抛物线向右平移个单位长度，求平移后的解析式 【思路分析】本题第一问比较简洁，干脆判别式0就可以了，依旧不能遗漏的是m-10。其次问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y的取值.对于本题来说,干脆将抛物线中的m提出,对其进行因式分解得到y=(mx-x-1)(x+1)就可以看出当x=-1时,Y=0，而这一点恰是抛物线横过的X轴上固定点.假如想不到因式分解,由于本题固定点的特别性(在X轴上),也可以干脆用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如干脆因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为其次问中已求出另一根,所以干脆令其为整数即可,比较简洁. 解：（1） 方程有两个不相等的实数根, , 的取值范围是且. （2）证明：令得. . (这样做是因为已经知道判别式是,计算量比较小,假如根号内不是完全平方就须要留意了) 抛物线与轴的交点坐标为, 无论取何值，抛物线总过定点 （3）是整数只需是整数. 是整数，且, 当时，抛物线为 把它的图象向右平移个单位长度，得到的抛物线解析式为 【总结】中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容，但是考点无非也就是因式分解，判别式，对称轴，两根范围，平移以及直线与抛物线的交点问题。总体来说这类题目不难，但是须要计算仔细，尤其是求根公式的应用肯定要留意计算的精确性。这种题目大多包涵多个小问。第一问往往是考验判别式大于0，不要遗忘二次项系数为0或者不为0的状况。第2,3问基于函数或者方程对其他学问点进行考察，考生须要熟记对称轴，顶点坐标等多个公式的干脆应用。至于根与系数的关系（韦达定理）近年来中考已经尽量避开提及，虽不提倡但是应用了也不会扣分，考生还是尽量驾驭为好，在实际应用中能节约大量的时间。 其次部分发散思索 【思索1】已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数. （1）求的值； （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式； （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线 与此图象有两个公共点时，的取值范围. 【思路分析】去年中考原题,信任有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于0加上k为正整数的条件求k很简洁.其次问要分状况探讨当k取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是留意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较简单在中考中出现的问题,肯定要娴熟驾驭关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了改变,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题. 【思索2】已知：关于的一元二次方程 （1）若求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若12m40的整数，且方程有两个整数根，求的值 【思路分析】本题也是整根问题，但是不像上题，就三个值一个个试就可以试出来结果。本题给定一个比较大的区间,所以就须要干脆用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察. 【思索3】已知:关于x的一元一次方程kx=x+2的根为正实数，二次函数y=ax2-bx+kc （c0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1. （1）若方程的根为正整数，求整数k的值； （2）求代数式的值； （3）求证:关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0必有两个不相等的实数根. 【思路分析】本题有肯定难度，属于拉分题目。第一问还好，分类探讨K的取值即可。其次问则须要将k用a,b表示出来,然后代入代数式进行转化.第三问则比较繁琐,须要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件,从而无从下手导致失分. 【思索4】已知：关于的一元二次方程 （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根满意，求的值 【思路分析】这一题其次问有些同学想到干脆平方来去肯定值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会特别大,所以此题绕过韦达定理,干脆用根的判别式写出, 发觉都是关于m的一次表达式,做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解.这个题目告知我们高级方法不肯定简洁,有的时候最笨的方法也是最好的方法. 第三部分思索题解析 【思索1解析】 解：（1）由题意得， 为正整数， （2）当时，方程有一个根为零； 当时，方程无整数根； 当时，方程有两个非零的整数根 综上所述，和不合题意，舍去；符合题意 当时，二次函数为，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为 （3）设二次函数的图象与轴交于 两点，则， 依题意翻折后的图象如图所示 当直线经过点时，可得； 当直线经过点时，可得 由图象可知，符合题意的的取值范围为 【思索2解析】 证明： 方程有两个不相等的实数根。 （2） 方程有两个整数根，必需使且m为整数 又12m40， 59 m=24 【思索3解析】 解：由kx=x+2，得(k-1)x=2. 依题意k-10. . 方程的根为正整数，k为整数, k-1=1或k-1=2. k1=2,k2=3. （2）解：依题意，二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点（1，0）， 0=a-b+kc,kc=b-a. = （3）证明：方程的判别式为=(-b)2-4ac=b2-4ac. 由a0,c0,得ac0. (i)若ac0,则-4ac0.故=b2-4ac0.此时方程有两个不相等的实数 根. (ii)证法一:若ac0,由(2)知a-b+kc=0,故b=a+kc. =b2-4ac=(a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac=a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac =(a-kc)2+4ac(k-1). 方程kx=x+2的根为正实数， 方程(k-1)x=2的根为正实数. 由x0,20,得k-10. 4ac(k-1)0. (a-kc)20, =(a-kc)2+4ac(k-1)0.此时方程有两个不相等的实数根. 证法二:若ac0, 抛物线y=ax2-bx+kc与x轴有交点, 1=(-b)2-4akc=b2-4akc0. (b2-4ac)-(b2-4akc)=4ac(k-1). 由证法一知k-10, b2-4acb2-4akc0. =b2-4ac0.此时方程有两个不相等的实数根. 综上,方程有两个不相等的实数根. 【思索4解析】 （1）- 不论取何值，方程总有两个不相等实数根 （2）由原方程可得 - 又 - 经检验：符合题意 的值为4 一元二次方程复习教案 九年级数学第三章一元二次方程复习案人教新课标版 课型复习课授课时间年月日 执笔人审稿人总第课时 学习内容学习随记 一、复习目标： 1、能说出一元二次方程及其相关概念，； 2、能娴熟应用配方法、公式法、分解因式法解简洁的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。 3、能敏捷应用一元二次方程的学问解决相关问题，能依据详细问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培育学生分析问题、解决问题的意识和实力。 二、复习重难点： 重点：一元二次方程的解法和应用. 难点：应用一元二次方程解决实际问题的方法. 三、学问回顾: 1、一元二次方程的定义： 2、一元二次方程的常用解法有： 配方法的一般过程是怎样的？ 3、一元二次方程在生活中有哪些应用？请举例说明。 4、利用方程解决实际问题的关键是。 在解决实际问题的过程中，怎样推断求得的结果是否合理？请举例说明。 四、例题解析： 例1、填空 1、当m时，关于x的方程(m1)+5+mx=0是一元二次方程. 2、方程(m21)x2+(m1)x+1=0，当m时，是一元二次方程；当m时，是一元一次方程. 3、将一元二次方程x2-2x-2=0化成(x+a)2=b的形式是；此方程的根是. 4、用配方法解方程x2+8x+9=0时，应将方程变形为() A.(x+4)2=7B.(x+4)2=9 C.(x+4)2=25D.(x+4)2=7 学习内容学习随记 例2、解下列一元二次方程 (1)4x216x+15=0(用配方法解)(2)9x2=2x26x(用分解因式法解) (3)(x1)(2x)=1(选择适当的方法解) 例3、1、新竹文具店以16元/支的价格购进一批钢笔，依据市场调查，假如以20元/支的价格销售，每月可以售出200支；而这种钢笔的售价每上涨1元就少卖10支.现在商店店主希望销售该种钢笔月利润为1350元，则该种钢笔该如何涨价？此时店主该进货多少？ 2、如图，在RtACB中，C=90°，AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、B两点动身分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，它们的速度都是1m/s，几秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半？ 中考复习一元二次方程及其应用学案 课时8一元二次方程及其应用 班级_姓名_ 【课前热身】 1.下列方程中是一元二次方程的有（） 9x2=7x=83y(y-1)=y(3y+1) x2-2y+6=0(x2+1)=-x-1=0 AB.C.D. 2.把方程x(x-1)=2写成一般形式_. 3.方程x2-x=0的解是_; 方程的解是_; 方程x2-2x-3=0的解是_. 4写一个有实数根的一元二次方程_. 5某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率设平均每次降价的百分率为，可列方程为_ 【考点链接】 1只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的_方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式是().其中叫做二次项，_叫做一次项，叫做常数项；叫做二次项的系数，叫做一次项的系数,_叫做常数项. 3.一元二次方程的解法： （1）干脆开平方法：形如或的方程的根为_ （2）配方法 （3）公式法:方程，当_0时，x=_ （4）因式分解法：将方程的右边化为；将方程的左边化成两个一次因式的乘积；令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 4.关于x的一元二次方程的根的判别式为. （1）0一元二次方程有两个实数根, （2）=0一元二次方程有相等的实数根，即, （3）0一元二次方程实数根. 【典例精析】 例1.若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为_ 例2.解方 (1)(2) 例3.用换元法解方程. 例4.已知关于x的方程。 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k的值。 例5如图，要设计一幅寛20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的寛度比为2：3，假如要使全部彩所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ 【当堂反馈】 1解方程 (1)3x24x+10（2）xx+1=0 2已知和的半径分别是一元二次方程的两根，且则和的位置关系是 3三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（） A14B12C12或14D以上都不对 4若0是关于x的方程的解，求实数m的值，并探讨此方程解的状况。 5已知，且求证： 6某地区前年参与中考的人数为5万人，今年参与中考的人数为6.05万人. （1）这两年该地区参与中考人数的年平均增长率是多少？ （2）该地区3年来共有多少人参与中考？ 【课后精练】 1解方程： （1）x2-3x-1=0（2）（y-1）2+5（y-1）-14=0 2关于的方程有实数根，则整数的最大值是（） A6B7C8D9 3在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，假如要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为cm，那么满意的方程是（） AB CD 4.已知是方程的两根，且，则的值等于（） A5B.5C.-9D.9 5.某农户承包荒山种了44棵苹果树，现已进入第三年收获期。收获时先随意摘了5棵树上的苹果，称得每棵树摘得的苹果重量如下（单位：千克）35，35，34，39，37。 （1）依据以上数据估计，这年苹果总产量为多少千克？ （2）若市场上苹果售价为每千克5元，则这年该农户卖苹果收入将达到多少元？ （3）已知该农户第一年卖苹果收入为5500元，假设其次、第三年都比上年增长了一个相同的百分数，依据以上估计，其次年的总收入是多少元？ 6某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，假如人数不超过25人，人均旅游费用为1000元，假如人数超过25人，每增加1人人均旅游费降低20元，但人均旅游费不得低于700元，问该单位共去多少员工？ 第21页 共21页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页