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八年级数学重要复习资料：算术平方根八年级数学重要复习资料：立方根 八年级数学重要复习资料：立方根 学问要领：假如一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x3=a)，即3个x连续相乘等于a,那么这个数x就叫做a的立方根。立方根读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。(a等于全部数，包括0)假如被开方数还有指数，那么这个指数(必需是三能约去的)还可以和三次根号约去。求一个数a的立方根的运算叫做开立方。立方根的性质：正数的立方根是正数.负数的立方根是负数.0的立方根是0.一般地，假如一个数X的立方等于a，那么这个数X就叫做a的立方根(cuberoot，也叫做三次方根)。如2是8的立方根，-3分之2是-27分之8的立方根，0是0的立方根。立方和开立方运算，互为逆运算。互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。负数不能开平方，但能开立方。立方根如何与其他数作比较?做这两个数的立方作差比较被开方数(如三次根号3大于三次根号2)任何数(正数、负数、或零)的立方根假如存在的话，必定只有一个.平方根与立方根的区分与联系一、区分根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写;立方根的根指数为3，且不能省略不写。被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数;立方根中被开方数可以为任何数。结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果;立方根的结果只有一个。二、连系二者都是与乘方运算互为逆运算 学问点一：平方根的概念：若x2=a(a0)，则x叫做a的平方根，记作x=±，求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.开平方与平方互为逆运算.例1的平方根是().A.±9B.±3C.9D.3解:因为=9，所以的平方根就是9的平方根，即±=±3，故选择B.注:应现将化简后再求值.学问点二:算术平方根的概念:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作，0的算术平方根是0.例2若a0，则a2的算术平方根是().A.-aB.aC.±aD.±解:当a0时，=|a|=-a，故选择A.例3一个数的算术平方根是a，则比这个数大5的数是().A.a+5B.a-5C.a2+5D.a2-5解:一个数的算术平方根是a，则这个数是a2，故比这个数大5的数是a2+5，从而选择C.学问点三:平方根及算术平方根的性质:1.正数有两个平方根，它们互为相反数;2.0的平方根是0;3.负数没有平方根;4.一个非负数的算术平方根是非负数，即a0.例4若m的平方根是2a-3和a-12，求m的值.解:由正数有两个平方根，它们互为相反数知，(2a-3)+(a-12)=0，解得a=5，所以m=(2a-3)2=72=49.例5若2a-3和a-12是m的平方根，求的值.解析:本例与例4貌似一样，其实不然.因为若m的平方根是2a-3和a-12，得知2a-3和a-12互为相反数，而若2a-3和a-12是m的平方根，可得知2a-3和a-12相等或互为相反数.(1)当2a-3=a-12时，a=-9.所以2a-3=-18-3=-21，所以m=(-21)2=441.(2)当(2a-3)+(a-12)=0时，a=5，所以2a-3=10-3=7，所以m=72.故m=441或=49.例6(北京海淀区)已知实数x，y满意，求代数式的值.解析:因为|0，0又.所以解得当时，.学问点四:立方根的概念及性质:若x3=a，则x叫做a的立方根，记作x=.0的立方根是0，任何实数都有立方根，并且只有一个，同时立方根的符号与其本身符号相同.例7求4的立方根.解:因为4=所以.学问点五:利用计算器求平方根、立方根等.例8（陕西省）用计算器比较大小:（填、）解析:这类题是考查学生运用计算器过程的题目，要留意按键依次.故填. 八年级 数学 2.2 平方根 教案 课题：§2.2平方根(1)教学目标(一)教学学问点1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根.3.了解算术平方根的性质.(二)实力训练要求1.加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平.2.激励学生进行探究和沟通，培育他们的创新意识和合作精神.(三)情感与价值观要求1.让学生主动参加教学活动，培育他们对数学的新奇心和求知欲.2.训练学生动脑、动口、动手实力.教学重点了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.教学难点了解算术平方根的概念、性质.教学方法导学法.教具打算投影片两张：第一张：例题(记作§2.2.1A)；其次张：补充练习(记作§2.2.1B).教学过程.新课导入上节课我们学习了无理数、了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，驾驭了无理数的概念，知道有理数和无理数的区分是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.比如在a2=2中，2是有理数，而a是无理数.在前面我们学过若x2=a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们就来一起探讨这个问题.讲授新课师在讲新课之前，我们先回忆一下勾股定理，请同学们回答.生勾股定理就是在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.师下面请大家依据勾股定量，结合图形完成填空.投影片：(§2.2.1A) 依据下图填空x2=_y2=_z2=_w2=_ 师请大家思索后回答.生x2=2,y2=3,z2=4,w2=5.师请大家再分析一下，x，y，z，w中哪些是有理数？哪些是无理数？生x，y，w是无理数，z是有理数.师为什么呢？生因为没有任何整数或分数的平方等于2，3，5，所以x，y，z不是有理数，而22=4，所以z=2.师这位同学分析得特别正确，那么大家能不能把上图中的x，y，z，w表示出来呢？请大家细致看书后回答.生x=,y=,z=,w=.师若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x就叫做a的算术平方根.记为“”读作“根号a”.这就是算术平方根的定义.特殊地规定0的算术平方根是0，即=0.师下面我们依据算术平方根的定义求一些数的算术平方根.例1求下列各数的算术平方根：(1)900；(2)1；(3)；(4)14.解：(1)因为302=900，所以900的算术平方根是30，即=30；(2)因为12=1，所以1的算术平方根是1，即=1；(3)因为所以的算术平方根是，即；(4)14的算术平方根是.通过上面的例题，大家思索一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？生是通过平方来求的.师对.由此我们可以看出一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.而且我们在例题中的步骤实行语言叙述和符号表示相互补充的做法，目的是让大家明白算术平方根的概念，以及从计算中进一步体会一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.在以后的步骤中可以简化.例2自由下落的物体的高度h(米)与下落时间t(秒)的关系为h=4.9t2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面须要多长时间？解：将h=19.6代入公式h=4.9t2得t2=4,所以t=2(秒)即铁球到达地面须要2秒.师下面大家再视察一下刚才咱们求出的算术平方根有什么特点.生甲算术平方根是整数或分数，即为有理数.生乙不对，那是不是有理数？若是则是，分数还是整数？生丙因为没有任何一个整数或分数的平方等于14，所以不是有理数，而是无理数.师大家的分析都有道理，我提示一下从符号方面考虑.生甲噢，算术平方根是正数，如，2.生乙不对，还有零呢.正数的算术平方根是正数，零的算术平方根为零.师特别正确，那负数的算术平方根是否为负数呢？若(2)2=4.则=2对吗？或者=2对吗？生甲不对.因为算术平方根的定义是一个正数的x的平方等于a，这个正数x就叫做a的算术平方根，所以算术平方根不行能是负数.师由此看来，定义中的a和x都为正数，即算术平方根是非负数，负数没有算术平方根.用式子表示为(a0)为非负数，这是算术平方根的性质.课堂练习(一)P32随堂练习1、2题.(二)补充练习.投影片：(§2.2.1B)一、填空题1.若一个数的算术平方根是，则这个数是_.2.的算术平方根是_.3.正数_的平方为的算术平方根为_.4.(1.44)2的算术平方根为_.5.的算术平方根为_，=_. 二、求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：(1)(7.4)2；(2)(3.9)2；(3)2.25；(4)2. 答案：一、1.52.3.4.1.445.30.2.二、(1)(4).课时小结本节课学习了算术平方根的概念，理解了求一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算，求一个非零数的算术平方根，以及算术平方根的性质，即算术平方根是非负数.课后作业P33习题1、3.活动与探究1.一个正方形的面积变为原来的n倍时，它的边长变为原来的多少倍？2.一个正方形的面积为原来的100倍时，它的边长变为原来的多少倍？解：设原来的正方形边长为a，面积为S1，后来的正方形面积为S2.1.S1=a2，S2=na2(a)2后来的边长(a)为原来边长的倍.2.S1=a2，S2=100a2=(10a)2后来的边长10a为原来边长的10倍.板书设计一、算术平方根的定义算术平方根的性质二、举例三、练习四、作业 课题：§2.2平方根(2)教学目标(一)教学学问点1.了解平方根的概念、开平方的概念.2.明确算术平方根与平方根的区分与联系.3.进一步明确平方与开方是互为逆运算.(二)实力训练要求1.加强概念形成过程的教学，让学生不仅驾驭概念，而且知晓它的理论数据.2.提倡学生进行自学，并能与同学相互沟通与合作，变学会学问为会学学问.3.培育学生的求同和求异思维，能从相像的事物中视察到PX们的共同点和不同点.(三)情感与价值观要求通过学生在学习中相互帮助、相互合作，并能对不同概念进行区分，培育大家的团队精神，以及仔细细致的学习看法，为学生将来走上社会而做打算，使他们能在工作中保持严谨的看法，正确处理好人际关系，成为各方面的佼佼者.教学重点1.了解平方根、开平方的概念.2.了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根.3.了解平方根与算术平方根的区分与联系.教学难点1.平方根与算术平方根的区分与联系.2.负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算的缘由.教学方法探讨比较法.即主要靠大家探讨得出结论，同时对相像的概念进行比较.这样不仅能正确区分这些概念，还能使学生学得更扎实.教具打算投影片两张：第一张：平方根与算术平方根的联系与区分(记作§2.2.2A)；其次张：补充练习(记作§2.2.2B).教学过程.创设问题情境，引入新课上节课我们学习了算术平方根的概念，性质.知道若一个正数x的平方等于a，即x2=a.则x叫a的算术平方根，记作x=，而且也是非负数，比如正数22=4，则2叫4的算术平方根，4叫2的平方，但是(2)2=4，则2叫4的什么根呢？下面我们就来探讨这个问题.讲授新课1.平方根、开平方的概念师请大家先思索两个问题.(1)9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9，还有其他的数，它的平方也是9吗？(2)平方等于的数有几个？平方等于0.64的数呢？生3的平方也是9.的平方是，的平方也是，即平方等于的数有两个.生平方等于9的数有两个，平方等于的数有两个，由此可知平方等于0.64的数也有两个.师依据上一节课的内容，我们知道了是9的算术平方根，是的算术平方根，那么3，叫9、的什么根呢？请大家仔细看书后回答.生3，分别叫9、的平方根.师那是不是说3叫9的算术平方根，3也叫9的算术平方根，即9的算术平方根有一个是3，另一个是3呢？生不对.依据平方根的定义，一般地，假如一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个x就叫a的平方根(squareroot)，也叫二次方根，3和3的平方都等于9，由定义可知3和3都是9的平方根，即9的平方根有两个3和3，9的算术平方根只有一个是3.师由平方根和算术平方根的定义，大家能否找出它们有什么相同和不同之处呢？请分小组探讨后选代表回答.生平方根的定义中是有一个数x的平方等于a，则x叫a的平方根，x没有确定是正数还是负数或零；而算术平方根的定义中是有一个正数x的平方等于a，则x叫a的算术平方根，这里的x只能是正数.由此看来都有x2=a，这是它们的相同之处，而x的要求不同，这是它们的不同之处.师这位同学分析推断实力特棒，下面我再具体作一总结.投影片：(§2.2.2A)平方根与算术平方根的联系与区分联系：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有. (3)0的平方根，算术平方根都是0.区分：(1)定义不同：“假如一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫a的算术平方根”.(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.(3)表示法不同：正数a的平方根表示为±，正数a的算术平方根表示为.(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个.师什么叫开平方呢？生求一个数a的平方根的运算，叫开平方(extractionofsquareroot)，其中a叫被开方数.师我们共学了几种运算呢，这几种运算之间有怎样的联系呢？请大家探讨后回答.生我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算.师大家特别聪慧且爱动脑子，回答问题正确率极高，很值得表扬，希望你们能接着发扬下去.2.平方根的性质师请大家思索以下问题.(1)一个正数有几个平方根.(2)0有几个平方根?(3)负数呢？生第一个问题在前面已作过探讨，一个正数9有两个平方根3和3；因为只有零的平方为零，所以0有一个平方根是零.因为任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根，例如3没有平方根.师太精彩了.一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0有一个平方根是0，负数没有平方根.3.讲解例题例求下列各数的平方根.(1)64；(2)；(3)0.0004；(4)(25)2；(5)11.解：(1)因为(±8)2=64，所以64的平方根是±8，即±=±8；(2)因为(±)2=，所以的平方根是±，即±=±；(3)因为(±0.02)2=0.0004，所以0.0004的平方根是±0.02，即±=±0.02；(4)因为(±25)2=(25)2，所以(25)2的平方根是±25，即±=±25；(5)11的平方根是±.师请大家口述上题中各数的算术平方根.生64的算术平方根为8；的算术平方根为；0.0004的算术平方根为0.02；(25)2的算术平方根为25；11的算术平方根为.4.想一想(1)()2等于多少？()2等于多少？(2)()2等于多少？(3)对于正数a，()2等于多少？解：(1)()2=64；()2=；(2)()2=7.2；(3)()2=a(a0).课堂练习(一)随堂练习1.求下列各数的平方根1.44，0，8，441，196，104解：因为(±1.2)2=1.44，所以1.44的平方根是±1.2，即±=±1.2；因为02=0，所以0的平方根是0.即±=0；因为(±)2=8.所以8的平方根是±；因为，所以的平方根是±，即±；因为(±21)2=441，所以441的平方根是±21，即±=±21；因为(±14)2=196，所以196的平方根是±14，即±=±14；因为104=，(±)=，所以的平方根是±，即±=±=±=±.2.填空(1)25的平方根是_；(2)=_；(3)()2=_.解：(1)±5；(2)5；(3)5.(二)补充练习投影片：(§2.2.2B)1.推断下列各数是否有平方根？并说明理由.(1)(3)2；(2)0；(3)0.01；(4)52；(5)a2；(6)a22a+22.求下列各数的平方根.(1)121；(2)0.01；(3)2；(4)(13)2；(5)(4)3. 1.分析：一个数有没有平方根，就看它是不是负数，是负数就没有平方根；不是负数就有平方根.解：(1)(3)2=90(3)2有平方根(2)0的平方根是它本身0有平方根(3)0.0100.01没有平方根(4)52=25052没有平方根(5)当a=0时，a2=0，有平方根当a0时，a20，没有平方根.(6)a22a+2=(a1)2+1，无论a取何有理数，(a1)2+10a22a+2有平方根.说明：(1)负数没有平方根(2)第(4)小题简单犯错误，52=250.2.分析：依据平方与开平方互为逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根，其中2，(13)2=169，(4)3=64，把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂.解：(1)(±11)2=121121的平方根是±11即±=±11；(2)(±0.1)2=0.010.01的平方根是±0.1即±=±0.1；(3)2，(±)2=2的平方根是±即±=±；(4)(13)2=169，(±13)2=169(13)2的平方根是±13即±=±13；(5)(4)3=64，(±8)2=64(4)3的平方根是±8即±=±8.课时小结本节课学了如下内容.1.平方根的概念.2.平方根的性质.3.平方根与算术平方根的区分与联系.4.求某些非负数的算术平方根和平方根.课后作业习题2.4.活动与探究1.对于随意数a，肯定等于a吗？解：不肯定当a=2时，=2当a=时，当a=0时，=0当a=2时，=2当a时，=.综上所述，当a0时，=a当a0时，=a2.中的被开方数a在什么状况下有意义，()2等于什么？解：因为随意数的平方都是非负数，也就是非负数才有平方根，所以被开方数a必需是正数或零，即非负数时有意义.当a=1时，()2=12=1当a=4时，()2=22=4当a=时，当a=时，当a=0时，()2=0.所以()2=a(a0)板书设计§2.2平方根(2)一、平方根的定义；平方根的性质；平方根与算术；平方根的区分与联系.二、例题讲解三、练习四、小结五、作业 七年级数学下册算术平方根教学设计 七年级数学下册算术平方根教学设计 教材分析： 算术平方根是人教版七年级下第六章第一节，本节通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。通过对这一节课的学习，既可以让学生了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性,将为学生学习平方根奠定基础。引入算术平方根的学问,要借助详细的生活情境,这样才能加深对引入平方根学问必要性的相识.留意引导学生发觉被开方数与对应的算术平方根之间的关系。 本节课的起先就设置了一个问题情境，把这个问题情境抽象成数学问题就是已知正方形的面积求正方形的边长，这是典型的求算术平方根的问题。由于所选数字简洁，可见其设计目的，并不着眼于计算，而在于巩固概念。因此本节课的关键是抓住算术平方根概念的本质特征，逐层深化，多个角度展示。 【课标要求】 在实际情境中理解算术平方根的概念及求法，并能解决简洁的问题，体验数学与日常生活亲密相关，相识到很多实际问题可以借助数学方法来解决，并可以借助数学语言来表述和沟通。 本节突出概念形成过程的教学，首先列举学生熟识的例子，从生活问题中抽象出数学本质，引导学生视察、分析后归纳，然后提出留意问题，帮助学生把握概念的本质特征，再引导学生运用概念并刚好反馈。同时在概念的形成过程中，着意培育学生视察、分析、抽象、概括的实力。在本节课中，我利用学生的已有阅历，通过思索、探讨、探究等活动，使学生感受到做数学、用数学的价值。 【策略分析】 依据教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点、突破难点、抓住关键，本节课根据学生的认知规律，遵循老师为主导，学生为主体，训练为主线的原则，采纳“自主探究法”和“引导发觉法”为主，并依据学法指导自主性和差异性要求，让学生在探究过程中理解理解算术平方根的概念。 教学目标： 1、经验算术平方根概念的形成过程，会用根号表示算术平方根，并了解算术平方根的非负性。 2、会用平方运算求非负数的算术平方根，包括完全平方数的算术平方根和部分非完全平方数的算术平方根。 教学重点： 理解算术平方根的概念。 教学难点： 依据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。 教学过程： 一、创设情境，导入新课 学校要实行美术作品竞赛，小鸥想裁出一块面积为25dm2的正方形油布，画上自己的得意之作参与竞赛，这块正方形油布的边长应取多少？ （设计说明：用教材的问题作为导入材料,能够和学生的课前预习活动对接,可以提高学生参加教学活动的广度，从学生熟识的数学阅历入手，提出简洁的问题，激发学生自主学习的爱好和主动性，也自然引入新课。） 二、自主探究，发觉新知 自学教材40页内容，思索： 1、什么是算术平方根？怎样表示一个数的算术平方根？ 2、1的算术平方根是多少？9的算术平方根是多少？16呢？怎样求一个正数的算术平方根？正数的算术平方根的结果是什么数？ 3、0的算术平方根是多少？为什么？ 4、负数有算术平方根吗？为什么？ （师生活动：学生自学教材，结合探究提纲思索、练习、举例、探讨，老师做好板书打算后巡察检查学生自学状况，深化学生中间沟通，驾驭学情，为展示沟通做打算。） 【设计意图】学生通过自主学习，经验视察、比较、抽象、概括的思维过程，理解算术平方根概念的实质，建立初步的数感和符号感，提高学生抽象思维水平。 三、学生沟通，展示归纳 1、自主探究展示： （1）算术平方根的概念和表示方法。 （2）求1,9,16,0的算术平方根。 2、合作探究展示： 负数没有算术平方根，因为没有任何数的平方的结果是负数。 3、归纳展示： （1）一般地,假如一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。记作：，读作“根号a”，a叫做被开方数。 （2）0的算术平方根是0. 4、举例展示：（学生举出算术平方根的例子。） （师生活动：老师结合巡察检查，让中差生先展示，充分的暴露问题，再由中等生或优等生纠错、说理、补充、评价、修正） 【设计意图】通过展示沟通，培育学生的“自主、合作、探究”实力，让学生体验“互逆”的数学思想方法，积累数学活动阅历。 四、类比练习，巩固提升 例：求下列个数的算术平方根。 （1）36（2）（3）0.81 （师生活动：学生结合例题的格式解答，抽3名学生上讲台板书，其他学生自主解答，从解题的过程、结果、格式等方面进行评价、纠错、修订、完善，老师赐予适当的引导、点拨、评价。） 练习1：课本41页练习1题。 （师生活动：抽学生回答，其他同学评价、补充、修订。） 练习2：课本41页练习2题。 （师生活动：抽学生上黑板完成，发动学生相互评价补充，老师重点提示题，强调乘方的算术平方根的计算方法） 练习3：下列各数有算术平方根吗？假如有，求出来；假如没有，请说明理由. (1)64;(2)0.49;(3)-(-4)2(4) (5)0;(6);(7);(8). （师生活动：学生独立解答，学生代表板书，学生相互评价，老师重点提示题，加深对概念的理解和应用。） 练习4：下列运算正确的是（） (A)=(B)=0.3(C)=-3(D)=3. （师生活动：抽学生回答，发动其他同学评价、补充、修订。） 【设计意图】学生通过口答、计算、选择，加深对算术平方根的概念及性质的理解和应用，提高学生分析问题和解决问题的实力。 五、回顾反思，强化提升 1.这节课你学到了什么？ 2.你对大家有哪些建议或提示？ （师生活动：学生自主小结，同学相互补充评价，老师补充完善。） 【设计意图】引导学生从学问与技能、过程与方法、情感看法价值观的三维目标中总结自己的收获，把握本节课的核心内容，进一步体会互逆运算的数学思想方法。 六、当堂检测、学问过关 绩优学案32页巩固训练的1、2、3、4（1）（3）小题。 （师生活动：学生独立完成，老师手拿红笔进行选择性批阅，老师出示答案，学生自我评价，师生共同评价） 【设计意图】通过4测试题，再次加深学生对算术平方根的概念的理解和运用，刚好反馈学生对本节课学问的驾驭程度。 七、布置作业 1、必做题：习题6.1复习巩固第1、2题。 2、选做题：绩优学案32页典例探究3和巩固训练的5题。 【设计意图】体现课标理念：“人人都能获得良好的数学教化，不同的人在数学上得到不同的发展。”必做题面对全体，选做题使学有余力的同学有发展的空间。 第19页 共19页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页