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课题 第4讲 三角函数的图象与性质考点透析1三角函数的图象与性质正弦，余弦，正切函数的图象与性质B的图象与性质A知识整合 1 熟记的图象与性质。定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，对称性等。 2 能够把函数化简为的形式，注意辅助角公式的应用 会用五点法画的简图，令，则取 五个值。反之会用五点对应待定其中参数。 3 熟悉、对图象的影响及与变换的对应，注意先平移后伸缩与先伸缩后平移的联系与区别，可以用一个点的变换来了解整个图象的变换：左右平移本身加减，上下平移加减，横向伸缩到原来的倍本身乘以考点自测1（2010辽宁文数6）设,函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是 2（2010四川理数6）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 3（2010福建理数14）已知函数和的图象的对称轴完全相同。若，则的取值范围是 。 4（2009江苏卷4）函数（为常数， ）在闭区间上的图象如图所示，则= . 典型例题高考热点一：图象的对称性对称性是三角函数性质中的难点，可以利用三角函数图象及周期性，最值等其它性质结合解决例1（2010苏北四市期末9）已知函数，若，且在区间内有最大值，无最小值，则 【分析】1）表明函数的对称轴是；2）在有最大值，无最小值表明的周期大于。高考热点二：图象的伸缩平移变换三角函数图象的变换是高考填空题的命题对象，对的变换可以借助周期性解决，在平移变换时要注意是否提取系数例2（2010天津理数17）已知函数（1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（2）该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 【分析】：变换为有两种变换途径：由；由，注意两种变换的区别。高考热点三：图象与性质的综合运用三角函数图象与性质的综合运用是高考的热点，不管综合性多强，都立足于基本性质，所以对于的最值，奇偶性，单调性，周期性，对称轴，对称中心等必须熟练掌握例3.已知函数（，）为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为（1）求的值；（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间【分析】：是偶函数；也可由运用等式恒成立解决。误区分析：在上最小值-2 ，则的取值范围是 解：由得，即随堂练习1（2010浙江理数11）函数的最小正周期是_2（09湖南卷14）函数在区间上的最大值是 3（2010海门期中6）已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则时的单调递减区间是 4 在上是单调函数，若函数，则 5（2010苏州期末15）已知函数(1)求的最小正周期；（2）求的单调增区间；（3）当时，求的值域。6（2010山东文数17）已知函数（）的最小正周期为，（1）求的值； （2）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的最小值.学力测评1.函数的值域是 2.（2010苏南六校联考5）设函数,若对任意都有成立，则 的最小值为 3.（2009宁夏海南卷文14）函数图像如图所示，则 。4. 若对任意实数t，都有记，则 5. （2010苏北四市二模9）将函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g(x)的图象，若y=g(x)在上为增函数，则的最大值为6（2010重庆理数6）已知函数的部分图象如题（6）图所示，则 ， 7（2010江苏卷10）定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_。8.已知函数的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆上，则正数的值是 9（2010扬州期末15）已知函数求的最小正周期及对称中心；若，求的最大值和最小值.10（2010湖北理16）已知函数（）求函数的最小正周期；（）求函数的最大值，并求使取得最大值的的集合。11（2010成都二模17）若，其中，记函数，若函数的图象与直线（为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列。求的表达式及的值；将的图象向左平移个单位，再将得到的图象上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象；若函数，的图象与的图象的交点的横坐标成等比数列，试求的值。 12（2010南京期末15）设函数（1）求的最小正周期 （2）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值参考答案：第4讲三角函数的图象与性质考点自测1 2. 3. 4. 3典型例题例1.解：，为其对称轴，即，故点评：本题考查了三角函数的对称轴问题，注意解读题中在区间只有最大值，没有最小值的含义，很多同学可能可能会忽视。例2.解：（1）由，得所以函数的最小正周期为因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1 （2） 把的图象依次进行如下的变换： 把的图象向左平移个单位，得到函数的图象； 再把图象是各点的横坐标缩小到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象； 再把图象是各点的纵坐标伸长到原来的2倍 (横坐标不变)，得到函数的图象点评：本题第一问考查了如何运用辅助角公式求三角函数值域，第二问涉及到三角函数图象的平移，均属于基础题。上面关于图象平移的解法是先变，再变，此时并不需要提取，若先变再变，则一定要提取。例3.解：（1）因为为偶函数，所以对，恒成立，因此即，整理得因为，且，所以又因为，故所以由题意得，所以故因此（2）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象所以当（），即（）时，单调递减，因此的单调递减区间为（）点评：解决三角函数的奇偶性问题可以仿照普通函数的思路，运用等式恒成立解决，也可以直接令=来解决；对三角函数的单调性问题，一定要注意变量的符号是正还是负。误区分析分析：上述解答错误在于未讨论的范围，正确解答为：解：若，由得，即，若，得随堂练习1. 2. 3. 4. 5.解： 1），所以最小正周期为2）3）的值域为。6.解：1） 由 得2），所以当时，所以，故在上的最小值为1学力测评1. 2，2 2. 2 3.0 4.-1 5. 2 6. =2 = - 7. 8.29解： 的最小正周期为， 令，则，的对称中心为； 当时，的最小值为；当时，的最大值为。 10解：（1）的最小正周期为（2） 当时，. 取得最大值时， 对应的的集合为。11解： 故 由题意知周期为，故 将的图象向左平移个单位得到的图象，再将得到的图象点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到的图象 设的图象与的图象的三个交点的坐标分别为且，则，又结合图象的对称性有 由上述三式联立得，再代入 12解：（1）= = = 21世纪教育网 故的最小正周期为T = =8 （2)解法一： 在的图象上任取一点，它关于的对称点 .由题设条件，点在的图象上，从而21世纪教育网 = = 当时，因此在区间上的最大值为 21世纪教育网 解法二： 因区间关于的对称区间为，且与的图象关于x = 1对称，故在上的最大值为在上的最大值由（）知 当时，因此在上的最大值为21世纪教育网 .