2013湖北省高考压轴卷数学（理）试题Word版含答案.doc

2013湖北省高考压轴卷理科数学本试卷共22题，其中第15、16题为选考题.满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1集合，则下列结论正确的是（ ）A BC D 2下列命题错误的是（ ）A命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为0，则” B若命题：，则：C中，是的充要条件D若为假命题，则、均为假命题3甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）A ， B ， C ， D ，4设实数成等差数列，实数成等比数列，则的取值范围是( )A B C D 5函数的部分图象如图所示，若，则等于( )A B C D 6如图，设是图中边长分别为1和2的矩形区域，是内位于函数图象下方的区域（阴影部分），从内随机取一个点，则点取自内的概率为（ ）A B C D 7过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，若，则的值为（ ）A4 B5 C D8已知直角三角形ABC，其三边分为a,b,c,（a>b>c）。分别以三角形的a边，b边，c边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为S1，S2，S3和V1,V2,V3.则它们的关系为 ( ) A.S>S>S, V>V>V B.S<S<S, V<V<V C.S>S>S, V=V=V D. S<S<S, V=V=V 9若双曲线的左、右顶点分别为，点是第一象限内双曲线上的点若直线的倾斜角分别为，且，那么的值是（ ）A B C D 10已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且满足下列条件：的值域为，且；对任意不同的，都有那么，关于的方程在上根的情况是（ ）A没有实数根 B有且只有一个实数根C恰有两个不同的实数根 D 有无数个不同的实数根二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分 请将答案填在题中横线上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（1114题）11已知复数（为虚数单位），则复数的共轭复数的虚部为_12已知为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中的常数项是_（用数字作答）13下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是_14由曲线围成的图形的面积为_。 （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答.如果全选，则按第15题作答结果计分）15（选修：几何证明选讲） 如图，内接于圆，直线切圆于点， 交于点若，则的长为_16（选修：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为（为参数），若圆与圆外切，则实数_三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）已知向量，设函数（1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值；（2）已知在中，内角的对边分别为，其中为锐角，又，求的值18（本小题满分12分）已知等比数列满足：，且是的等差中项（1）求数列的通项公式；（2）若，求使成立的正整数的最小值19（本小题满分12分）如图甲，在等腰中，分别是，边的中点，现将沿翻折成直二面角，如图乙图 甲图 乙（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（2）求二面角的余弦值；（3）在线段上是否存在一点，使？证明你的结论20（本小题满分12分）我省某示范性高中为推进新课程改革，满足不同层次学生的要求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座概率如下表：（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为，求随机变量的分布列和数学期望21（本小题满分13分）如图，已知、是抛物线：上的两个不同的点，且，直线是线段的垂直平分线设椭圆的方程为（1）当、在上移动时，求直线的斜率的取值范围；（2）已知直线与抛物线交于、两点，与椭圆交于、两点，设线段的中点为，线段的中点为，若，求椭圆的离心率的取值范围22（本小题满分14分）已知函数，（为自然对数的底数）（1）求函数在区间上的值域；（2）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中）总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是否具备性质“”，并说明理由 HTTP:/WX.JTYJY.COM/2013湖北省高考压轴卷理科数学答案1D 【解析】：由已知条件可得，则，故选D2D 【解析】：由原命题与逆否命题的关系可知A正确；由特称命题的否定可知B正确；由正弦定理和三角形边角关系可知C正确；若为假命题，则、有可能一真一假，未必均为假命题，由此可知D错误故选D3C 【解析】：由题意可知，；，则，故选C4B 【解析】：由于实数成等差数列，则；由于实数成等比数列，则，所以，利用基本不等式易得，当同号时，；当异号时，故选B5A 【解析】：，过作轴，垂足为，故选A6C 【解析】：将与图象交点记为，则，阴影部分的面积，而的面积为，所求概率故选C7A 【解析】：据题意设由，则联立消去得，则，即，即，解得或（舍去）故选A8B【解析】： 则选B9D 【解析】：双曲线的方程为，双曲线的左顶点为，右顶点为设，得直线的斜率，直线的斜率，是双曲线上的点，得，代人式得直线的倾斜角分别为，所以，是第一象限内双曲线上的点，易知均为锐角，解得故选D10B 【解析】：令，则，所以又因为，都有，则，所以，所以函数在上单调递减，故函数在上只有一个零点，即方程在上有且只有一个实数根故选B二、填空题：11 【解析】：，故其共轭复数为，则复数的共轭复数的虚部为12 【解析】：第1次循环：；第2次循环：；第3次循环：；第4次循环：，不满足条件“”，故跳出循环，输出，其通项为（），令，得，故常数项为13 【解析】：由三视图可知几何体为组合体，上方是一个卧式直三棱柱，三棱柱的底面是其中一边长为，该边上的 高为的三角形，侧棱长为；下方是一个圆柱，其底面半径为1，母线长为2，故其体积14【解析】：围成的图形如图，面积为15【解析】：由题知，得，又是公共角，所以，所以，又，所以，所以16 【解析】：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，由得，所以，即，即，其圆心为，半径将圆的参数方程化为普通方程得，其圆心为，半径因为两圆外切，所以，解得三、解答题：17（1）函数 （3分），即函数在区间上的最大值为2 （6分）（2），为锐角，又，为锐角， （9分）由正弦定理得，又， （10分）而，由正弦定理得， （12分）18（1）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有由及，得或当时，式不成立；当时，符合题意把代入得，所以（6分）（2），-得（10分）由成立，得，即又当时，；当时，故使成立的正整数的最小值为5（12分）19（1）如题图乙，在中，由于点、分别是，的中点，又平面，平面，平面（4分）（2）由题意易知、两两互相垂直，以点为坐标原点，分别以直线、为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系设，则，则，（5分）取平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，又，则即令，得（6分），（7分）即二面角的余弦值为（8分）（3）假设在线段上存在一点，使不妨设，由,(9分)由（2）得，即，解得（11分），在线段上不存在一点，使（12分）20（1）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件，则（4分）（2）的所有可能取值为；（5分）；（6分）；（7分）；（8分）；（9分）（10分）所以，随机变量的分布列如下：（11分）故（12分）21（1）由题意知，直线的斜率为，又，直线的斜率为 （2分），由，得，即（当时，等号成立），、是不同的两点，即，即或直线的斜率的取值范围为 （4分）（2）由题意易得，线段的中点坐标为直线是线段的垂直平分线，直线的方程为， （5分）又，即，直线的方程为 （6分）将直线的方程分别代入抛物线方程和椭圆方程并整理得， 易知方程的判别式，方程的判别式，由（1）易知，又，恒成立设，则，线段的中点的坐标为，又，线段的中点的坐标为 （9分），由得，即， （10分），由题易知，椭圆的离心率，故椭圆的离心率的取值范围为 （13分）22（1），在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，函数在区间上的值域为 （3分）（2）令，则由（1）可知，原问题等价于：对任意的，在上总有两个不同的实根，故在上不可能是单调函数，当时，在区间上单调递增，不合题意；当时，在区间上单调递减，不合题意；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增注意到此时，故只需的最小值小于等于0即可而由解得，这与矛盾综上，满足条件的不存在 （8分）（3）设函数具备性质“”，即在点处的切线斜率等于，不妨设，则，而在点处的切线斜率为，故有，即 （10分）令，则上式化为令，则由可知在上单调递增，故，即方程无解函数不具备性质“” （14分）