高一数学函数的奇偶性教案.doc

一、教学内容：函数的奇偶性二、学习目标1、通过具体实例理解函数的奇偶性概念及其几何意义，学会运用函数图象理解和研究函数的性质，学会运用定义判断函数的奇偶性。2、通过设置问题情景培养观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；3、通过学习，进一步体会数形结合的思想，感受从特殊到一般的思维过程；通过函数图象的描绘及奇偶性的揭示，体会数学的对称美，和谐美。三、知识要点1、奇偶函数定义：1偶函数一般地，对于函数fx的定义域内的任意一个x，都有fx=fx，那么fx就叫做偶函数2奇函数一般地，对于函数fx的定义域内的任意一个x，都有fx=fx，那么fx就叫做奇函数注意：函数是奇函数或偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；奇偶函数的定义域的特征：关于原点对称。由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，那么x也一定是定义域内的一个自变量即定义域关于原点对称奇函数假设在时有定义，那么2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。3、具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称说明：一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于轴对称，那么这个函数是偶函数。4、判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定fx与fx的关系；作出相应结论：假设fx = fx 或 fxfx = 0，那么fx是偶函数；假设fx =fx 或 fxfx = 0，那么fx是奇函数5、判断函数的奇偶性也可以用以下性质在公共定义域内，1两个奇函数的和为奇函数；两个奇函数的积为偶函数2两个偶函数的和为偶函数；两个偶函数的积为偶函数3一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数4 函数f x与同奇或同偶【典型例题】一、判断函数的奇偶性例1、判断函数的奇偶性时易犯的错误1因无视定义域的特征致错1、；f x=x2+x+10错解：， f x是奇函数 f x=x2+x+10=x2+x+10=f x f x是偶函数分析：一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称正解：定义域，11，+关于原点不对称，f x是非奇非偶函数定义域，11，+， f x为非奇非偶函数2因缺乏变形意识或方法致错2、判断的奇偶性错解： 5x10， x0f x的定义域为，00，+，关于原点对称 ， f xf x，f xf x， f x是非奇非偶函数分析：因演变过程不到位导致错误，所以要注意进行恒等变形正解：，定义域为，00，+关于原点对称 f x是奇函数3 因无视f x=0致错3、判断函数的奇偶性错解：由得x=±2， f x的定义域为2，2，关于原点对称， f x为偶函数正解：f x的定义域为2，2，此时，f x=0， f x既是奇函数又是偶函数点评：函数f x=0 x0是f x既是奇函数又是偶函数的一个必要条件，任何一个关于原点对称的区间都可以作为解析式为f x=0 x0函数的定义域4因分段函数意义不清致错4、判断函数的奇偶性错解一： f x=x2+x1非奇非偶，f x=x2+x+1也非奇非偶，非奇非偶错解二：x>0时，f x=x2+x+1；x<0时，f x=x2+x1即f x=x2+x1， f xf x，f xf x， f x为非奇非偶函数分析：错解一中把fx看成了几个函数；错解二中把x<0误认为x的情形正解：函数f x的定义域为，00，+，关于原点对称当x<0时，x>0，f x=x2+x+1=x2x+1=x2+x1=f x；当x>0时，x<0f x=x2+x1=x2x1=x2+x+1=f x x，00，+时，f x=f x， f x是奇函数点评：分段函数奇偶性的判定应注意两点：1分段函数是一个函数，而不是几个函数；2确定分段函数的奇偶性，要注意分类讨论说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，假设不是，即可断定函数是非奇非偶函数例2、判断函数的奇偶性解法一：当时，那么；当x0时，x0，于是综上可知，在上，是奇函数解法二：画出函数的图象。当时，的图象是抛物线的右半支；当时，的图象是抛物线的左半支。显然，这两条曲线如下图关于原点对称，因此函数在上是奇函数规律：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据二、函数的奇偶性与单调性的关系例3、：函数在上是奇函数，而且在上是增函数，证明：在上也是增函数。证明：设，那么在上是增函数。，又在上是奇函数。，即所以，在上也是增函数。规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致例4、为上的奇函数，当时，当x<0时，求解：设，由于是奇函数，故，又，由有从而解析式为例5、1的定义域为，且，试判断的奇偶性。2函数的定义域为，且对于一切实数都有，试判断的奇偶性。解：1的定义域为，且 令式中为得： 解得，定义域为关于原点对称又是奇函数。2定义域关于原点对称，又令得那么，再令得， 所以，原函数为奇函数。本讲涉及的主要数学思想方法：1、通过函数奇偶性概念的形成过程，增强观察、归纳、抽象的能力；增强从特殊到一般的概括能力；渗透数形结合的数学思想方法2、理解奇偶函数的概念，培养观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。3、通过对问题的探究，进一步体会“形象思维与抽象思维相结合的思想方法【模拟试题】答题时间：50分钟一、选择题1、定义在R上的奇函数fx满足fx+2=fx，那么，f6的值为 A. 1B. 0C.1D. 2 2、假设奇函数fx在3，7上是增函数且最小值为5，那么fx在7，3上是 A. 增函数且最小值为5B. 增函数且最大值为5 C. 减函数且最小值为5D. 减函数且最大值为53、y=fx是定义在R上的偶函数，那么以下坐标所表示的点在y=fx的图象上的是 A. a，faB. a，faC. a，faD. a，fa4、yfx是奇函数，当x0时，fxx1x，当x0时，fx等于 A. x1xB. x1xC. x1xD. x1x*5、函数y=fx与y=gx的图象如下图，那么函数y=fx·gx的图象可能为 *6、设是上的任意函数，以下表达正确的选项是 A、是奇函数； B、是奇函数；C、是偶函数； D、是偶函数二、填空题7、设函数为奇函数，那么实数 。*8、函数y=f x满足f x+y+f xy=2f x f y xR，yR，且f 00，那么f x是_函数填奇、偶*9、函数，假设，那么的值为 。三、解答题10、：函数在上是奇函数，而且在上是增函数，证明：在上也是增函数。*11、为上的奇函数，当时，求的解析式。*12、函数；1判断函数的奇偶性；2假设在区间上是增函数，求实数的取值范围。试题答案一、选择题：1、B 解：根据题目所给的条件：fx+2=fx； f6=f4=f2=f0 又fx是奇函数，因此f0=f0，f0=0 因此f6=f0=02、B3、B解：当x=a时，fa=fay=fx为偶函数，点a，fa在y=fx的图象上选B4、B解：当x0时，fx=fx=x1x=x1x选B5、A6、C 解：A中：那么，即函数为偶函数；B中：，此时与的关系不能确定，即函数的奇偶性不确定；D中：，即函数为奇函数；C中，即函数为偶函数，应选择答案C二、填空题7、18、偶9、26 解：构造函数，那么一定是奇函数又， 因此 所以，即三、解答题10、证明：设，那么在上是增函数。，又在上是奇函数。，即所以，在上也是增函数。11、解：设，由于是奇函数，故，又，由有从而解析式为12、解：1当时，为偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数.2设，由得，；要使在区间上是增函数只需，即恒成立，那么