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概率统计例题第一章随机事务及其概率本章介绍概率的基础概念与理论，重点内容是：（1）古典概型、几何概型和贝努里概型的概率计算； （2）利用事务的关系与独立性进行概率计算； （3）利用加法定理、条件概率公式、乘法定理、全概率公式及贝叶斯公式进行概率计算例题分析本章的重点是事务概率的计算：1 用古典概型，几何概型的定义计算概率 例随机地将 15 名新生平均安排到三个班级中去，这 15 名新生中有 3 名优秀生，求：（1）每个班各有一名优秀生的概率； （2）3 名优秀生分在同一个班的概率。解将 15 名新生平均安排到三个班级中的总分法数为： 55510515C C C n =（1）事务 A =将 15 名新生平均安排到三个班级中去，且每个班各有一名优秀生，完成事务 A 可分两步，先把 3 名优秀生各班分 1 名共有 ! 3 种分法，再把 3 名新生平均安排到三个班级共有4448412C C C 种分法，由乘法原理知中完成事务 A 的方法数即事务 A 包含的基本领件数4448412! 3 C C C m A = 。故 9125 ! 3) (555105154448412= = =C C CC C CnmA PA。(2)事务 B =将 15 名新生平均安排到三个班级中去，其中 3 名优秀生分在同一个班。完成事务 B 可分两步，先把 3 名优秀生分在同一个班，共有 3 种分法，对于这每一种分法，其余 12 名非优秀生的分法（一个班 2 名，另两个班各 5 名）共有55510212C C C 种分法，由乘法原理知中完成事务 B 的方法数即事务 B 包含的基本领件数555102123 C C C m B = 。故 916 3) (5551051555510212= = =C C CC C CnmB PB例（852）从 10 , , 2 , 1 L 共 10 个数中，每次取一个数，假定每个数被抽取的可能性都相等，取后放回，先后取出 7 个数，试求下列各事务的概率； 1&ordm;= A 7 个数中不含 1 和 10；2&ordm;= B 数 10 恰好出现 2 次解由于是有放回地抽取，故基本领件总数为 107 ，因此 1&ordm;777)54(108) ( = = A P 2&ordm;75 27109) (CB P =例在区间（0，1）中随机地取出两个数，则事务两数之和小于56的概率为。解如图 1.2 知 25171)54(2112=-= P2利用概率的基本性质计算事务概率 例（859）设 B A, 为随机事务， 3 . 0 ) ( , 7 . 0 ) ( = - = B A P A P ，则 ) (AB P 解因为 ) ( ) ( ) ( ), ( 1 ) ( B A P AB P A P AB P AB P + = - = ，所以 6 . 0 3 . 0 7 . 0 1 ) ( ) ( 1 ) ( = + - = + - = B A P A P AB P例（860）设事务 A 与 B 相互独立且互不相容，则 min = ) ( ), ( ( B P A P 。解由 A 与 B 相互独立知 ) ( ) ( ) ( B P A P AB P = ，又因 A 与 B 互不相容，故 0 ) ( = AB P ，所以 0 ) ( ) ( ) ( = = AB P B P A P因此， min 0 ) ( ), ( ( = B P A P3利用条件概率、乘法公式进行计算 例（868）某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为 310，其次次落地打破的概率为 410，第三次落地打破的概率为 910，求透镜落地三次被打破的概率。分析其次次落地打破的概率，事实上是指在第一次落地未打破的条件下，其次次落地才打破的条件概率，同样，第三次落地打破的概率是指在第一、二次落地都未打破的条件下，第三次落地才打破的条件概率。解设iA ：透镜第 i 次落地被打破 3 , 2 , 1 = i A：落地三次，透镜被打破， 依题意3 2 1 2 1 1A A A A A A A È È = ，且2 1 1 ,A A A ，3 2 1A A A 两两互不相容，故有 算法 1 958 . 0109)1041 )(1031 (104)1031 (103) | ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) (2 1 3 1 2 1 1 2 1 13 2 1 2 1 1= - - + - + =+ + =+ + =A A A P A A P A P A A P A P A PA A A P A A P A P A P 算法 2先求 ) (A P,100042)1091 )(1041 )(1031 () | ( ) | ( ) ( ) ( ) (2 1 3 1 2 1 3 2 1= - - - = = A A A P A A P A P A A A P A P 所以， 958 . 0 ) ( 1 ) ( = - = A P A P例（854）从装有红、白、黑球各一个的口袋中随意取球（取后放回），直到各种颜色的球至少取得一次为止。求：1&ordm;摸球次数恰好为 6 次的概率；2&ordm;摸球次数不少于 6 次的概率。解设kA ：直到各种颜色的球至少取得一次为止所需摸球次数为 k 次， L , 4 , 3 = k ，则事务 kA 发生必为第 k 次首次摸到红球、或白球、或黑球，其概率为3131× C ，剩下 ) 1 ( - k 次摸到的必是其余两种颜色的球，且每种颜色至少出现一次，至多重复 ) 2 ( - k 次，每次出现的概率都是31，因此 , , 4 , 3)31( )31( )31(31) (2111121113L = = × × =å å-=- -=-k C C C A Pkik iki k ikiik k 1&ordm; å= =4155 68110)31( ) (iC A P2&ordm; 8131) ( ) ) ( ) ( 15 4 3= + + - = A P A P A P P注：此题也可用古典概型计算 L , 4 , 3 , 3 / ) 2 2 ( ) (1 13= - =-k C A Pk kk 4利用全概率公式，贝叶斯公式计算概率例（870）有两个箱子，第一个箱子有 3 个白球 2 个红球，其次个箱子有 4 个白球 4 个红球，现从第一个箱子中随机地取出 1 个球放在其次个箱子里，再从其次个箱子中取 1 个球，此球是白球的概率为，已知上述从其次个箱子中取出的球是白球，则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为。分析本题第一问是考查全概率公式，其次问是求条件概率，故应用叶贝斯公式 设 =1A 从 第 i 个 箱 子 中 取 出 的 球 是 白 球 ， i 1 ， 2 ， 由 条 件 知 ，9 / 5 ) | ( , 5 / 3 ) (1 2 1= = A A P A P ，故由全概率公式得 4523)951 )(531 (9553) | ( ) ( ) | ( ) ( ) (1 2 1 1 2 1 2= - - + ´ = + = A A P A P A A P A P A P其次问由贝叶斯公式有 231595532345) () | ( ) () | (21 2 12 1= ´ ´ = =A PA A P A PA A P解应分别填4523和2315 例有两个箱子，第一个箱子有5个白球10个红球，其次个箱子有5个白球10个红球，现从第一个箱子中任取出1个球放于其次个箱子里，然后从其次个箱子中任取1个球放于第一个箱子里，最终从第一个箱子中任取2个球,求2个球全是红球的概率. 分析本题是考查全概率公式. 解 设iA = 从第一个箱子中任取出1个球放于其次个箱子里，然后从其次个箱子中任取1个球放于第一个箱子后第一个箱子中含有 i 个红球， i 4,5,6， = B最终从第一个箱子中任取2个球全是红球 由条件知， ) (4A P = P (先从第一个箱子中任取出红球, 后从其次个箱子中取出白球)485165155= ´ = ) (5A P = P (先从第一个箱子中任取出红球, 后从其次个箱子中取出红球)+ P (先从第一个箱子中任取出白球, 后从其次个箱子中取出白球)482316615101611155= ´ + ´ = ) (6A P = P (先从第一个箱子中任取出白球, 后从其次个箱子中取出红球)48 / 20 16 / 10 15 / 10 = = ´ ´ = =105 / 6 / ) | (21524 4= = = = C C A B P , 105 / 10 / ) | (21525 5= = = = C C A B P ,105 / 15 / ) | (21526 6= = = = C C A B P故由全概率公式得911051548201051048231056485) | ( ) ( ) (64= ´ + ´ + ´ = = å=iiiA B P A P B P 5利用贝努里概型公式进行计算 例某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴，经过若干时间后，发觉一盒火柴已经用完，假如最初两盒中各有 m 根火柴，求这时另一盒还的 r 根火柴的概率。解假如甲盒已空而乙盒还剩 r 根火柴，则在这之前肯定已经取过 ) 2 ( r m- 次火柴，每次取甲、乙盒的概率为21= = q p ，在 ) 2 ( r m- 次中，恰有 m 次取于甲盒， ) ( r m - 次取于乙盒，第 ) 1 2 ( r m - + 次必定抓了甲盒，否则不会发觉甲盒是空的，因此这种状况的概率为 1 2222 1)21( )21(21+ -= =r m mr mr m mr mC C P故求一盒空而另一盒还剩 r 根火柴的概率为 r m mr mC P P P-= + =22 2 1)21( 例（877）假设一厂家生产的每台仪器，以概率 0.70 可以干脆出厂；以概率 0.30 需进一步调试，经调试后以概率 0.80 可以出厂，以概率 0.20 定为不合格仪器不能出厂，现该厂新生产了 ) 2 ( ³ n n 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：1&ordm;全部仪器能出厂的概率 a ； 2&ordm;其中恰好有两台不能出厂的概率 b ； 3&ordm;其中至少有两台不能出厂的概率 q 。分析由于各台仪器的生产过程相互独立，故生产的 n 台仪器中能出厂的仪器数听从参数为 ) , ( p n 的二项分布，问题的关键是 p 的确定 解设 = A 仪器须要进一步调试， = B 仪器能出厂；则 = A 仪器能干脆出厂，= AB 仪器经调试后能出厂。由条件知 94 . 0 80 . 0 30 . 0 70 . 0) | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (80 . 0 ) | ( , 30 . 0 ) ( ,= ´ + =+ = + = = = È =A B P A P A P AB P A P B P pA B P A P AB A B 记 X 为所生产的 n 台仪器中能出厂的台数，则 ) 94 . 0 , ( n B X 分布，故 nn X P 94 . 0 = = = an nn nnn n X P n X P n X PC n X P94 . 0 06 . 0 94 . 0 1 ) ( ) 1 ( 1 2 06 . 0 94 . 0 2 12 2 2- ´ ´ - = = - - = - = - £ =× × = - = =- -qb 6关于最小样本容量 n 的简洁求法 例（878）已知步枪射击命中目标的概率 4 . 0 = p ，问至少须要多少支步枪才能保证击中目标的概率不少于 0.9？ 分析此类问题首先设所需步枪数为 n ，再依据题意写出计算有关事务的概率式子，把对概率的要求用不等式表示出来，从而解出 n 。解设 X 为 n 支步枪中命中目标的次数，则 nX P X P 6 . 0 1 ) 0 ( 1 ) 1 ( - = = - = ³由条件知 5 , 9 . 0 ) 6 . 0 ( 12³ ³ - n ，故最少步枪数为 5 支 7配对模型 例从 5 双不同的手套中任取 4 只，求至少有两只配成一双的概率。解记 = A 4 只手套中至少有两只配成一双，有二种解法：1&ordm;利用对立事务计算21137 8 9 104 6 8 101 ) ( 1 ) ( =´ ´ ´´ ´ ´- = - = A P A P2&ordm;用配对法计算。记 =iA 取得了第 i 双手套， 5 , , 2 , 1 L = i21 13 0 0 1 5) ( ) ( ) ( ) ( ) (4102541028515 1 5 2 1 ） （ ） （ LL L LC C C CA A A P A A P A P A A A P A Pi j ij i i´+ + - = + + + =å å= ¹例将 n 封信从信封中取出后随机地装入，求至少有一封放进它原来信封内的概率 ) (n p ，并计算 ) ( lim n Pn ¥ ® 解此题用逆事务难以得到一般公式，故选用配对法计算，记 =iA 第 i 封信装入第 i 个信封中， n i , , 2 , 1 L = ，则 1 1 2 112 112 12 11!1) 1 (! 211!1) 1 (11 1 1) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) (!1) (,11 1) (, , , 2 , 1 ,1) (- -= ¹- ® - + + - = - +-× × - × =- + + - = + + + = ¹-= = =å åen n n nCnCA A A P A A P A P A A A P n PnA A A P j in nA A P n inA Pn nn nni j innj i i nn j i iL LL L LL L L 小结本章重点是随机事务的计算，考生除应熟记有关的公式，依据题目的条件作出正确的计算外，还要娴熟地驾驭一些技巧（如利用逆事务等），以简化解法，提高效率。其次章随机变量及其分布1 离散型随机变量的分布律和分布函数 例（882）设随机变量 X 的分布律为（ 0 > a 为参数）2 , 1 ,1) ( = = = kak X Pk 求（1）) 3 ( ) 2 ( ); 5 ( 的倍数 为 X P X P ³ 。解 因为å¥=-= - = =111)11 /(1) ( 1ka a ak X P ，所以 2 = a ， （1）å¥= ÷øöçèæ- = ³5161211 /21) 5 (kkX P ； （2）X P( 为 3 的倍数）712113=å¥= kk 例（886）假设飞机在飞行中引擎不损坏的概率为 ) 1 0 ( < < p p ，且各引擎是否损坏相互独立，若有半以上的引擎正常运行，飞机就可以胜利地飞行，问 p 值多大时，5 引擎飞机比3 引擎飞机更平安。解设 X 表示飞行中飞机引擎不损坏数，对 5 引擎机，可视为 5 重贝努利试验，对 3 引擎机，可视为 3 重贝努利试验，于是对 5 引擎机， X 的可能值为 0，1，2，3，4，5， 5 引擎机胜利飞行这一事务等价于 3 ³ X ，故 5 引擎机胜利地飞行的概率为 5 4 452 3 35) 1 ( ) 1 () 5 ( ) 4 ( ) 3 ( ) 3 (p p p C p p CX P X P x P X P+ - + - = + = + = = ³ 同理，3 引擎机胜利地飞行的概率为3 2 23) 1 ( ) 2 ( p p p C X P + - = ³故 5 引擎机比 3 引擎机更平安的充分条件 3 2 235 4 452 3 35) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( p p p C p p p C p p C + - > + - + - ， 化简后得 0 ) 1 2 )( 1 ( > - - p p故得，当 2 / 1 > p ，5 引擎机比 3 引擎机飞行更平安。例（888）某箱装有 100 件产品，其中一、二和三等品分别为 80，10 和 10 件，现从中随机地抽取一件，记 îíì=其它等品 若抽到，）， ， （ ， ，03 2 1 1 iZii 试求随机变量1Z 和2Z 的联合概率分布。解 （1Z ，2Z ）为二维离散型随机变量，其可能取值为（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），故 0 ) ( ) 1 , 1 (8 . 0 100 80 ) 0 , 1 (1 . 0 100 10 ) 1 , 0 (1 . 0 100 10) 0 , 0 () () () () (2 12 12 12 1 等品 该产品为一等品且为二该产品为一等品该产品为二等品（该产品为三等品）是二等品 该产品不是一等品且不f P P Z Z PP Z Z PP Z Z PPP Z Z P= = = = = = = = = 例 设某班车起点站上的乘客数 X 听从参数为 ) 0 ( > l l 的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为 ) 1 0 ( < < p p ，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示中途下车的人数，求二维随机变量 ) , ( Y X 的分布律。解 L , 2 , 1 , 0 , 0 ,!) 1 () ( ) | ( ) , (= £ £ × - = = = = = =-n n mnep p Cn X P n X m Y P m Y n X Pn m n n mnll 例一汽车沿一街道行驶，须要通过三个设有红、绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示时间相等，以 X 表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，求 X 的分布律。解此题是有限几何分布模型，求 X 的分布律。818141211 ) 3 ( , ) 0 (2 , 1 ,2121121) (1= - - - = = = = ÷øöçèæ= ÷øöçèæ- = =-X P p X Pk k X Pk k 2连续型随机变量的分布密度和分布函数 例（892）设随机变量 X 的分布函数为 ¥ < < ¥ - + = x Barctgx A x F , ) (试求：1&ordm;系数 A 与 B ；2&ordm; ) 1 1 ( < < - X P ；3&ordm; X 的分布密度 解1&ordm;由分布函数的性质 1 ) ( , 0 ) ( = +¥ = -¥ F F ，知 îíì= += - +1 ) 2 (; 0 ) 2 (ppB AB A 解方程组得：p / 1 , 2 / 1 = = B A即 +¥ < < ¥ - + = x arctgx x F ,121) (p21)4(1214121) 1 (121( ) 1121( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 ( 2= - - - × + =- + - + = - - = < < -ppppp parctg arctg F F X Po 3&ordm; +¥ < < ¥ -+= ¢ + = ¢ = xxarctgx x F x f ,) 1 (1)121( ) ( ) (2p p 例（894）设随机变量 X 在2，5上听从匀称分布，现对 X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率。解由条件知 X 的分布密度为îíì £ £=其它 , 0; 5 2 , 3 / 1) (Xx f令3u 表示三次独立观测是中观测值大于 3 的次数，则3u 听从 ) , 3 ( p B ，其中 p 为 ò= = > =533231) 3 ( dx X P p 故有2720)32( )321 ( )32( ) 2 (3 332 23 3= + - = ³ C C p u例（20021）设随机变量 X 听从正态分布 N（2, s m ），且二次方程 0 42= + + X y y 无实根的概率为本 1/2，则 = m_ _。解由二次方程 0 42= + + X y y 无实根的条件知 , 0 4 4 2 < - X故4 , 2 / 1 ) 0 4 ( , 2 / 1 ) 0 4 16 ( = = < - = < - m X P X P例（896）设随机变量 ) , ( Y X 的概率密度为 ïîïíì³ +< + + -=2 2 22 2 2 2 2, 0; ), () , (R y xR y x y x R cy x f 试求 1&ordm;系数 c ；2&ordm; ) , ( Y X 落在圆 ) 0 (2 2 2R r r y x < < £ + 内的概率。解：3 32) () ( ) , ( 1 13 3302032 2 22 2sin , cos2 2 22 2 2R c Rc R cd d c cRdxdy y x c R cRdxdy y x R c dxdy y x fRR y xR y xy xp ppr q r r pppq r q r= - =× - =+ - × =+ - = =ò òòòòò ò ò= =< +< +¥¥ -¥¥ -令o 所以33Rcp=2&ordm;设 , : ,2 2 2r y x y) (x D £ + = )321 (332) ( ) , (22 323 3RrRr rRr cdxdy y x R c D Y X PD- =úûùêëé- =+ - = Îòòp p 注利用分布函数的基本性质可以确定待定系数，从而可以计算二维随机变量落在某一区域内的概率，值得留意的是计算过程中，由于 ) , ( y x f 通常是分区域函数，故积分区域要特殊当心，以免出错。例（898）考虑一元二次方程 02= + + C Bx x ，其中 C B, 分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率 p 和有重根的概率 q 。解方程 02= + + C Bx x 有实根的充要条件是判别式 0 42³ - = D C B 或 4 /2B C £ ，由条件知，本枚骰子掷两次，其基本领件总数为 36，且 B 1 2 3 4 5 6 使 4 /2B C £ 的基本领件个数 0 1 2 4 6 6 使 4 /2B C = 的基本领件个数 0 1 0 1 0 0 故使方程有实根的基本领件个数为 01246619 所以 36 / 19 = p ，使方程有重根的充要条件是 C B 42= ，满意此条件的基本领件个数为 0101002 因此18 / 1 36 / 2 = = q例（900）设随机变量 ) , ( Y X 匀称分布于以(1,0)，(0,1)，(1,0)，(0,1)四项点所构成的正方形中，求 X 与 Y 的边缘密度函数。解如图 2.3 îíì < +=其它 , 01 | | | | , 2 / 1) , (y xy x f1&ordm;当 0 1 < < x 时，ò ò+- -¥¥ -+ = = =11121) , ( ) (xxXx dy dy y x f x f当 1 0 < £ x 时， 121) , ( ) (11+ - = = =ò ò+ -¥¥ -x dy dy y x f x fxxX 所以 îíì < < - -=其它 , 0; 1 1 |, | 1) (x xx f X2&ordm;类似 1&ordm;可得 îíì < < - -=其它 , 01 1 |, | 1) (y yy f Y例设随机变量 X 的肯定值不大于 1； ;41 1 ,81 1 = = = - = X P X P 在事务 1 1 < < - X 出现的条件下，X 在（-1，1）内的任一子区间上的条件概率与该子区间长度成正比。试求（1）X 的分布函数 ) ( x X P x F £ = ； （2）X 取负值的的概率 p 。解 （1）由条件知，当 1 - < x 时 ; 8 1 ) 1 ( ; 0 ( = - = F x F ） 8541811 1 1 = - - = < < - X P 。故在 1 1 < < - X 条件下，事务 1 x X £ < - 的条件概率为21 1 1 1 += < < - £ < -xX x X P于是，对于 1 1 < < - x ,有= £ < - 1 x X P 1 1 , 1 < < - £ < - X x X P= × < < - £ < - 1 1 1 X x X P 1 1 < < - X P =16) 1 ( 58521 += ´+ x x; 167 5165 581 1 ( ) 1 ( ) (+=+ = £ < - + - £ =x xx X P X P x F对于 1 ³ x ,有 1 ) ( = x F .从而 ïîïíì³< £ -+- <=1 , 11 1 ,167 51 , 0) (xxxxx F(2) X 取负值的的概率 167) 0 ( 0 ) 0 ( 0 = = = - = < = F X P F X P p . 3随机变量函数的分布 例设随机变量1X ，2X 的概率分布为 ÷÷øöççèæ÷÷øöççèæ -2 / 1 2 / 11 0 ,4 / 1 2 / 1 4 / 11 0 12 1X X且 1 ) 0 (2 1= = X X P ，求 ) , (2 1X X 的联合分布。解) , (2 1X X 为二维离散型随机变量，由条件 1 ) 0 (2 1= = X X P 知 0 ) 0 (2 1= ¹ X X P故0 ) 1 , 1 ( ) 1 , 1 (2 1 2 1= = = = = - = X X P X X P由联合分布与边缘分布的关系立得 0 ) 0 , 0 ( , 2 / 1 ) 1 , 0 (4 / 1 ) 0 , 1 ( ) 0 , 1 (2 1 2 12 1 2 1= = = = = = = = = = - =X X P X X PX X P X X P 例（910）设随机变量 X 在(0， p 2 )内听从匀称分布，求随机变量 X Y cos = 的分布密度。解由条件知 X 的分布密度为 îíì < <=其它 , 0, 2 0 , 2 / 1) (p p xx f由于函数 x y cos = 在 ) 2 , 0 ( p 内为分段单调函数，其反函数分别为 ) 1 , 1 ( ), , 0 ( ,11) 2 , ( , arccos 2 ), , 0 ( , arccos1212 2 1 1- Î Î- = ¢Î - = Î =y xyxx y x x y xpp p p p ) 1 , 1 ( ), 2 , ( ,11222- Î Î-= ¢ y xyx p p故ïîïíì- Î- =¢ × - + ¢ × =其它 ， 0); 1 , 1 ( ,11| | ) arccos 2 ( | | ) (arccos ) (22 1yy x y f x y f y f Y p p注此题也可用分布函数法解。（3）二维连续型随机变量函数的分布 例（916）在 ) , 0 ( a 线段上随意抛两个点（抛掷二点的位置在 ) , 0 ( a 上独立地听从匀称分布），试求两点间距离的分布函数。解设抛掷两点的坐标分别为 X 和 Y (图 2.5)，则 X 与 Y 相互独立，且都听从 ）（ a , 0 上的匀称分布，故 ) , ( Y X 的联合概率密度为 îíì < < < <=其它 , 0; 0 , 0 , / 1) , (2a y a x ay x f记两点距离为 Z ，则 | | Y X Z - = 的分布函数为) | (| ) ( z Y X P x F Z £ - =当 0 < z 时，明显 0 ) ( = z F Z ； 当 a z < £ 0 时， òò ò ò-+-= - - - =- = < - =z az az yz aZaz a zdy z y aadx dyaz Y X P z F02 20 02) 2 () (2121 ) | (| ) (a 当 a z ³ 时， 1 ) ( = z F Z故两点距离 Z 的分布函数为 ïïîïïíì³< £-<=a aa zaz a zzz F X, 1; 0 ,) 2 (0 , 0) (2 例（918）假设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障时间都听从参数为 0 > l 的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间 T 的概率分布。解设 ) 3 , 2 , 1 ( = i X i 为第 i 个电子元件无故障工作的时间，则3 2 1, , X X X 是独立同分布的随机变量，其分布函数为 îíì<³ -=-0 , 00 , 1) (xx ex Fx l 记 ) (t G 为了 T 的分布函数，则 当 0 < t ， 0 ) ( = t G ； 当 0 ³ t 时， te t Ft X t X t X P t T P t T P t Gl 3 33 2 11 ) ( 1 1) , , ( 1 ) ( 1 ) ( ) (- = - - => > > - = > - = £ = 所以 îíì<³ -=-0 , 00 , 1) (3tt et Gt l 即电路正常工作时间 T 听从参数为 l 3 的指数分布。例（920）设随机变量 X 与 Y 独立同分布，其概率密度为ïîïíì¥ < <=-其它 , 00 ,2) (2x ex fxp 求随机变量2 2Y X Z + = 的概率密度。解由于 X 与 Y 独立同分布，故 ) , ( Y X 的联合概率密度为 ïîïíì¥ < < ¥ < <= =+ -其它 , 00 , 0 ,4) ( ) ( ) , () (2 2y x ey f x f y x fy xY Xp当 0 £ z 时，明显 0 ) ( = z F Z当 0 > z 时， 2 22 22 2 22 2144) , ( ) (020) (zzz y xz y xy xZe d e ddxd e dxdy y x f z F- -£ +£ + - = = =ò òòò òòr r qpprp 故2 2Y X Z + = 的概率密度为 ïîïíì³<= ¢ =-0 , 2; 0 , 0) ( ) (2z zezz F z fzZ （4）正态随机变量 例（923）设 X 听从正态分布 ) 2 , 3 (2N ，则 ) 5 2 ( < £ X P ，) 7 2 ( < £ - X P ，若 ) ( ) ( c X P c X P < = ³ ，则 = c。解记正态分布 ) , (2o m N 的分布函数为 ) (x F ,标准正态分布 ) 1 , 0 ( N 的分布函数为 ) (x F ,则 ) ( ) (sm -F =xx F5328 . 0 )21( ) 1 ( )23 2( )23 5( ) 2 ( ) 5 ( ) 5 2 ( = - F - F =-F -F = - = < £ F F X P)23( 5 . 0 ) ( ) ( ) ( 1 ) (9710 . 0 )212 ( ) 2 ( )23 2( )23 7( ) 2 ( ) 7 ( ) 7 2 (-F = = < Þ < = < - = ³= - F - F =- -F -F = - - = < £ -cc X P c X P c X P c X PF F X P 由标准正态分布的对称性知， 3 023= Þ =-cc 例（925）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都听从正态 ) 1 , 0 ( N 分布，求 Y X Z 2 - = 的分布密度。解由正态随机变量的性质知 ) , ( 2s m N Z ，由于 5 2 ) 2 (, 0 2 ) 2 (2 2= ´ + = - = = - = - = =DY DX Y X D DZEY EX Y X E EZsm 故 ) 5 , 0 ( N Z ，其概率密度为¥ < < -¥×=-x e x fx,5 21) (10 /2p 第三章随机变量的数字特征及极限定理 例题分析一随机变量的数字特征 1一维随机变量的数字特征 解题步骤 1&ordm;正确写出随机变量 X 的分布律或分布密度； 2&ordm;利用定义计算 ) ( ), ( X D X E ，留意方差 DX 的简化公式2 2) (EX EX DX - = 的运用。例（927）一整数等可能地在 1 到 10 中取值，以 X 记除得尽这一整数的正整数的个数，求 DX EX, 。解记 ) (n d 表示除尽 ) 10 , 2 , 1 ( L = n n 的正整数的个数，则 4 ) 10 ( ) 8 ( ) 6 ( , 3 ) 9 ( ) 4 (2 ) 7 ( ) 5 ( ) 3 ( ) 2 ( , 1 ) 1 (= = = = = = = = =d d d d dd d d d d 故 X 的分布列为 103102104101) (4 3 2 1k X PX= 所以 10011 ) (10831034102310421011102710341023104210112 22 2 2 2 2= - = × + × + + × = × + × + × + × =EX EX DXEXEX 例（932）将 n 个球放于 M 个盒子中，设每个球放于各个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的数学期望和方差。解记随机变量îíì=M i iiX i, , 2 , 1 , 0, 1L ， 个盒子中无球 第， 个盒子中至少有一个球 第 则iX 两两独立，且同分布 n nMiiMiiMiniMiin ni i ininininiMMMMM DX X D DXMMM EX X E EXMM