高二数学教案：《平面向量的坐标表示》教学设计.docx

高二数学教案：平面向量的坐标表示教学设计高二数学平面对量的坐标表示复习课教案 高二数学平面对量的坐标表示复习课教案 一、学情分析本节课是在学生已学学问的基础上进行绽开学习的，也是对以前所学学问的巩固和发展，但对学生的学问打算状况来看，学生对相关基础学问驾驭状况是很好，所以在复习时要刚好对学生相关学问进行提问，然后开展对本节课的巩固性复习。而本节课学生会遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面对量的坐标表示；平面对量的坐标运算。二、考纲要求1.会用坐标表示平面对量的加法、减法与数乘运算.2.理解用坐标表示的平面对量共线的条件.3.驾驭数量积的坐标表达式,会进行平面对量数量积的运算.4.能用坐标表示两个向量的夹角,理解用坐标表示的平面对量垂直的条件.三、教学过程(一)学问梳理:1.向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则_|_（二）平面对量坐标运算1向量加法、减法、数乘向量设(x1，y1)，(x2，y2)，则+2.向量平行的坐标表示设(x1，y1)，(x2，y2)，则_. （三）核心考点·习题演练考点1.平面对量的坐标运算例1.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设(1)求3+-3;(2)求满意=m+n的实数m,n;练：（2022江苏,6)已知向量=(2,1),=(1,-2),若m+n=(9,-8)(m,nR),则m-n的值为.考点2平面对量共线的坐标表示例2:平面内给定三个向量=(3,2),=(-1,2),=(4,1)若(+k)(2-),求实数k的值;练：(2022，四川，4)已知向量=(1,2),=(1,0),=(3,4).若为实数,(+),则=()思索:向量共线有哪几种表示形式?两向量共线的充要条件有哪些作用?方法总结:1.向量共线的两种表示形式设a=(x1,y1),b=(x2,y2),aba=b(b0);abx1y2-x2y1=0.至于运用哪种形式,应视题目的详细条件而定,一般状况涉及坐标的应用.2.两向量共线的充要条件的作用推断两向量是否共线(平行的问题;另外,利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.考点3平面对量数量积的坐标运算例3“已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为;的最大值为.【提示】解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可建立直角坐标系利用向量的数量积的坐标表示来运算，这样可以使数量积的运算变得简捷.练：(2022,安徽，13）设=(1,2),=(1,1),=+k.若,则实数k的值等于() 【思索】两非零向量的充要条件:·=0.解题心得:(1)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可建立直角坐标系利用向量的数量积的坐标表示来运算，这样可以使数量积的运算变得简捷.(3)两非零向量ab的充要条件:a·b=0x1x2+y1y2=0.考点4：平面对量模的坐标表示例4：(2022湖南,理8)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC,若点P的坐标为(2,0),则的最大值为()A.6B.7C.8D.9练：（2022，上海，12）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，-1），P是曲线上一个动点，则的取值范围是？解题心得:求向量的模的方法:(1)公式法,利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;(2)几何法,利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.五、课后作业（课后习题1、2题） 平面对量坐标表示 平面对量坐标表示年级高一学科数学课题平面对量坐标表示授课时间撰写人学习重点平面对量的坐标运算 学习难点对平面对量坐标运算的理解学习目标1.会用坐标表示平面对量的加减与数乘运算；2.能用两端点的坐标，求所构造向量的坐标； 教学过程一自主学习思索1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设=(x1,y1)=(x2,y2)则x1iy1j，x2iy2j，依据向量的线性运算性质，向量，（R）如何分别用基底i、j表示？思索2：依据向量的坐标表示，向量，的坐标分别如何？();();().两个向量和与差的坐标运算法则：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.思索3：已知点A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量的坐标如何？ 二师生互动例1已知，求和. 例2已知平行四边形的顶点，试求顶点的坐标. 变式：若与的交点为，试求点的坐标. 练1.已知向量的坐标，求，的坐标.练2.已知、两点的坐标，求，的坐标. 三巩固练习1.若向量与向量相等，则（）A.B.C.D.2.已知，点的坐标为，则的坐标为（）A.B.C.D.3.已知，则等于（）A.B.C.D.4.设点，且，则点的坐标为.5.作用于原点的两力，为使它们平衡，则需加力.6.已知A（-1，5）和向量=(2,3)，若=3，则点B的坐标为_。A(7,4)B(5,4)C(7,14)D(5,14)7已知点，及，求点、的坐标。 四课后反思 五课后巩固练习1.若点、，且，则点的坐标为多少？点的坐标为多少？向量的坐标为多少？ 2.已知向量，试用来表示. 平面对量共线的坐标表示 平面对量共线的坐标表示教学目的：（1）理解平面对量的坐标的概念；（2）驾驭平面对量的坐标运算；（3）会依据向量的坐标，推断向量是否共线.教学重点：平面对量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的精确性授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1平面对量的坐标表示分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面对量基本定理知，有且只有一对实数、，使得把叫做向量的（直角）坐标，记作其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，特殊地，.2平面对量的坐标运算若，则，.若，则二、讲解新课：()的充要条件是x1y2-x2y1=0设=(x1，y1)，=(x2，y2)其中.由=得，(x1，y1)=(x2，y2)消去，x1y2-x2y1=0探究：（1）消去时不能两式相除，y1，y2有可能为0，x2，y2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成x1，x2有可能为0(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：()三、讲解范例：例1已知=(4，2)，=(6，y)，且，求y.例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试推断A，B，C三点之间的位置关系.例3设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.例4若向量=(-1，x)与=(-x，2)共线且方向相同，求x解：=(-1，x)与=(-x，2)共线(-1)×2-x(-x)=0x=±与方向相同x=例5已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？解：=(1-(-1)，3-(-1)=(2，4)，=(2-1，7-5)=(1，2)又2×2-4×1=0又=(1-(-1)，5-(-1)=(2，6)，=(2，4)，2×4-2×60与不平行A，B，C不共线AB与CD不重合ABCD四、课堂练习：1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且ab，则y=（）A.6B.5C.7D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（）?A.-3B.-1C.1D.33.若=i+2j，=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x、y的值可能分别为（）A.1，2B.2，2C.3，2D.2，44.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且ab，则y=.5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为.6.已知ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记： 2.3.3平面对量的正交分解及坐标表示平面对量的坐标运算 23.22.3.3平面对量的正交分解及坐标表示平面对量的坐标运算 预习课本P9498，思索并完成以下问题(1)怎样分解一个向量才为正交分解？(2)如何由a，b的坐标求ab，ab，a的坐标？新知初探1平面对量正交分解的定义把一个平面对量分解为两个相互垂直的向量2平面对量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得axiyj，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标(3)坐标表示：a(x，y)(4)特别向量的坐标：i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)点睛(1)平面对量的正交分解实质上是平面对量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2相互垂直(2)由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即abx1x2且y1y2，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)3平面对量的坐标运算设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和ab(x1x2，y1y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差ab(x1x2，y1y2)数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标a(x1，y1)重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)点睛(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的详细位置无关(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变小试身手1推断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“×”)(1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关()(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()(3)两向量差的坐标与两向量的依次无关()(4)点的坐标与向量的坐标相同()答案：(1)(2)(3)×(4)×2若a(2,1)，b(1,0)，则3a2b的坐标是()A(5,3)B(4,3)C(8,3)D(0，1)答案：C3若向量(1,2)，(3,4)，则()A(4,6)B(4，6)C(2，2)D(2,2)答案：A4若点M(3,5)，点N(2,1)，用坐标表示向量_.答案：(1，4) 平面对量的坐标表示 典例如图，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角求点B和点D的坐标和与的坐标解由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点设B(x1，y1)，D(x2，y2)由三角函数的定义，得x1cos30°32，y1sin30°12，B32，12.x2cos120°12，y2sin120°32，D12，32.32，12，12，32. 求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标 活学活用已知O是坐标原点，点A在第一象限，|43，xOA60°，(1)求向量的坐标；(2)若B(3，1)，求的坐标解：(1)设点A(x，y)，则x43cos60°23，y43sin60°6，即A(23，6)，(23，6)(2)(23，6)(3，1)(3，7).平面对量的坐标运算典例(1)已知三点A(2，1)，B(3,4)，C(2,0)，则向量32_，2_.(2)已知向量a，b的坐标分别是(1,2)，(3，5)，求ab，ab,3a,2a3b的坐标解析(1)A(2，1)，B(3,4)，C(2,0)，(1,5)，(4，1)，(5，4)323(1,5)2(4，1)(38,152)(11,13)2(5，4)2(1,5)(52，410)(7，14)答案(11,13)(7，14)(2)解：ab(1,2)(3，5)(2，3)，ab(1,2)(3，5)(4,7)，3a3(1,2)(3,6)，2a3b2(1,2)3(3，5)(2,4)(9，15)(7，11)平面对量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则干脆应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行 活学活用1设平面对量a(3,5)，b(2,1)，则a2b()A(7,3)B(7,7)C(1,7)D(1,3)解析：选A2b2(2,1)(4,2)，a2b(3,5)(4,2)(7,3)2已知M(3，2)，N(5，1)，12，则P点坐标为_解析：设P(x，y)，(x3，y2)，(8,1)，1212(8,1)4，12，x34，y212.x1，y32.答案：1，32 向量坐标运算的综合应用典例已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及t，t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在其次象限？解因为t(1,2)t(3,3)(13t,23t)，若点P在x轴上，则23t0，所以t23.若点P在y轴上，则13t0，所以t13.若点P在其次象限，则13t0，23t0，所以23t13.一题多变1变条件本例中条件“点P在x轴上，点P在y轴上，点P在其次象限”若换为“B为线段AP的中点”试求t的值解：由典例知P(13t,23t)，则113t24，223t25，解得t2.2变设问本例条件不变，试问四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由解：(1,2)，(33t,33t)若四边形OABP为平行四边形，则，所以33t1，33t2，该方程组无解故四边形OABP不能成为平行四边形向量中含参数问题的求解(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，假如横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之变更(2)解答这类由参数确定点的位置的题目，关键是列出满意条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的层级一学业水平达标1假如用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为()A2i3jB4i2jC2ijD2ij解析：选C记O为坐标原点，则2i3j，4i2j，所以2ij.2已知a，且A12，4，B14，2，又12，则a等于()A18，1B14，3C18，1D14，3解析：选Aa14，212，414，2，a12a18，1.3已知向量a(1,2)，2ab(3,2)，则b()A(1，2)B(1,2)C(5,6)D(2,0)解析：选Ab(3,2)2a(3,2)(2,4)(1，2)4在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)，(1,3)，则()A(2,4)B(3,5)C(1,1)D(1，1)解析：选C()(1,1)5已知M(2,7)，N(10，2)，点P是线段MN上的点，且2，则P点的坐标为()A(14,16)B(22，11)C(6,1)D(2,4)解析：选D设P(x，y)，则(10x，2y)，(2x,7y)，由2得10x42x，2y142y，所以x2，y4.6(江苏高考)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_解析：manb(2mn，m2n)(9，8)，2mn9，m2n8，m2，n5，mn253.答案：37若A(2，1)，B(4,2)，C(1,5)，则2_.解析：A(2，1)，B(4,2)，C(1,5)，(2,3)，(3,3)2(2,3)2(3,3)(2,3)(6,6)(4,9)答案：(4,9)8已知O是坐标原点，点A在其次象限，|6，xOA150°，向量的坐标为_解析：设点A(x，y)，则x|cos150°6cos150°33，y|sin150°6sin150°3，即A(33，3)，所以(33，3)答案：(33，3)9已知a，B点坐标为(1,0)，b(3,4)，c(1,1)，且a3b2c，求点A的坐标解：b(3,4)，c(1,1)，3b2c3(3,4)2(1,1)(9,12)(2,2)(7,10)，即a(7,10).又B(1,0)，设A点坐标为(x，y)，则(1x,0y)(7,10)，1x7，0y10x8，y10，即A点坐标为(8，10)10已知向量(4,3)，(3，1)，点A(1，2)(1)求线段BD的中点M的坐标(2)若点P(2，y)满意(R)，求与y的值解：(1)设B(x1，y1)，因为(4,3)，A(1，2)，所以(x11，y12)(4,3)，所以x114，y123，所以x13，y11，所以B(3,1)同理可得D(4，3)，设BD的中点M(x2，y2)，则x234212，y21321，所以M12，1.(2)由(3,1)(2，y)(1,1y)，(4，3)(3,1)(7，4)，又(R)，所以(1,1y)(7，4)(7，4)，所以17，1y4，所以17，y37. 层级二应试实力达标1已知向量(2,4)，(0,2)，则12()A(2，2)B(2,2)C(1,1)D(1，1)解析：选D1212()12(2，2)(1，1)，故选D.2已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(3,4)，且c1a2b，则1，2的值分别为()A2,1B1，2C2，1D1,2解析：选Dc1a2b，(3,4)1(1,2)2(2,3)(122,2132)，1223，21324，解得11，22.3已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，则顶点D的坐标为()A2，72B2，12C(3,2)D(1,3)解析：选A设点D(m，n)，则由题意得(4,3)2(m，n2)(2m,2n4)，故2m4，2n43，解得m2，n72，即点D2，72，故选A.4对于随意的两个向量m(a，b)，n(c，d)，规定运算“?”为m?n(acbd，bcad)，运算“?”为m?n(ac，bd)设f(p，q)，若(1,2)?f(5,0)，则(1,2)?f等于()A(4,0)B(2,0)C(0,2)D(0，4)解析：选B由(1,2)f(5,0)，得p2q5，2pq0，解得p1，q2，所以f(1，2)，所以(1,2)?f(1,2)?(1，2)(2,0)5已知向量i(1,0)，j(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：存在唯一的一对实数x，y，使得a(x，y)；若x1，x2，y1，y2R，a(x1，y1)(x2，y2)，则x1x2，且y1y2；若x，yR，a(x，y)，且a0，则a的起点是原点O；若x，yR，a0，且a的终点坐标是(x，y)，则a(x，y)其中，正确结论有_个解析：由平面对量基本定理，可知正确；例如，a(1,0)(1,3)，但11，故错误；因为向量可以平移，所以a(x，y)与a的起点是不是原点无关，故错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故错误答案：16已知A(3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在AOB内，|OC|22，且AOC4.设(R)，则_.解析：过C作CEx轴于点E，由AOC4知，|OE|CE|2，所以，即，所以(2,0)(3,0)，故23.答案：237在ABC中，已知A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标解：A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，(37,58)(4，3)，(47,38)(3，5)D是BC的中点，12()12(43，35)12(7，8)72，4.M，N分别为AB，AC的中点，F为AD的中点121272，474，2.8在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，(1)若0，求的坐标(2)若mn(m，nR)，且点P在函数yx1的图象上，求mn.解：(1)设点P的坐标为(x，y)，因为0，又(1x,1y)(2x,3y)(3x,2y)(63x,63y)所以63x0，63y0，解得x2，y2.所以点P的坐标为(2,2)，故(2,2)(2)设点P的坐标为(x0，y0)，因为A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，所以(2,3)(1,1)(1,2)，(3,2)(1,1)(2,1)，因为mn，所以(x0，y0)m(1,2)n(2,1)(m2n,2mn)，所以x0m2n，y02mn，两式相减得mny0x0，又因为点P在函数yx1的图象上，所以y0x01，所以mn1. 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