高一数学教案：《函数模型及其应用》教学设计（二）.docx

高一数学教案：函数模型及其应用教学设计（二）高一数学教案：函数模型及其应用教学设计（三） 高一数学教案：函数模型及其应用教学设计（三） 教学目标： 1学会通过数据拟合建立恰当的函数某型，并利用所得函数模型说明有关现象或对有关发展趋势进行预料； 2通过实例了解数据拟合的方法，进一步体会函数模型的广泛应用； 3进一步培育学生数学地分析问题、探究问题、解决问题的实力. 教学重点： 了解数据的拟合，感悟函数的应用. 教学难点： 通过数据拟合建立恰当函数模型. 教学方法： 讲授法，尝试法 教学过程： 一、情境问题 某工厂第一季度某产品月产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系模拟函数可以选用二次函数或函数yabxc（其中a，b，c为常数）已知4月份的产量为1.36万件，问：用以上哪个函数作为模拟函数好？为什么？ 二、学生活动 完成上述问题，并阅读课本第85页至第88页的内容，了解数据拟合的过程与方法 三、数学建构 1数据的拟合：数据拟合就是探讨变量之间的关系，并给出近似的数学表达式的一种方式 2在处理数据拟合(预料或限制)问题时，通常须要以下几个步骤： （1）依据原始数据，在屏幕直角坐标系中绘出散点图； （2）通过视察散点图，画出“最贴近”的曲线，即拟合曲线； （3）依据所学学问，设出拟合曲线的函数解析式直线型选一次函数 ykxb；对称型选二次函数yax2bxc；单调型选指数型函数yabxc或反比例型函数yxa(k)b （4）利用此函数解析式，依据条件对所给的问题进行预料和限制 四、数学应用 例1物体在常温下的温度改变可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度为T0，经过肯定时间t后的温度是T ，则TTa(T0Ta)，(0.5)t/h其中Ta表示环境温度，h称为半衰期 现有一杯用880C热水冲的速溶咖啡，放在24的房间中，假如咖啡降到40须要20min，那么降到35时，须要多长时间(结果精确到0.1) 例2在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)的定义为Mf(x)f(x+1)f(x)，某公司每月最多生长100台报警系统装置，生产x台（xN*)的收入函数为R(x)3000x20x2（单位：元），其成本函数为C(x)500x4000（单位：元），利润是收入与成本之差 （1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)； （2）利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否有相同的最大值？ 例3（见情境问题） 五、巩固练习 1一流的职业高尔夫选手约70杆即可打完十八洞，而初学者约160杆初学者打高尔夫球，通常是起先时进步较快，但进步到某个程度后就不易再出现大幅进步某球员从入门学起，他练习打高尔夫球的成果记录如图所示： 依据图中各点，请你从下列函数中：（1）yax2bxc；（2）yk·axb；（3） （1）依据上表数据，从下列函数中选取一个描述西红柿的种植成本y与上市时间t的改变关系； yat+b，yat2+bt+c，yabt，yalogbt （2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市时间及最低种植成本 简答： （1）由供应的数据描述西红柿的种植成本y与上市时间t之间的改变关系不行能是常函数，因此用yat+b，yabt，yalogbt中的任一个描述时都应有a不等于0，此时这三个函数均为单调函数，这与表中所给数据不符合，所以，选取二次函数yat2+bt+c进行描述. （2）略 六、要点归纳与方法小结 处理数据拟合(预料或限制)问题时的解题步骤. 七、作业 课本P104习题3.4（2）4 高一数学教案：函数模型的应用举例教学设计 高一数学教案：函数模型的应用举例教学设计 项目 内容 课题 函数模型的应用举例 （共2课时） 修改与创新 教学 目标 1.培育学生由实际问题转化为数学问题的建模实力，即依据实际问题进行信息综合列出函数解析式. 2.会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论，并依据数学结论解决实际问题. 3.通过学习函数基本模型的应用，体会实践与理论的关系，初步向学生渗透理论与实践的辩证关系. 教学重、 难点 依据实际问题分析建立数学模型和依据实际问题拟合推断数学模型，并依据数学模型解决实际问题. 教学 打算 教学过程 第1课时 函数模型的应用实例 导入新课 上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们进一步探讨不同函数模型的应用. 提出问题 我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张打算下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时. 设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15x40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15x40)，试求f(x)和g(x). A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市平安.核电站距城市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数=0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月. 把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域. 分析以上实例属于那种函数模型. 探讨结果：f(x)=5x(15x40). g(x)= y=5x2+(100x)2(10x90)； 分别属于一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型. 例1一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示. (1)求图3-2-2-1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2022km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象. 图3-2-2-1 活动：学生先思索或探讨，再回答.老师依据实际，可以提示引导： 图中横轴表示时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不断改变，汽车里程表读数skm与时间th的函数为分段函数. 解：(1)阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360. 阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km. (2)依据图，有 这个函数的图象如图3-2-2-2所示. 图3-2-2-2 变式训练 2022深圳高三模拟，理19电信局为了满意客户不同须要，设有A、B两种实惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如下图(图3-2-2-3)所示(其中MNCD). (1)分别求出方案A、B应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)； (2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A、B两种实惠方案？并说明理由. 图3-2-2-3 解：(1)先列出两种实惠方案所对应的函数解析式： (2)当f(x)=g(x)时,x-10=50, x=200.当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可; 当客户通话时间为0x200分钟，g(x)>f(x),故选择方案A； 当客户通话时间为x>200分钟时，g(x)点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当留意提高读图的实力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型. 例2人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.相识人口数量的改变规律，可以为有效限制人口增长供应依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,17661834)就提出了自然状态下的人口增长模型： y=y0ert, 其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率. 下表是19501959年我国的人口数据资料： 年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 (1)假如以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的详细人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； (2)假如按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？ 解：(1)设19511959年的人口增长率分别为r1,r2,r3,r9. 由55196(1+r1)=56300， 可得1951年的人口增长率为r10.0200. 同理,可得r20.0210，r30.0229，r40.0250，r50.0197，r60.0223，r70.0276， r80.0222，r90.0184. 于是，19501959年期间，我国人口的年平均增长率为 r=(r1+r2+r9)÷90.0221. 令y0=55196，则我国在19511959年期间的人口增长模型为 y=55196e0.0221t,tN. 依据表中的数据作出散点图，并作出函数y=55196e0.0221t(tN)的图象(图3-2-2-4). 图3-2-2-4 由图可以看出，所得模型与19501959年的实际人口数据基本吻合. (2)将y=130000代入y=55196e0.0221t, 由计算器可得t38.76. 所以，假如按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，假如不实行安排生育，而是让人口自然增长，今日我国将面临难以承受的人口压力. 变式训练 一种放射性元素,最初的质量为500g,按每年10%衰减. (1)求t年后,这种放射性元素养量的表达式; (2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期).(精确到0.1.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771) 解：(1)最初的质量为500g. 经过1年后,=500(110%)=500×0.91; 经过2年后,=500×0.9(110%)=500×0.92; 由此推知,t年后,=500×0.9t. (2)解方程500×0.9t=250,则0.9t=0.5, 所以 即这种放射性元素的半衰期约为6.6年. 知能训练 某电器公司生产A型电脑.1993年这种电脑每台平均生产成本为5000元,并以纯利润20%确定出厂价.从1994年起先,公司通过更新设备和加强管理,使生产成本逐年降低.到1997年,尽管A型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%,但却实现了50%纯利润的高效益. (1)求1997年每台A型电脑的生产成本; (2)以1993年的生产成本为基数,求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数.(精确到0.01,以下数据可供参考:=2.236,=2.449) 活动：学生先思索或探讨，再回答.老师依据实际，可以提示引导. 出厂价=单位商品的成本+单位商品的利润. 解：(1)设1997年每台电脑的生产成本为x元,依题意,得 x(1+50%)=5000×(1+20%)×80%,解得x=3200(元). (2)设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y,则依题意,得5000(1y)4=3200, 即1997年每台电脑的生产成本为3200元,1993年至1997年生产成本平均每年降低11%. 课堂小结 本节重点学习了函数模型的实例应用，包括一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等；另外还应关注函数方程不等式之间的相互关系. 活动：学生先思索或探讨，再回答.老师提示、点拨，刚好评价. 引导方法：从基本学问和基本技能两方面来总结. 作业 课本P107习题3.2A组5、6. 板书设计 教学反思 函数模型及其应用 函数模型及其应用（1）【本课重点】：能依据实际问题建立适当的数学模型，重点驾驭一次、二次、反比例以及分段函数模型；体会数学建模的基本思想【预习导引】：1、某地高山上温度从山脚起每上升100米降低0.7。已知山顶的温度是14.1，山脚的温度是26。则此山高米。2、某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，则生产台计算机的总成本C=_（万元），单位成本P=（万元），销售收入R=（万元），利润L=（万元），若要创利不低于100万元，则至少应生产这种计算机_(台)。3、某汽车运输公司购买了豪华型大客车投入客运，据市场分析，每辆客车的总利润y万元与营运年数x(x)的函数关系式为y=-x2+12x-25,则每辆客车营运年使其营运年平均利润最大。【典例练讲】：例1、某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km，慢车到终点须要16min，快车比慢车晚发3min，且行使10min后到达终点站。试分别写出两车所行路程关于慢车行使时间的函数关系式。两车在何时相遇？相遇时距始发站多远？ 例2、某地上年度电价为元，年用电量为1亿度，本年度安排将电价调至0.550.75元之间，经测算，若电价调至元，则本年度新增用电量亿度与(x-0.4)成反比例，又当x=0.65元时，y=0.8。（1）求y与x之间的函数关系式。（2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？收益=用电量×（实际电价-成本价） 例3、在经济学中，函数的边际函数定义为，某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差。(1)求利润函数及边际利润函数；(2)利润函数与边际利润函数是否具有相同的最大值？ 例4、经市场调查，某商品在过去100天内的销售和价格均为时间t（天）的函数，且销售量近似地满意g（t）=。前40天价格为，后60天价格为。试写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系，并求最大销售额。 【课后检测】：1、李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽搁了一段时间，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校，在课堂上，李老师请学生画出自行车行进路程S（km）与行驶时间t(h)的函数图象的示意图，你认为正确的是（）（A）（B）（C）（D）2、将进货单价为80元的商品400个，按90元每个售出能全部售出（未售出商品可以原价退货）。已知这种商品每个涨价一元，其销售量就削减20个，为了获得最大利润，售价应定为（）A、每个110元B、每个105元C、每个100元D、每个95元3、某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km,按1.8元/km收费。另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（）A、57kmB、911kmC、79kmD、35km4、假设某做广告的商品的销售收入R与广告费A之间的关系满意（为正常数），那么广告效应为，则当广告费A=_时，取得最大广告效应。5、某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km,火车10分钟行驶13km后，以120km/h匀速行驶，试写出火车行驶路程S(km)与匀速行驶的时间t（h）之间的函数关系式，并求出火车离开北京2h内行驶的路程。_6、某商场在促销期间规定：商场内全部商品按标价的80%出售，当顾客在商场内消费肯定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围200,400)400,500)500,700)700,900).获得奖券的金额（元）3060100130.依据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重实惠，例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的实惠额为400×0.2+30=110元设购买商品得到的实惠率。试问（1）购买一件标价为1000元的商品，实惠率是多少？（2）对于标价在500，800内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的实惠率？_7、电信局为了便利客户不同须要，设有两种实惠方案，这两种方案应付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示实线部分（注：图中）试问：（1）若通话时间为2小时，按方案各付话费多少元？（2）方案从500分钟后，每分钟收费多少元？（3）通话时间在什么范围内，方案才会比方案实惠？_ 高一数学函数模型的应用实例443.2.2函数模型的应用实例（）一、三维目标1.学问与技能能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.2.过程与方法进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简洁的分析评价.二、教学重点重点利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题.难点将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简洁的分析评价.三、学法与教学用具1.学法：自主学习和尝试，互动式探讨.2.教学用具：多媒体四、教学设想（一）创设情景，揭示课题.现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立.对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所供应的数据的吻合程度.（二）实例尝试，探求新知例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.1）写出速度关于时间的函数解析式；2）写出汽车行驶路程关于时间的函数关系式，并作图象；3）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；4）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2022km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数与时间的函数解析式，并作出相应的图象.本例所涉及的数学模型是确定的，须要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题.老师要引导学生从条块图象的独立性思索问题，把握函数模型的特征.留意培育学生的读图实力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式.例2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，相识人口数量的改变规律，可以为有效限制人口增长供应依据.早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年均增长率.下表是19501959年我国的人口数据资料：（单位：万人）年份19501951195219531954人数5519656300574825879660266年份19551956195719581959人数1）假如以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的详细人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；2）假如按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？探究以下问题：1）本例中所涉及的数量有哪些？2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型须要几个因素？3）依据表中数据如何确定函数模型？4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，依据检验结果对函数模型又应做出如何评价？如何依据确定的函数模型详细预料我国某个时间的人口数，用的是何种计算方法？本例的题型是利用给定的指数函数模型解决实际问题的一类问题，引导学生相识到确定详细函数模型的关键是确定两个参数与.完成数学模型的确定之后，因为计算较繁，可以借助计算器.在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度，并使学生相识到表格也是描述函数关系的一种形式.引导学生明确利用指数函数模型对人口增长状况的预料，实质上是通过求一个对数值来确定的近似值.课堂练习：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.探究以下问题：1）本例给出两种函数模型，如何依据已知数据确定它们？2）如何对所确定的函数模型进行评价？本例是不同函数的比较问题，要引导学生利用待定系数法确定详细的函数模型.引导学生相识到比较函数模型优劣的标准是4月份产量的吻合程度，这也是对函数模评价的依据.本例渗透了数学思想方法，要培育学生有意识地运用.三.归纳小结，发展思维.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法；1）依据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；2）利用待定系数法，确定详细函数模型；3）对所确定的函数模型进行适当的评价；4）依据实际问题对模型进行适当的修正.从以上各例体会到：依据收集到的数据，作出散点图，然后通过视察图象，推断问题适用的函数模型，借助计算器或计算机数据处理功能，利用待定系数法得出详细的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程.图象、表格和解析式都可能是函数对应关系的表现形式.在实际应用时，常常须要将函数对应关系的一种形式向另一种转化.第21页 共21页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页