2022年高中数列知识大总结全.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_典例精析23n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型一归纳、猜想法求数列通项【例1】依据以下数列的前几项,分别写出它们的一个通项公式又 a11 不适合上式,故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 7, 77, 777, 7777,1an2 3n 1n1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2 ,34 , 6 ,8 ,1535632 当n1时, aS1 a2 2 , 解得 a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9解析：将数列变形为当n2时, a n11118SnSn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_71091,7 10291,7 1031,91 a2 21 a2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn1, 7 10 n19所以 ann2 28an 182 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分开观看, 正负号由11确定, 分子是偶数所以 anan 1 anan 140可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n , 分 母 是13,35,57,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_, 2n12 n1) ,故数列的通项公式可写又 an0,所以anan 14 ,可知an为等差数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成 a n1n 12n列,公差为4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n1 2n1所以 ana1n1 d2n144n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将已知数列变为1+0 ,2+1,3+0,4+1 ,5+0, 6+1, 7+0 ,8+1,9+0 ,.可得数列的通项a12 也适合上式,故an4n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公式为 annn112点拨：本例的关键是应用S1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点拨：联想与转换是由已知熟悉未知的两种有效的思an求数列的通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_维方法,观看归纳是由特殊到一般的有效手段, 本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归 纳、转换获得项与项数的一般规律,从而求得 通项.SnSn 1项,特殊要留意验证的一般性通项公式.n2a1 的值是否满意" n2"可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S1n1三、利用递推关系求数列的通项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型二应用an求数列通项【例 3】依据以下各个数列a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_SnSn 1n2n的首项和递推关系,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2已知数列an的前 n 项和Sn ,分别求其通项求其通项公式11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公式 . a1, 2a n 1an4n 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ S3n22 a1,a0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1n1222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ Snan28 an0 n1an 1nananan 10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 ：当 n1时, a1S311n21 ,n 1 a11,an 11 a1n21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n2时, anSnSn 13232解析：由于a n 1a n4n2,所以11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 32 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a n 1a n14n 211122 n112 n1方法二：a n 11 a1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 a 2a11 112131ana n 1121 1 an22211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa1 11 1 211 21111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32an 21 an 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23522222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a4a31 11 1 3an 3 1 211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_257,222a=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_anan 11 11 1 n 1 1 n 211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22n32n1222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1以上 n1) 个式相加得1 n 11 1 n 121 n 11 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ana11 1122n114n321121 n 1122 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即： a n14n224n222222 n 111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 由n1an 1anan 1n an0方法三：a n 1a n1,2an 2a n 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有 n1 anaaa 0两式相减, aa1 aa 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1an0,nn 1nan 1an0n 2n 1n 1n21n 11 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1nan 1ana2a1 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1an 1nan0即:11 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ann1即： a2a1,a3a2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aanan 1a2a221n 1anan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n12aaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1n 2111 21n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1n21 11相加得： ana1222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn12n1ann1 11 n 12211 1n 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法一、设an 1m1 am12n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1 a1 m, 又 a1 a11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1n22n 1n2an22n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令m1,m2, 于是 an 1an1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可化为点拨：在递推关系中如an 1anf n, 求an 用累可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a n 121 a2n2加 法 , 如an 1anf n, 求an用 累 乘 法 , 如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an2a2 a112 1 n 12an 1panq ,求an 用待定系数法或迭代法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2 n 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 32 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数学门诊ana2ka2k166k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已 知Sn是 数 列an的 前n 项 和 , 且 满 足6n2223n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22Sn3n anSn 1,其中an0, n2,3,4,n2k1时, ana2 k 1a3 （ k1）6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 a12 ,求数列an的通项公式.6k16n11n ,222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错解：当n2 时,由已知得SnSn 13n 2 a3n22（ n1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 anSnSn 10 ,所以 SnSn 13n2a n3n2 3n2（ n为偶数）（ n为大于 1的奇数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 Sn 2Sn 13n1) 2 两式相减得,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sn 1Sn 16n3 ,即an 1an6n34. 设a1 , a2 , a50 从1,0,1 这三个整数中取值的数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于 是an 2an 16n9所 以 两 式 相 减 得列,如a1a2a509且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 2an6 a11 2a21 2 a5012107就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所 以 a1 , a3 , a5 ,成 等 差 数 列 , 公 差 为6 ,a1 , a2 , a50 中有 0 的个数为11解：设有n个0,就由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2 , a4 ,a6 , 也 成 等 差 数 列 , 公 差 为6 , 从 而a112 a212a501 210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1 ,a2 ,a3 , a4 , a5 ,a6 ,成等差数列,公差为6,有 a 2a 2a 2 +2aa+可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22所以, an2n166n4125012n,a50 +50=107,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正解：当n2 时,由已知得SnSn 13n 2 aa 2a 2a239 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 anSnSn 10 ,1250可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 SnSn 13n2所以在所以在a1, a2 ,a1, a2 ,a50 中有 39 个 1 或-1 ,a50 有 11个 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于 是Sn 1Sn3n12, 两 式 相 减 得 ：5. 已知数列an满意 a11,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nSn 1Sn 16n3,即an 1an6n3a3n 1an 1 , n2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 an 2an 16n9 ,所以an 2an6 ,又 求a2和a3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S2S112,所以 a28n31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 a3a215,所以 a37证明：a n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 n2k 时解： 1 a11, a23a14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 32 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a33a213 .解：an 12an1,0an2,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：由已知anan 13n 1有2an1,2an1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an（anan 1）（an 1an 2）11a1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（a2a1） a172可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1n 2333 n1312a22a11571 ,12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 已知数列an中, a n（ n92）（10）n 试问 n310a32a21,72可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_取何值时,an 取最大值？并求此最大值6a42a31 ,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a（ n3）（9 ）n 1729n35可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由于n 110a52a41,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an（n2）（ 9 ）n10an 110n2由此猜想：7an 3an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当n7 时,an,即 a8a7所以 a 20a 3 6 2a 25,选7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1二、填空题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以当 n7 时,即an5 已知数列an的前 n 项和 Snn 24n1,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1an即 a7a6a5a1an 12,n1an2n5,n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n8 时,1ananan 16 已 知 数 列an中 , a12,a23 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 a8a9a10an 23an 12an , a765可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故当 n7 或 8 时,an 最大,9 8解:an 2a2an 1a112 an 1an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an maxa 7a8107a3a2a4a32a22a3a1 2a2 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 如数列an满足：a5a42a4a3 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 162an,2an1,10an2 ,1an1 2a6a5a7a6 a7a1a7652a52 a61a4 a5 24163281632可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1,就7a20 的值为（）7已知数列nan的通项n98 （ n99N）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 32 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就数列an的前 30 项中最大项和最小项分别是3 为周期的周期函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a10, a9求 S2022aa11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：构造函数yxn 3n 2981999811可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x99x99111111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由函数性质可知,函数在,99 上递减, 且an 111an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1111an1an1 an1an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数在 99,）上递增且y1an1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12又999,10）1an1an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a10a9a11a12a301 a1a 2a1 , a 21, a 32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a最大, a 最小S2022（a1a2a3）（a4a5a6）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_109（ aaa）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、解答题202220222022可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1（a2022a2022a2022）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8已知an中, a1,前 n 项和3Sn 与 an 的关系67（0 a1a2a3）1005可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是 Snn2n1an , 求 an10设数列an的前 n 项和为Sn ,点nSn ,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由 Snn2n1an 得（ nN）均在函数y3x2 的图像上,求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sn 1n1 2n1a n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2n 23n an 1n2n1an设 bnan1Sn1Sn数列an的通项公式an1n1 2n1a n 1n 2n1 an3, Tn 是数列bn的前 前 n 项和,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a n 12n1a n an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an2 naa n3a n 1an 2a 2 a求使得 Tnm对全部n20N都成立的最小正可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_na n 1a n 21a n 3a1整数 m .解：依题意得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2n32n52n753112n12 n112n39753Sn3n2,即 S n3n22n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22n1 2n1当n2时, a nSnSn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14n 21（3n26n52n）（3 n1）（2 n1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9在数列an中, a n11, a n1当n1时, a1S11615可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2an1故a n6n5,（ nN ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ nN） Sn为前 n 项和 . 求证：an是以由得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 32 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bn（6n1（35）（ 6n1）4102142105511）S19 T19a1a19 19b12 b19 192a1a19b1b19可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_26n5nTnbii 16n12a102b10典例精析a10 b10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1（11 ）27（16n51）6n1一、等差数列的判定与基本运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1 11）m成立,例 1：已知数列an前 n 项和 Snn29n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_26n1当且仅当120m , m10求证：an为等差数列.记数列an的前 n 项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_220故满意要求的和为 Tn ,求Tn 的表达式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列an中,Sn 是前n 项和,当n2 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4运算机执行以下程序：211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_初始值x3, S0Snan Sn 求证：是等差数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xx2 SSx2SnSn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ S202