《曲线与方程》导学案.docx

曲线与方程导学案双曲线的标准方程导学案 双曲线的标准方程导学案 教学目标：1了解双曲线的标准方程的推导过程，能依据已知条件求双曲线的标准方程2驾驭双曲线两种标准方程的形式教学重点：依据已知条件求双曲线的标准方程椭圆和双曲线标准形式中a，b，c间的关系教学难点：双曲线的标准方程的推导学习过程：一、复习回顾1椭圆的定义是什么？2椭圆的标准方程是什么？3双曲线的定义是什么？二、双曲线的标准方程的推导方程三、例题讲解例1已知双曲线两个焦点分别为，双曲线上一点到F1，F2距离差的肯定值等于8，求双曲线的标准方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程；（1）焦点在x轴上；（2）（3），一个焦点的坐标是（4），经过点，焦点在y轴上（5）经过点焦点在y轴上例3若方程表示双曲线，求实数的取值范围。四、课堂练习1、课本p391、2、42求与椭圆有相同焦点，并且经过点的双曲线的标准方程五、归纳小结1双曲线的标准方程：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程焦点坐标F1，F2F1，F2a，b，c之间的关系2椭圆与双曲线的区分与联系是什么？曲线椭圆双曲线适合条件的点的集合a，b，c之间的关系标准方程或或（，a不肯定大于b）图形特征封闭的连续曲线分两支，不封闭，不连续六、作业 高二数学曲线与方程的概念导学案13 曲线与方程的概念导学案 学习目标：1、理解并能运用曲线的方程、方程的曲线的概念，2、建立“数”与“形”的桥梁，培育数形结合的意识 课前延长一、自学指导阅读课本33-35页，完成下列问题1、直线的方程的概念 2、什么是轨迹方程 3、什么是曲线的方程、方程的曲线 二、课前热身1、动一动：画出函数y=2x2(-1x2)的图象C 2、画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线l，并写出其方程三、预习总结通过预习你感觉还存在那些疑问：1、2、 课内探究一、互动探究1、(1)求如图所示的AB的垂直平分线的方程；(2)画出方程和方程所表示的曲线视察、思索，求得(1)的方程为，(2)题画图如下第(1)题是从曲线到方程，曲线C(即AB的垂直平分线)点的坐标(x,y)方程f(x,y)=0第(2)题是从方程到曲线，即方程f(x,y)=0解(x,y)(即点的坐标)曲线C问题:方程f(x,y)=0的解与曲线C上的点的坐标，应具备怎样的关系，才叫方程的曲线，曲线的方程？1.运用反例，揭示内涵问题：下列方程表示如图所示的直线C，对吗？为什么？（1）;（2）;（3）|x|-y=0.2探讨归纳，得出定义探讨题：在下定义时，针对（1）中“曲线上有的点的坐标不是方程的解”以及（2）中“以方程的解为坐标的点不在曲线上”的状况，对“曲线的方程应作何规定？这样，我们可以对“曲线的方程”和“方程的曲线”下这样的定义： 3变换表达，强化理解曲线可以看作是由点组成的集合，记作C；一个关于x,y的二元方程的解可以作为点的坐标，因而二元方程的解也描述了一个点集，记作F请大家思索：如何用集合C和点集F间的关系来表达“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表述以上定义关系(1)指集合C是点集F的子集，关系(2)指引集F是点集合C的子集这样依据集合的性质，可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线”，即：二、讲解范例：例1解答下列问题，且说出各依据了曲线的方程和方程的曲线定义中的哪一个关系？(1)点是否在方程为的圆上？(2)已知方程为的圆过点，求m的值学生练习，口答 四、当堂检测：1假如曲线C上的点满意方程F（x,y)=0，则以下说法正确的是（）A.曲线C的方程是F(x,y)=0B.方程F(x,y)=0的曲线是CC.坐标满意方程F(x,y)=0的点在曲线C上D.坐标不满意方程F（x,y)=0的点不在曲线C上2.推断下列结论的正误，并说明理由.（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为x=0;(2)到x轴距离为2的点的直线方程为y=-2;(3)到两坐标轴的距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1;(4)ABC的顶点A（0，-3），B（1，0），C（-1，0），D为BC中点，则中线AD的方程为x=03.方程（3x-4y-12)log2(x+2y)-3=0的曲线经过点A（0，-3）、B（0，4）、C（）、D（4，0）中的（）4.已知点A（-3，0），B（0，），C（4，-），D（3sec,tan),其中在曲线上的点的个数为（）A.1B.2C.3D.4五、小结：“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义在领悟定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不行，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件两者满意了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的探讨转化为方程来探讨，即几何问题的探讨转化为代数问题这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法课后拓展1点A(1，-2)、B(2，-3)、C(3，10)是否在方程的图形上？ 2(1)在什么状况下，方程的曲线经过原点？ (2)在什么状况下，方程的曲线经过原点？ 3证明以C(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程为4证明动点P(x，y)到定点M(-a，0)的距离等于a(a0)的轨迹方程是 其次章圆锥曲线与方程(曲线方程、椭圆)教学设计 2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的轨迹方程一、教学目标(一)学问教学点使学生驾驭常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法(二)实力训练点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培育学生综合运用各方面学问的实力(三)学科渗透点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生驾驭常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础二、教材分析1重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法(解决方法：对每种方法用例题加以说明，使学生驾驭这种方法)2难点：作相关点法求动点的轨迹方法(解决方法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解)教具打算：与教材内容相关的资料。教学设想：激发学生的学习热忱，激发学生的求知欲，培育严谨的学习看法，培育主动进取的精神三、教学过程学生探究过程：(一)复习引入大家知道，平面解析几何探讨的主要问题是：(1)依据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，探讨平面曲线的性质我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的探讨，今日在上面已经探讨的基础上来对依据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析(二)几种常见求轨迹方程的方法1干脆法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满意的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫干脆法例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆Ox2+y2=R2(aRo)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0即x2+y2=4R2或x2+y2=0故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0对(2)分析：题设中没有详细给出动点所满意的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，则OMAMkOMkAM=-1，其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)2定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义干脆写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何学问分析得出这些条件直平分线l交半径OQ于点P(见图245)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程分析：点P在AQ的垂直平分线上，|PQ|=|PA|又P在半径OQ上|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义写出P点的轨迹方程解：连接PAlPQ，|PA|=|PQ|又P在半径OQ上|PO|+|PQ|=2由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆3相关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程这种方法称为相关点法(或代换法)例3已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上随意一点，点P在线段AB上，且有BPPA=12，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程分析：P点运动的缘由是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0)BPPA=12，且P为线段AB的内分点4待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求例4已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0抛物线和双曲线仅有两个公共点，依据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根=1664-4Q4b2=0，即a2=2b(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a2(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果练习题用一小黑板给出1ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的2点P与肯定点F(2，0)的距离和它到肯定直线x=8的距离的比是12，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3求抛物线y2=2px(p0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程答案：义法)由中点坐标公式得： (四)、教学反思求曲线的轨迹方程一般地有干脆法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍 五、布置作业1两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程2动点P到点F1(1，0)的距离比它到F2(3，0)的距离少2，求P点的轨迹3已知圆x2+y2=4上有定点A(2，0)，过定点A作弦AB，并延长到点P，使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程作业答案：1以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=42|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|P点只能在x轴上且x1，轨迹是一条射线六、板书设计 曲线和方程曲线和方程 教学目标 （1）了解用坐标法探讨几何问题的方法，了解解析几何的基本问题（2）理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能依据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念（3）通过曲线方程概念的教学，培育学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点（4）通过求曲线方程的教学，培育学生的转化实力和全面分析问题的实力，帮助学生理解解析几何的思想方法（5）进一步理解数形结合的思想方法 教学建议 教材分析 （1）学问结构 曲线与方程是在初中轨迹概念和本章直线方程概念之后的解析几何的基本概念，在充分探讨曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，探讨曲线的性质曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑依次前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程至于用曲线方程探讨曲线性质则更在其后，本节不予探讨因此，本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大基本问题 （2）重点、难点分析 本节内容教学的重点是使学生理解曲线方程概念和驾驭求曲线方程方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想 本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法 教法建议 （1）曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简洁的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系留意强调曲线方程的完备性和纯粹性 （2）可以结合已经学过的直线方程的学问帮助学生领悟坐标法和解析几何的思想，学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的打算 （3）无论是推断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满意概念中的两条为准则 （4）从集合与对应的观点可以看得更清晰： 设表示曲线上适合某种条件的点的集合； 表示二元方程的解对应的点的坐标的集合 可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即 （5）在学习求曲线方程的方法时，应从详细实例动身，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程(曲线的方程)，这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提示学生留意转化是否为等价的，这将确定第五步如何做同时老师不要生硬地给出或总结出求解步骤，应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得教学中对课本例2的解法分析很重要 这五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即 文字语言中的几何条件数学符号语言中的等式数学符号语言中含动点坐标，的代数方程简化了的，的代数方程 由此可见，曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程” （6）求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中驾驭的，教学中要把握好“度” 教学设计示例 课题：求曲线的方程（第一课时） 教学目标： （1）了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题 （2）进一步理解曲线的方程和方程的曲线 （3）初步驾驭求曲线方程的方法 （4）通过本节内容的教学，培育学生分析问题和转化的实力 教学重点、难点：求曲线的方程 教学用具：计算机 教学方法：启发引导法，探讨法 教学过程（）： 【引入】 1提问：什么是曲线的方程和方程的曲线 学生思索并回答老师强调 2坐标法和解析几何的意义、基本问题 对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过探讨方程的性质间接地来探讨曲线的性质，这一探讨几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何解析几何的两大基本问题就是： （1）依据已知条件，求出表示平面曲线的方程 （2）通过方程，探讨平面曲线的性质 事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题而且要先探讨如何求出曲线方程，再探讨如何用方程探讨曲线本节课就初步探讨曲线方程的求法 【问题】 如何依据已知条件，求出曲线的方程 【实例分析】 例1：设、两点的坐标是、（3，7），求线段的垂直平分线的方程 首先由学生分析：依据直线方程的学问，运用点斜式即可解决 解法一：易求线段的中点坐标为（1，3）， 由斜率关系可求得l的斜率为 于是有 即l的方程为 分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决可是，你们是否想过恰好就是所求的吗？或者说就是直线的方程？依据是什么，有证明吗？ （通过老师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应当证明，证明的依据就是定义中的两条） 证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解 设是线段的垂直平分线上随意一点，则 即 将上式两边平方，整理得 这说明点的坐标是方程的解 （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 设点的坐标是方程的随意一解，则 到、的距离分别为 所以，即点在直线上 综合（1）、（2），是所求直线的方程 至此，证明完毕回顾上述内容我们会发觉一个好玩的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设是线段的垂直平分线上随意一点，最终得到式子，假如去掉脚标，这不就是所求方程吗？可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看： 解法二：设是线段的垂直平分线上随意一点，也就是点属于集合 由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为 将上式两边平方，整理得 果真胜利，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满意明显，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于其次条上边已证 这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又特别自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想因此是个好方法 让我们用这个方法试解如下问题： 例2：点与两条相互垂直的直线的距离的积是常数求点的轨迹方程 分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有所以首先要建立坐标系，明显用已知中两条相互垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系然后仿按例1中的解法进行求解 求解过程略 【概括总结】通过学生探讨，师生共同总结： 分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤： 首先应有坐标系；其次设曲线上随意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最终整理出方程，并证明或修正说得更精确一点就是： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如表示曲线上随意一点的坐标； （2）写出适合条件的点的集合 ； （3）用坐标表示条件，列出方程； （4）化方程为最简形式； （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 一般状况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；假如求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点所以，通常状况下证明可省略，不过特别状况要说明 上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正 下面再看一个问题： 例3：已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程 【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形态，在运动改变的过程中找寻关系 解：设点是曲线上随意一点，轴，垂足是（如图2），那么点属于集合 由距离公式，点适合的条件可表示为 将式移项后再两边平方，得 化简得 由题意，曲线在轴的上方，所以，虽然原点的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为，它是关于轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示 【练习巩固】 题目：在正三角形内有一动点，已知到三个顶点的距离分别为、，且有，求点轨迹方程 分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简洁，如图3所示设、的坐标为、，则的坐标为，的坐标为 依据条件，代入坐标可得 化简得 由于题目中要求点在三角形内，所以，在结合式可进一步求出、的范围，最终曲线方程可表示为 【小结】师生共同总结： （1）解析几何探讨探讨问题的方法是什么？ （2）如何求曲线的方程？ （3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价各步骤的作用，哪步重要，哪步应留意什么？ 【作业】课本第72页练习1，2，3； 【板书设计】 §76求曲线的方程 坐标法： 解析几何： 基本问题： （1） （2） 例1： 例2： 求曲线方程的步骤： 例3 练习： 小结： 作业： 第18页 共18页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 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