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2022人教A版高中数学必修4.1平面向量数量积的物理背景及其含义讲义平面对量的数量积的物理背景及其含义 2.4.1平面对量的数量积的物理背景及其含义 一、教材分析本节学习的关键是启发学生理解平面对量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面对量数量积的相识.主要学问点：平面对量数量积的定义及几何意义；平面对量数量积的5个重要性质；平面对量数量积的运算律.二教学目标1了解平面对量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2体会平面对量的数量积与向量投影的关系，理解驾驭数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的推断和运算；3体会类比的数学思想和方法，进一步培育学生抽象概括、推理论证的实力。三、教学重点难点重点：1、平面对量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。难点：平面对量数量积的概念四、学情分析我们的学生属于平行分班，没有试验班，学生已有的学问和试验水平有差距。有些学生对于基本概念不清晰，所以讲解时须要具体五、教学方法1试验法：多媒体、实物投影仪。2学案导学：见后面的学案。3新授课教学基本环节：预习检查、总结怀疑情境导入、展示目标合作探究、精讲点拨反思总结、当堂检测发导学案、布置预习六、课前打算1学生的学习打算：预习学案。2老师的教学打算：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延长拓展学案。七、课时支配：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结怀疑检查落实了学生的预习状况并了解了学生的怀疑，使教学具有了针对性。 （二）情景导入、展示目标。创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经探讨了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。2、提出问题2：请同学们接着回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是根据怎样的依次探讨了这种运算的？期望学生回答：物理模型概念性质运算律应用3、新课引入：本节课我们仍旧根据这种探讨思路来探讨向量的另外一种运算：平面对量数量积的物理背景及其含义（三）合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W=|F|S|cos。（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：W（功）是量，F（力）是量，S（位移）是量，是。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量bcos叫做与的数量积（或内积），记作：，即：=cos（2）定义说明：记法“”中间的“”不行以省略，也不行以用“”代替。“规定”：零向量与任何向量的数量积为零。（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。（4）学生探讨，并完成下表：的范围0°90°=90°0°180°的符号 例1：已知，当，与的夹角是60°时，分别求.解：当时，若与同向，则它们的夹角°，cos0°3×6×118；若与反向，则它们的夹角180°，cos180°3×6×（-1）18；当时，它们的夹角90°，；当与的夹角是60°时，有cos60°3×6×9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0°，180°，因此，当时，有0°或180°两种可能.变式：对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角。 探究二：探讨数量积的意义1.给出向量投影的概念：如图，我们把cos（cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，记做：OB1=cos2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？期望学生回答：数量积等于的长度与在的方向上的投影cos的乘积。 3.探讨数量积的物理意义请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积。 探究三：探究数量积的运算性质1、提出问题6：比较与×的大小，你有什么结论？2、明晰：数量积的性质 3.数量积的运算律（1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？预料：学生可能会提出以下猜想：=（）=()（+）=+（2）、分析猜想：猜想的正确性是自不待言的。关于猜想的正确性，请同学们先来探讨：揣测的左右两边的结果各是什么？它们肯定相等吗？期望学生回答：左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量共线的向量，明显在向量与向量不共线的状况下揣测是不正确的。（3）、明晰：数量积的运算律： 例2、（师生共同完成）已知=6，=4,与的夹角为60°，求（+2）（-3），并思索此运算过程类似于实数哪种运算？解：（+2）（-3）=.-3.+2.-6.=36-3×4×6×0.5-6×4×4 =-72评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律 变式：（1）(+)2=2+2+2（2）(+)(-)=22 （四）反思总结，当堂检测。老师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。设计意图：引导学生构建学问网络并对所学内容进行简洁的反馈订正。（课堂实录）（五）发导学案、布置预习。我们已经学习平面对量数量积的物理背景及含义，那么，在下一节课我们一起来学习数量积的坐标运算。模。夹角。这节课后大家可以先预习这一部分，着重分析坐标的作用设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。老师课后刚好批阅本节的延长拓展训练。九、板书设计 十、教学反思本课的设计采纳了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最终进行当堂检测，课后进行延长拓展，以达到提高课堂效率的目的。我首先支配让学生探讨影响数量积结果的因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和 几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的相识。通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。数量积的性质和运算律是数量积概念的延长，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终根据先创设肯定的情景，让学生去发觉结论，老师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培育了学生由特别到一般的思维品质和类比创新的意识。临清三中数学组编写人：王晓燕审稿人：刘桂江李怀奎2.4.1平面对量的数量积的物理背景及其含义 课前预习学案一、预习目标：预习平面对量的数量积及其几何意义；平面对量数量积的重要性质及运算律；二、预习内容：1.平面对量数量积（内积）的定义：2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区分3“投影”的概念：作图4.向量的数量积的几何意义：5两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.1e=e=2=设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.e=e=3当与同向时，=当与反向时，=特殊的=|2或4cos=5| 三、提出怀疑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些怀疑，请把它填在下面的表格中怀疑点怀疑内容 课内探究学案一、学习目标1说出平面对量的数量积及其几何意义；2.学会用平面对量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面对量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；学习重难点：。平面对量的数量积及其几何意义二、学习过程创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经探讨了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？ 2、提出问题2：请同学们接着回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是根据怎样的依次探讨了这种运算的？ 3、新课引入：本节课我们仍旧根据这种探讨思路来探讨向量的另外一种运算：平面对量数量积的物理背景及其含义探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W=（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：W（功）是量，F（力）是量，S（位移）是量，是。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量cos叫做与的数量积（或内积），记作：，即：=cos（2）定义说明：记法“”中间的“”不行以省略，也不行以用“”代替。“规定”：零向量与任何向量的数量积为零。（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？ （4）学生探讨，并完成下表：的范围0°90°=90°0°180°的符号 例1：已知，当，与的夹角是60°时，分别求.解：变式：.对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角. 探究二：探讨数量积的意义1.给出向量投影的概念：如图，我们把cos（cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，记做：OB1=cos2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？ 3.探讨数量积的物理意义请同学们用一句话来概括功的数学本质： 探究三：探究数量积的运算性质1、提出问题6：比较与×的大小，你有什么结论？ 2、明晰：数量积的性质 3.数量积的运算律（1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也用？ （2）、明晰：数量积的运算律： 例2、（师生共同完成）已知=6，=4,与的夹角为60°，求（+2）（-3），并思索此运算过程类似于实数哪种运算？解： 变式：（1）(+)2=2+2+2（2）(+)(-)=22 （三）反思总结 (四)当堂检测 1.已知|=5，|=4，与的夹角=120o，求. 2.已知|=6，|=4，与的夹角为60o求(+2)(-3).3.已知|=3，|=4，且与不共线，k为何值时，向量+k与-k相互垂直. 4.已知，当，与的夹角是60°时，分别求. 5.已知|=1，|=，(1)若，求；(2)若、的夹角为°，求|+|；(3)若-与垂直，求与的夹角. 6.设m、n是两个单位向量，其夹角为°，求向量=2m+n与=2n-3m的夹角. 课后练习与提高1.已知|=1，|=，且(-)与垂直，则与的夹角是（）A.60°B.30°C.135°D.°2.已知|=2，|=1，与之间的夹角为，那么向量m=-4的模为（）A.2B.2C.6D.123.已知、是非零向量，则|=|是(+)与(-)垂直的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件?C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量、的夹角为，|=2，|=1，则|+|-|=.5.已知+=2i-8j，-=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么=.6.已知、c与、的夹角均为60°，且|=1，|=2，|c|=3，则(+2-c)_. 参考答案：1.D2.B3.A4.5.1446.11 高二数学平面对量数量积的物理背景及含义2.4.1平面对量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.驾驭平面对量的数量积及其几何意义；2.驾驭平面对量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面对量的数量积可以处理垂直的问题；4.驾驭向量垂直的条件.教学重点：平面对量的数量积定义教学难点：平面对量数量积的定义及运算律的理解和平面对量数量积的应用教学过程：一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角.说明：（1）当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直，记；（4）留意在两向量的夹角定义，两向量必需是同起点的.范围0180（2）两向量共线的判定（3）练习1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且ab，则y=（C）A.6B.5C.7D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（B）?A.-3B.-1C.1D.3（4）力做的功：W=|F|s|cos，是F与s的夹角.二、讲解新课：1平面对量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cos叫与的数量积，记作ab，即有ab=|a|b|cos，（）.并规定0向量与任何向量的数量积为0.探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区分？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所确定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c.但是ab=bca=c如右图：ab=|a|b|cos=|b|OA|，bc=|b|c|cos=|b|OA|ab=bc但ac(5)在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)ca(bc)明显，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.2“投影”的概念：作图定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|.3向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，1、abab=02、当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=|a|b|.特殊的aa=|a|2或|ab|a|b|cos=探究：平面对量数量积的运算律1交换律：ab=ba证：设a，b夹角为，则ab=|a|b|cos，ba=|b|a|cosab=ba2数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)证：若0，(a)b=|a|b|cos，(ab)=|a|b|cos，a(b)=|a|b|cos，若0，(a)b=|a|b|cos()=|a|b|(cos)=|a|b|cos，(ab)=|a|b|cos，a(b)=|a|b|cos()=|a|b|(cos)=|a|b|cos.3安排律：(a+b)c=ac+bc在平面内取一点O，作=a，=b，=c，a+b（即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2|c|a+b|cos=|c|a|cos1+|c|b|cos2，c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc说明：（1）一般地，()（）（2），0（3）有如下常用性质：，（）（）三、讲解范例：例1证明：()例2已知|a|=12，|b|=9，求与的夹角。例3已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60o求：（1）(a+2b)(a-3b).（2）|a+b|与|a-b|.（利用）例4已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb相互垂直.四、课堂练习：1P106面1、2、3题。2下列叙述不正确的是（）A.向量的数量积满意交换律B.向量的数量积满意安排律C.向量的数量积满意结合律D.ab是一个实数3|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（）A.平行B.垂直C.夹角为D.不平行也不垂直4已知|a|=8，|b|=10，|a+b|=16，求a与b的夹角.五、小结：1平面对量的数量积及其几何意义；2平面对量数量积的重要性质及运算律；3向量垂直的条件.六、作业：习案作业二十三。2022人教A版中学数学必修423.4平面对量共线的坐标表示讲义 23.4平面对量共线的坐标表示预习课本P98100，思索并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？新知初探平面对量共线的坐标表示前提条件a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0结论当且仅当x1y2x2y10时，向量a、b(b0)共线 点睛(1)平面对量共线的坐标表示还可以写成x1x2y1y2(x20，y20)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；(2)当a0，b0时，ab，此时x1y2x2y10也成立，即对随意向量a，b都有：x1y2x2y10ab.小试身手1推断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“×”)(1)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，若ab，则必有x1y2x2y1.()(2)向量(2,3)与向量(4，6)反向()答案：(1)(2)2若向量a(1,2)，b(2,3)，则与ab共线的向量可以是()A(2,1)B(1,2)C(6,10)D(6,10)答案：C3已知a(1,2)，b(x,4)，若ab，则x等于()A12B.12C2D2答案：D4已知向量a(2,3)，ba，向量b的起点为A(1,2)，终点B在x轴上，则点B的坐标为_答案：73，0向量共线的判定 典例(1)已知向量a(1,2)，b(，1)，若(a2b)(2a2b)，则的值等于()A.12B.13C1D2(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，3)推断与是否共线？假如共线，它们的方向相同还是相反？解析(1)法一：a2b(1,2)2(，1)(12，4)，2a2b2(1,2)2(，1)(22，2)，由(a2b)(2a2b)可得2(12)4(22)0，解得12.法二：假设a，b不共线，则由(a2b)(2a2b)可得a2b(2a2b)，从而12，22，方程组明显无解，即a2b与2a2b不共线，这与(a2b)(2a2b)冲突，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以121，即12.答案A(2)解(0,4)(2,1)(2,3)，(5，3)(1,3)(4，6)，(2)×(6)3×40，共线又2，方向相反综上，与共线且方向相反向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由ab(b0)推出ab.(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2x2y10干脆求解活学活用已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行，平行时它们的方向相同还是相反？解：kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，若kab与a3b平行，则4(k3)10(2k2)0，解得k13，此时kab13ab13(a3b)，故kab与a3b反向k13时，kab与a3b平行且方向相反三点共线问题 典例(1)已知(3,4)，(7,12)，(9,16)，求证：A，B，C三点共线；(2)设向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？解(1)证明：(4,8)，(6,12)，32，即与共线又与有公共点A，A，B，C三点共线(2)若A，B，C三点共线，则，共线，(4k，7)，(10k，k12)，(4k)(k12)7(10k)0.解得k2或k11. 有关三点共线问题的解题策略(1)要推断A，B，C三点是否共线，一般是看与，或与，或与是否共线，若共线，则A，B，C三点共线；(2)运用A，B，C三点共线这一条件建立方程求参数时，利用，或，或都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式活学活用设点A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，与共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？解：(2x,2)(x,1)(x,1)，(1,2x)(2x,2)(12x,2x2)，(5,3x)(1,2x)(4，x)由与共线，所以x21×4，所以x±2.又与方向相同，所以x2.此时，(2,1)，(3,2)，而2×23×1，所以与不共线，所以A，B，C三点不在同一条直线上所以A，B，C，D不在同一条直线上向量共线在几何中的应用 题点一：两直线平行推断1.如图所示，已知直角梯形ABCD，ADAB，AB2AD2CD，过点C作CEAB于E，用向量的方法证明：DEBC；证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|1，则|1，|2.CEAB，而ADDC，四边形AECD为正方形，可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(1,1)(1,1)(0,0)(1,1)，(0,1)(1,0)(1,1)，即DEBC. 题点二：几何形态的推断2已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形证明：由已知得，(4,3)(1,0)(3,3)，(0,2)(2,4)(2，2)3×(2)3×(2)0，与共线(1,2)，(2,4)(4,3)(2,1)，(1)×12×(2)0，与不共线四边形ABCD是梯形(2,1)，(1,2)，|5|，即BCAD.故四边形ABCD是等腰梯形题点三：求交点坐标3.如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标解：法一：设tt(4,4)(4t,4t)，则(4t,4t)(4,0)(4t4,4t)，(2,6)(4,0)(2,6)由，共线的条件知(4t4)×64t×(2)0，解得t34.(3,3)P点坐标为(3,3)法二：设P(x，y)，则(x，y)，(4,4)，共线，4x4y0.又(x2，y6)，(2，6)，且向量，共线，6(x2)2(6y)0.解组成的方程组，得x3，y3，点P的坐标为(3,3) 应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤层级一学业水平达标1下列向量组中，能作为表示它们所在平面内全部向量的基底的是()Ae1(0,0)，e2(1，2)Be1(1,2)，e2(5,7)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e212，34解析：选BA中向量e1为零向量，e1e2；C中e112e2，e1e2；D中e14e2，e1e2，故选B.2已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a(2，)，若a，则实数的值为()A23B.32C.23D32解析：选C依据A，B两点的坐标，可得(3,1)，a，2×130，解得23，故选C.3已知A(2，1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a是()A(2,1)B(6，3)C(1,2)D(4，8)解析：选D(1,2)，向量(2,1)、(6，3)、(1,2)与(1,2)不平行；(4，8)与(1,2)平行且方向相反4已知向量a(x,2)，b(3，1)，若(ab)(a2b)，则实数x的值为()A3B2C4D6 解析：选D因为(ab)(a2b)，ab(x3,1)，a2b(x6,4)，所以4(x3)(x6)0，解得x6.5设a32，tan，bcos，13，且ab，则锐角为()A30°B60°C45°D75°解析：选Aab，32×13tancos0，即sin12，30°.6已知向量a(3x1,4)与b(1,2)共线，则实数x的值为_解析：向量a(3x1,4)与b(1,2)共线，2(3x1)4×10，解得x1.答案：17已知A(1,4)，B(x，2)，若C(3,3)在直线AB上，则x_.解析：(x1，6)，(4，1)，(x1)240，x23.答案：238已知向量a(1,2)，b(2,3)，若ab与ab共线，则与的关系是_解析：a(1,2)，b(2,3)，ab(1,2)(2,3)(1,5)，ab(1,2)(2,3)(2，23)，又(ab)(ab)，1×(23)5(2)0，.答案：9已知A，B，C三点的坐标为(1,0)，(3，1)，(1,2)，并且13，13，求证：.证明：设E，F的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，依题意有(2,2)，(2,3)，(4，1)13，(x11，y1)13(2,2)点E的坐标为13，23.同理点F的坐标为73，0，83，23.又83×(1)4×230，.10已知向量a(2,1)，b(1,1)，c(5,2)，mbc(为常数)(1)求ab；(2)若a与m平行，求实数的值解：(1)因为a(2,1)，b(1,1)，所以ab(2,1)(1,1)(3,2)(2)因为b(1,1)，c(5,2)，所以mbc(1,1)(5,2)(5，2)又因为a(2,1)，且a与m平行，所以2(2)5，解得1.层级二应试实力达标1已知平面对量a(x,1)，b(x，x2)，则向量ab()A平行于x轴B平行于第一、三象限的角平分线C平行于y轴D平行于其次、四象限的角平分线解析：选C因为ab(0,1x2)，所以ab平行于y轴2若A(3，6)，B(5,2)，C(6，y)三点共线，则y()A13B13C9D9解析：选DA，B，C三点共线，而(8,8)，(3，y6)，8(y6)8×30，即y9.3已知向量a(1,0)，b(0,1)，ckab(kR)，dab，假如cd，那么()Ak1且c与d同向Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向Dk1且c与d反向解析：选Da(1,0)，b(0,1)，若k1，则cab(1,1)，dab(1，1)，明显，c与d不平行，解除A、B.若k1，则cab(1,1)，dab(1,1)，即cd且c与d反向 4已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(1，5)，则第四个顶点的坐标是()A(1,5)或(5,5)B(1,5)或(3，5)C(5，5)或(3，5)D(1,5)或(5，5)或(3，5)解析：选D设A(1,0)，B(3,0)，C(1，5)，第四个顶点为D，若这个平行四边形为ABCD，则，D(3，5)；若这个平行四边形为ACDB，则，D(5，5)；若这个平行四边形为ACBD，则，D(1,5)综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，5)或(3，5)5已知(6,1)，(x，y)，(2，3)，则x2y的值为_解析：(6,1)(x，y)(2，3)(x4，y2)，(x4，y2)(x4，y2)，x(y2)(x4)y0，即x2y0.答案：06已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满意的条件为_解析：若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线(3,1)，(2m,1m)，3(1m)2m，即m12.答案：m127已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若A，B，C三点共线，求a与b之间的数量关系；(2)若2，求点C的坐标解：(1)若A，B，C三点共线，则与共线(3，1)(1,1)(2，2)，(a1，b1)，2(b1)(2)(a1)0，ab2.(2)若2，则(a1，b1)(4，4)，a14，b14，a5，b3，点C的坐标为(5，3)8.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直线AC与BD交点P的坐标解：设P(x，y)，则(x1，y)，(5,4)，(3,6)，(4,0)由B，P，D三点共线可得(5，4)又(54,4)，由于与共线得，(54)×6120.解得47，47207，167，P的坐标为277，167. 中学数学必修四2.4平面对量的数量积小结导学案 2.4平面对量的数量积小结【学习目标】1.理解数量积的含义驾驭数量积的坐标表达式，会进行平面对量数量积的运算2能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积推断两个平面对量的垂直关系3会用向量方法解决某些简洁的实际问题【新知自学】学问梳理：1向量的夹角已知两个_向量a和b，作OAa，OBb，则_称作向量a与向量b的夹角，记作a，b向量夹角a，b的范围是_，且_b，a若a，b_，则a与b垂直，记作_2平面对量的数量积_叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab_.可见，ab是实数，可以等于正数、负数、零其中|a|cos(|b|cos)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影数量积的记号是ab，不能写成a×b，也不能写成ab.向量数量积满意下列运算律：ab_(交换律)(ab)c_(安排律)(a)b_a(b)(数乘结合律)3平面对量数量积的性质：已知非零向量a(a1，a2)，b(b1，b2)性质几何表示坐标表示定义ab|a|b|cosa，baba1b1a2b2模aa|a|2或|a|aa|a|a21a22 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1)|AB| abab0a1b1a2b20夹角cosa，bab|a|b|(|a|b|0)cosa，ba1b1a2b2a21a22b21b22 |ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|a1b1a2b2|a21a22b21b22 对点练习：1已知下列各式：|a|2a2；ab|a|2ba；(ab)2a2b2；(ab)2a22abb2，其中正确的有()A1个B2个C3个D4个2设向量a(1,0)，b12，12，则下列结论中正确的是()A|a|b|Bab22CabDab与b垂直3已知a(1，3)，b(4,6)，c(2,3)，则(bc)a等于()A(26，78)B(28，42)C52D784若向量a，b满意|a|1，|b|2且a与b的夹角为3，则|ab|_. 5已知|a|2，|b|4且a(ab)，则a与b的夹角是_ 【合作探究】典例精析：一、平面对量数量积的运算例1、（1)在等边ABC中，D为AB的中点，AB5，求ABBC，|CD|；(2)若a(3，4)，b(2,1)，求(a2b)(2a3b)和|a2b|. 变式练习：如图，在菱形ABCD中，若AC4，则CAAB_. 规律总结：向量数量积的运算与实数运算不同：(1)若a，b为实数，且ab0，则有a0或b0，但ab0却不能得出a0或b0.(2)若a，b，cR，且a0，则由abac可得bc,但由abac及a0却不能推出bc.(3)若a，b，cR，则a(bc)(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(ab)c与a(bc)一般是不相等的，向量的数量积是不满意结合律的(4)若a，bR，则|ab|a|b|，但对于向量a，b，却有|ab|a|b|，等号当且仅当ab时成立二、两平面对量的夹角与垂直例2、已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)若ABa，BCb，求ABC的面积规律总结：1数量积大于0说明两向量的夹角为锐角或共线同向；数量积等于0说明两向量的夹角为直角；数量积小于0说明两向量的夹角为钝角或反向2当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及|a|，|b|或得出它们的关系变式练习：已知平面内A，B，C三点在同一条直线上，OA(2，m)，OB(n,1)，OC(5，1)，且OAOB，求实数m，n的值 三、求平面对量的模例3、（1）设单位向量m(x，y)，b(2，1)若mb，则|x2y|_.（2）已知向量acos3x2，sin3x2，bcosx2，sinx2，且x3，4.(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab|ab|，求f(x)的最大值和最小值 规律总结：利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要驾驭此类问题的处理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|a±b|2(a±b)2a2±2abb2；(3)若a(x，y)，则|a|x2y2.变式练习：已知a与b是两个非零向量，且|a|b|ab|，求a与ab的夹角 四、平面对量的应