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最小二乘估计教案高二数学教案：用样本估计总体教案一 高二数学教案：用样本估计总体教案一 教学目标： 学问与技能 （1） 通过实例体会分布的意义和作用。 （2）在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。 （3）通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，精确地做出总体估计。 过程与方法 通过对现实生活的探究，感知应用数学学问解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。 情感看法与价值观 通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的须要，相识到数学学问源于生活并指导生活的事实，体会数学学问与现实世界的联系。 重点与难点 重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。 难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布。 教学设想 【创设情境】 在的2022赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场竞赛得分的原始记录如下 甲运动员得分12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50 乙运动员得分8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33 请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？ 如何依据这些数据作出正确的推断呢？这就是我们这堂课要探讨、学习的主要内容用样本的频率分布估计总体分布（板出课题）。 【探究新知】 探究：P55 我国是世界上严峻缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，安排在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费。假如希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢 ？你认为，为了了较为合理地确定出这个标准，须要做哪些工作？（让学生绽开探讨） 为了制定一个较为合理的标准a，必需先了解全市居民日常用水量的分布状况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比状况等。因此采纳抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布状况。（如课本P56） 分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格变更数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息。表格则是通过变更数据的构成形式，为我们供应说明数据的新方式。 下面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律。可以让我们更清晰的看到整个样本数据的频率分布状况。 一频率分布的概念： 频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。其一般步骤为： （1）计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差 （2）确定组距与组数 （3）将数据分组 （4）列频率分布表 （5）画频率分布直方图 以课本P56制定居民用水标准问题为例，经过以上几个步骤画出频率分布直方图。（让学生自己动手作图） 频率分布直方图的特征： 1、从频率分布直方图可以清晰的看出数据分布的总体趋势。2、从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的详细数据信息就被抹掉了。 探究：同样一组数据，假如组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图和形态也会不同。不同的形态给人以不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的推断，分别以0.1和1为组距重新作图，然后谈谈你对图的印象？（把学生分成两大组进行，分别作出两种组距的图，然后组织同学们对所作图不同的看法进行沟通） 接下来请同学们思索下面这个问题： 思索：假如当地政府希望使85%以上的居民每月的用水量不超出标准，依据频率分布表2-2和频率分布直方图2.2-1，（见课本P57）你能对制定月用水量标准提出建议吗？（让学生细致视察表和图） 二频率分布折线图、总体密度曲线 1频率分布折线图的定义： 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图。 2总体密度曲线的定义： 在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们供应更加精细的信息。（见课本P60） 思索： 对于任何一个总体，它的密度曲线是不是肯定存在？为什么？ 对于任何一个总体，它的密度曲线是否可以被特别精确地画出来？为什么？ 事实上，尽管有些总体密度曲线是饿、客观存在的，但一般很难想函数图象那样精确地画出来，我们只能用样本的频率分布对它进行估计，一般来说，样本容量越大，这种估计就越精确 三茎叶图 茎叶图的概念： 当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即其次个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图。（见课本P6例子） 2茎叶图的特征： （）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，全部数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，便利记录与表示。 （）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只便利记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清楚。 【例题精析】 例1：下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高 (单位) (1)列出样本频率分布表(2)一画出频率分布直方图;(3)估计身高小于134的人数占总人数的百分比.。 例2：为了了解高一学生的体能状况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，其次小组频数为12. (1)其次小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2)若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？ (3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由。 【课堂精练】 P61 练习 1. 2. 3 【课堂小结】 1总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布。 2总体的分布分两种状况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图。 【评价设计】 1P72 习题2.2 A组 1、 2 平均数及其估计 第23课时平均数及其估计【学习导航】学习要求1知道平均数是对调查数据的一种简明的描述，它表示变量一切可能值的算术平均值，从而实现对总体牢靠度的估计，学习时细致体会它的实际意义。2娴熟驾驭平均数的计算公式。【课堂互动】自学评价案例某校高一（1）班同学在老师的布置下，用单摆进行测试，以检验重力加速度全班同学两人一组，在相同的条件下进行测试，得到下列试验数据（单位：m/s2）:9.629.549.789.9410.019.669.889.6810.329.769.459.999.819.569.789.729.939.949.659.799.429.689.709.849.90怎样利用这些数据对重力加速度进行估计？【分析】我们常用算术平均数（其中(=1，2，n)为n个试验数据）作为重力加速度的“最志向”的近似值它的依据是什么？处理试验数据的原则是使这个近似值与试验数据之间的离差最小设这个近似值为，那么它与n个试验值(=1，2，n)的离差分别为，由于上述离差有正有负，故不宜干脆相加可以考虑将各个离差的肯定值相加，探讨|+|+|取最小值时的值但由于含肯定值，运算不太便利，所以考虑离差的平方和，即()2+()2+()2，当此和最小时，对应的的值作为近似值，因为()2+()2+()2=，所以当时离差的平方和最小，故可用作为表示这个物理量的志向近似值，称其为这n个数据，的平均数或均值，一般记为用计算器操作，验证：求得重力加速度的最佳近似值为m/s2【小结】1个实数的和简记为2.已知个实数，则称为这个数据的平均数(average)或均值(mean)3.若取值为的频率分别为，则其平均数为 【精典范例】例1某校高一年级的甲、乙两个班级（均为50人）的语文测试成果如下（总分：150），试确定这次考试中，哪个班的语文成果更好一些。甲班1128610684100871129494991081009611511110410711910793921029384941059810294107901209895119104951081111051029811211299941009084114乙班116951099610694981051011151081001109810710710611112197107111114106104981089911010310411210111396871081061039710711412210110710495111111110 【分析】我们可用一组数据的平均数衡量这组数据的水平，因此，分别求得甲、乙两个班级的平均分即可。【解】用科学计算器分别求得甲班的平均分为101.1，乙班的平均分为105.4，故这次考试乙班成果要好于甲班。 例2下面是某校学生日睡眠时间的抽样频率分布表（单位：h），试估计该学生的日平均睡眠时间。睡眠时间人数频率50.05170.17330.33370.3760.0620.021001【分析】要确定这100名学生的平均睡眠时间，就必需计算其总睡眠时间，由于每组中的个体睡眠时间只是一个范围，可以用各组区间的组中值近似地表示。【解】解法1总睡眠时间约为故平均睡眠时间约为7.39h解法2求组中值与对应频率之积的和答估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39h 例3某单位年收入在10000到15000、15000到20000、20000到25000、25000到30000、30000到35000、35000到40000及40000到50000元之间的职工所占的比分别为10%，15%，20%，25%，15%，10%和5%，试估计该单位职工的平均年收入。【分析】上述比就是各组的频率【解】：估计该单位职工的平均年收入为26125（元）答：估计该单位人均年收入约为2125元。 例4学校对王老师与张老师的工作看法、教学成果及业务学习三个方面做了一个初步的评估，成果如下表：工作看法教学成果业务学习王老师989596张老师909998(1)假如以工作看法、教学成果及业务学习三个方面的平均分来计算他们的成果，作为评优的依据，你认为谁会被评为优秀？(2)假如三项成果的比例依次为20%、60%、20%来计算他们的成果，结果又会如何？【解】(1)王老师的平均分是张老师的均分是：王老师的平均分较高，评王老师为优秀(2)王老师的平均分是，张老师的平均分为张老师的得分高，评张老师为优秀 追踪训练1期中考试之后，班长算出了全班40个人数学成果的平均分为M，假如把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么为()AB1CD22从某校全体高考考生的数学成果中随意抽取20名考生的成果（单位：分，总分：150分）为102,105,131,95,83,121,140,100,97,96,95,121,124,135,106,109,110,101,98,97，试估计该校全体考生数学平均成果。解：样本的平均数为108.3估计该校全体考生数学平均成果为108分 3某老师出了一份共3道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%，50%，10%，10%。（1）若全班共10人，则平均分是多少？（2）若全班共20人，则平均分是多少？（3）假如该班人数未知，能求出该班的平均分吗？解：(1)=2(2)=2(3)可以 第8课时平均数及其估计分层训练1某运动员参与体操竞赛，当评委亮分后，其成果往往是先去掉一个最高分、去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为()(A)削减计算量(B)避开故障(C)剔除异样值(D)活跃赛场气氛2某房间中10个人平均身高为1.74米，身高为1.85米的第11人进入房间后，求11个人的平均身高。 3如上题，某房间中10个人平均身高为1.74米，求第11人身高为多少时，使得房间中全部11人的平均身高达到1.78米。 4从1,2，3,4，5,6这6个数中任取2个，求全部这样的两数之积的平均数。 5用甲、乙两台半自动车床加工同一型号的产品，各生产1000只产品中次品数分别用x和y表示。经过一段时间的视察，发觉x和y的频率分布如下表，问：哪一台车床生产的产品质量较好？x0123p0.70.10.10.1y0123p0.50.30.20 6某工厂一个月(30天)中的日产值如下：日产值(万元)5.15.25.35.45.55.65.7天数2368731试计算该厂这个月的平均日产值。 7证明： 8为了检验某自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆菌的个数，结果如下：大肠杆菌个数/升01234频数17202221则所取50升水中平均含有大肠杆菌_个/升估计全部消毒过的自来水中平均每升水的大肠杆菌的含量为_个。 拓展延长9有一个容量为100的某校毕业生起始月薪的样本，数据的分组及各组的频数如下： 起始月薪(百元) 频数7112623起始月薪(百元) 频数15846估计这100名毕业生起始月薪的平均值 10个体户李某经营一家快餐店，下面是快餐店全部工作人员8月份的工资表：李 某大 厨二 厨选购员杂 工服务生会 计3000450350400320320410(1)计算全部人员8月份的平均工资(2)计算出的平均工资能否反映打工人员这个月收入的一般水平？为什么？(3)去掉李某的工资后，再计算平均工资，这能代表打工人员当月的收入水平吗？ 高二数学必修三考点解析：用样本估计总体 高二数学必修三考点解析：用样本估计总体 1、数据的两个特征：集中趋势和波动性。集中趋势指的是数据的“一般水平”或曰“平均水平”，波动性指的是数据围绕“平均值”的改变状况。2、反映数据“大多数水平”(集中趋势)的量众数众数：即样本数据中频数最大(或频率最高)的数据。特点：可以不存在或不止一个;不受极端数据的影响，求法简洁;牢靠性差，如0，0，2，3，5这组数据中，众数是0，它很难真实反映这组数据的“平均水平”(集中趋势);众数在难以定义“平均数”或“中位数”时常用，故一般可用于统计非数字型数据，如“牛，羊，马，鱼，牛”这组数据中，众数是“牛”;众数在销售统计中常用3、反映数据“中间水平”(集中趋势)的量中位数中位数：把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字(或两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数。特点：中位数把样本数据分为两部分，一部分大于中位数，另一部分小于中位数;中位数不受少数几个极端值的影响;由于当样本数据为偶数个时，中位数等于中间两个数据的平均值，因此有时中位数未必在样本数据中.【同步练习题】1、某“中学生暑假环保小组”的同学，随机调查了“华蜜小区”10户家庭一周内运用环保便利袋的数量，数据如下：(单位：只)：6，5，7，8，7，5，8，10，5，9，利用上述数据估计该小区2000户家庭一周内须要环保便利袋约()A.2000只B.14000只C.21000只D.98000只2、在2022年的世界无烟日(5月31日)，小华学习小组为了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了100个成年人，结果其中有15个成年人吸烟.对于这个数据收集与处理的问题，下列说法正确的是()A.调查的方式是普查B.本地区只有85个成年人不吸烟C.样本是15个吸烟的成年人D.本地区约有15的成年人吸烟3、为了解一批节能灯的运用寿命，宜采纳的方式进行调查.(填：“全面调查”或“抽样调查”)4、为了了解某所初级中学学生对2022年6月1日起实施的“限塑令”是否知道，从该校全体学生1200名中，随机抽查了80名学生，结果显示有2名学生“不知道”.由此，估计该校全体学生中对“限塑令”约出名学生“不知道”. 函数的最大值和最小值教案1.本节教材的地位与作用本节主要探讨闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用,分两课时,这里是第一课时,它是在学生已经会求某些函数的最值,并且已经驾驭了性质:“假如f(x)是闭区间a,b上的连续函数,那么f(x)在闭区间a,b上有最大值和最小值”,以及会求可导函数的极值之后进行学习的,学好这一节,学生将会求更多的函数的最值,运用本节学问可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题.这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法,学好本节,对于进一步完善学生的学问结构,培育学生用数学的意识都具有极为重要的意义.2.教学重点会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值.3.教学难点高三年级学生虽然已经具有肯定的学问基础,但由于对求函数极值还不娴熟,特殊是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难,所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法.4.教学关键本节课突破难点的关键是:理解方程f(x)=0的解,包含有指定区间内全部可能的极值点.【教学目标】依据本节教材在中学数学学问体系中的地位和作用,结合学生已有的认知水平,制定本节如下的教学目标:1.学问和技能目标(1)理解函数的最值与极值的区分和联系.(2)进一步明确闭区间a,b上的连续函数f(x),在a,b上必有最大、最小值.(3)驾驭用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤.2.过程和方法目标(1)了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不肯定有最大、最小值.(2)理解闭区间上的连续函数最值存在的可能位置:极值点处或区间端点处.(3)会求闭区间上连续,开区间内可导的函数的最大、最小值.3.情感和价值目标(1)相识事物之间的的区分和联系.(2)培育学生视察事物的实力,能够自己发觉问题,分析问题并最终解决问题.(3)提高学生的数学实力,培育学生的创新精神、实践实力和理性精神.【教法选择】依据皮亚杰的建构主义相识论,学问是个体在与环境相互作用的过程中渐渐建构的结果,而相识则是起源于主客体之间的相互作用.本节课在帮助学生回顾确定了闭区间上的连续函数肯定存在最大值和最小值之后,引导学生通过视察闭区间内的连续函数的几个图象,自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置,进而探究出函数最大值、最小值求解的方法与步骤,并优化解题过程,让学生主动地获得学问,老师只是进行适当的引导,而不进行全部的灌输.为突出重点,突破难点,这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学.【学法指导】对于求函数的最值,高三学生已经具备了良好的学问基础,剩下的问题就是有没有一种更一般的方法,能运用于更多更困难函数的求最值问题?教学设计中留意激发起学生剧烈的求知欲望,使得他们能主动主动地视察、分析、归纳,以形成相识,参加到课堂活动中,充分发挥他们作为认知主体的作用.第16页 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