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九年级数学下1.1锐角三角函数（新浙教版）锐角三角函数 其次十八章锐角三角函数本章小结小结1本章概述锐角三角函数、解直角三角形，它们既是相像三角形及函数的接着，也是接着学习三角形的基础本章学问首先从工作和生活中常常遇到的问题人手，探讨直角三角形的边角关系、锐角三角函数等学问，进而学习解直角三角形，进一步解决一些简洁的实际问题只有驾驭锐角三角函数和直角三角形的解法，才能接着学习随意角的三角函数和解斜三角形等学问，同时解直角三角形的学问有利于培育数形结合思想，应坚固驾驭小结2本章学习重难点【本章重点】通过实例相识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数(sinA，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值，会运用三角函数学问解决与直角三角形有关的简洁的实际问题【本章难点】综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解决实际问题【学习本章应留意的问题】在本章的学习中，应正确驾驭四种三角函数的定义，熟记特别角的三角函数值，要擅长运用方程思想求直角三角形的某些未知元素，会运用转化思想通过添加协助线把不规则的图形转化为规则的图形来求解，会用数学建模思想和转化思想把一些实际问题转化为数学模型，从而提高分析问题和解决问题的实力小结3中考透视这一章在中考中主要考查一些特别角的三角函数值及几个三角函数间的关系，主要题型是选择题、填空题另外解直角三角形在实际问题中的应用也是考查的一个重点，主要题型是填空题和解答题，约占37分学问网络结构图 专题总结及应用一、学问性专题专题1：锐角三角函数的定义【专题解读】锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主例1如图28123所示，在RtABC中，ACB90°，BC1，AB2，则下列结论正确的是()AsinABtanACcosBDtanB分析sinA，tanA，cosB故选D.例2在ABC中，C90°，cosA,则tanA等于()ABCD分析在RtABC中，设AC3k，AB5k，则BC4k，由定义可知tanA故选D.分析在RtABC中，BC3，sinA故填专题2特别角的三角函数值【专题解读】要熟记特别角的三角函数值例4计算|3|2cos45°(1)0分析cos45°解：原式32×12例5计算(1)2022cos60°分析cos60°解：原式3(1)312例6计算|(cos60°tan30°)0分析cos60°，tan30°，cos60°tan30°0，(cos60°tan30°)01，解：原式1十231例7计算(3.14)0|1tan60°|.分析tan60°.解：原式811210.专题3锐角三角函数与相关学问的综合运用【专题解读】锐角三角函数常与其他学问综合起来运用，考查综合运用学问解决问题的实力.例8如图28124所示，在ABC中，AD是BC边上的高，E为AC边的中点，BC14，AD12，sinB(1)求线段DC的长；(2)求tanEDC的值.分析在RtABD中，由sinB，可求得BD，从而求得CD由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得DEACEC，则EDCC，所以求tanEDC可以转化为求tanC.解：(1)AD是BC边上的高，ADBC在RtABD中，sinBAD12，sinB，AB15，BD9BC14，CD5(2)在RtADC中，AEEC，DEACEC，EDCCtanC,tanEDCtanC例9如图28125所示，在ABC中，AD是BC边上的高，tanBcosDAC.(1)求证ACBD；(2)若sinC，BC12，求AD的长分析(1)利用锐角三角函数的定义可得ACBD(2)利用锐角三角函数与勾股定理可求得AD的长证明：(1)AD是BC边上的高，ADBC，ADB90°，ADC90°在RtABD和RtADC中，tanB，cosDAC，tanBcosDAC，ACBD.解：(2)在RtADC中，sinC，设AD12k，AC13k，CD5kBCBDCD，ACBD，BC13k5k18k由已知BC12，18k12，k，AD12k12×8例10如图28126所示，在ABC中，B45°，C30°，BC3030，求AB的长分析过点A作ADBC于D，把斜三角形转化为直角三角形，利用AD是两个直角三角形的公共边，设ADx，把BD，DC用含x的式子表示出来，再由BDCDBC这一等量关系列方程，求得AD，则AB可在RtABD中求得解：过点A作ADBC于D，设ADx.在RtADB中，tanB，BDx，在RtADC中，tanC，CDx又BDCDBC，BC3030，xx3030,x30在RtABD中，sinB，AB30.专题4用锐角三角函数解决实际问题【专题解读】加强数学与实际生活的联系，提高数学的应用意识，培育应用数学的实力是当今数学改革的方向，围绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑测量问题、高度测量问题等，解决各类应用问题时要留意把握各类图形的特征及解法例11如图28127所示，小山上有一棵树，现有一测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚的水平地面上测出小树顶端A到水平地面上的距离AB(1)画出测量示意图；(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示)；(3)依据(2)中的数据计算AB解：(1)测量示意图如图28128所示(2)测量步骤第一步：在地面上选择点C安装测角仪，测得此时小树顶端A的仰角AHE.其次步：沿CB方向前进到点D，用皮尺量出C，D之间的距离CDm第三步：在点D安装测角仪，测得此时小树顶端A的仰角AFE.第四步：用皮尺测出测角仪的高h(3)令AEx，则tan，得HE.又tan，得EF，HEFEHFCDm，m，解得xABh例12如图28129所示，一条小船从港口A动身，沿北偏东40°方向航行20海里后到达B处，然后又沿北偏西30°方向航行10海里后到达C处，则此时小船距港口A多少海里?(结果保留整数，提示：sin40°0.6428，cos40°0.7660，tan40°08391，1.732)分析此题可作CDAP构造直角三角形求AC，而CD，AD的长可转移到其他三角形中解决，可作BEAD，CFBE，CF，BF在RtBCF中可求，进而求解解：如图28130所示，过点B作BEAP，垂足为点E，过点C分别作CDAP，CFBE，垂足分别为点D，F，则四边形CDEF为矩形，CDEF，DECFQBC30°，CBF60°AB20，BAD40°，AEABcos40°20×0.766015.3，BEABsin40°20×0.642812.85612.9又BC10，CBF60°，CFBCsin60°10×58.7，BFBCcos60°10×0.55，CDEFBEBF12.957.9DECF8.7，ADDEAE8.715.324.0，由勾股定理得AC25，即此时小船距港口A约25海里【解题策略】正确理解方位角，作出恰当的协助线构造直角三角形是解此题的关键例13如图28131所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学学问去测量沱江流经我市某段的河宽小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得CAD45°，又在距A处60米远的B处测得CBA30°，请你依据这些数据算出河宽是多少?(结果保留小数点后两位)分析本题可作CEAB，垂足为E，求出CE的长即为河宽解：如图28131所示，过点C作CEAB于E，则CE即为河宽，设CEx(米)，则BEx60(米)在RtBCE中，tan30°，即,解得x30(1)81.96(米)答：河宽约为8196米【解题策略】解本题的关键是设CEx，然后依据BEABAE列方程求解例14如图28132所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发觉海中的B点有人求救，便马上派三名救生员前去营救1号救生员从A点干脆跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边可以看成是直线)向前跑到C点再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是6米秒，在水中游泳的速度都是2米/秒若BAD45°，BCD60°，三名救生员同时从A点动身，请说明谁先到达营救地点B(参考数据1.4，1.7)分析在RtABD中，已知A45°和AD，可求AB，BD，在RtBCD中，可利用求出的BD和BCD60°求出BC，然后依据计算出的数据推断谁先到达解：在RtABD中，A45°，D90°，AD300，AB300.tan45°，即BDADtan45°300在RtBCD中，BCD60°，D90°，BC200，CD100.1号救生员到达B点所用的时间为150210(秒)，2号救生员到达B点所用的时间为50192(秒)，3号救生员到达B点所用的时间为200(秒)192200210.2号求生员先到达营救地点B.【解题策略】本题为阅读理解题，题目中的数据比较多，正确分析题意是解题的关键例15如图28133所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在它的北偏东60°方向上，该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在C岛四周9海里的区域内有暗礁，若货船接着向正东方向航行，该货船有无触礁危急?试说明理由分析本题可作CDAM于点D，在RtBCD中求出CD即可解：过点C作CDAM，垂足为点D，由题意得CBD60°，CAB30°,ACB30°，CABACB，BCAB24×12(海里)在RtBCD中，CDBC×sin60°6(海里)69，货船接着向正东方向航行无触礁危急【解题策略】此题事实上是通过C(半径为9海里)与直线AM相离推断出无触礁危急.例16如图28134所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距8米的A，B两处测得D点和C点的仰角分别为45°和60°，且A，B，F三点在一条直线上，若BE15米，求这块广告牌的高度(1.73，结果保留整数)分析由于CDCEDE，所以可分别在RtAED和RtBEC中求DE，CE的长，从而得出结论解：AB8，BE15，AE23在RtAED中，DAE45°，DEAE23在RtBEC中，CBE60°，CEBEtan60°15，CDCEDE15233，即这块广告牌的高度约为3米例17如图28135所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD2.5m，坝高4m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽BC.分析坡度即坡角的正切值，所以分别过A，D两点向坝底引垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形解：过A作AEBC于E，过D作DFBC于F，由题意可知tanB1，tanC，在RtABE中，AE4，tanB1，BEAE4，在RtDFC中，DFAE4，tanC，CF15DF1.5×46又EFAD2.5，BCBEEFFC42.56125答：坝底宽BC为125m【解题策略】背水坡是指AB，而迎水坡是指CD.例18如图28136所示，山顶建有一座铁塔，塔高CD30m，某人在点A处测得塔底C的仰角为20°，塔顶D的仰角为23°，求此人距CD的水平距离AB(参考数据：sin20°0.342，cos20°0.940，tan20°0.364，sin23°0.391，cos23°0.921，tan23°0.424)分析要求AB的值，由于两个直角三角形中都只有角的已知条件，不能干脆求解，所以设AB为未知量，即用AB表示BD和BC，依据BDBCCD30，列出关于AB的方程解：在RtABC中，CAB20°，BCABtanCABABtan20°在RtABD中，DAB23°，BDABtanDABABtan23°CDBDBCABtan23°ABtan20°AB(tan23°tan20°)AB500(m)答：此人距CD的水平距离AB约为500m二、规律方法专题专题5公式法【专题解读】本章的公式许多，娴熟驾驭公式是解决问题的关键例19当0°90°时，求的值分析由sin2cos21，可得1sin2cos2解：sin2cos21，cos21sin2.0°a90°，cos0原式1【解题策略】以上解法中，应用了关系式sin2cos21(0°90°)，这一关系式在解题中常常用到，应当牢记，并敏捷运用三、思想方法专题专题6类比思想【专题解读】求方程中未知数的过程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的过程叫做解直角三角形，因此对解直角三角形的概念的理解可类比解方程的概念我们可以像解方程(组)一样求直角三角形中的未知元素例20在RtABC中，C90°，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，解这个直角三角形分析已知两直角边长a，b，可由勾股定理c求出c，再利用sinA求出A，进而求出B90°A解：C90°，a2b2c2c.又sinA，A30°B90°A60°【解题策略】除直角外，求出RtABC中的全部未知元素就是解直角三角形专题7数形结合思想【专题解读】由“数”思“形”，由“形”想“数”，两者奇妙结合，起到互通、互译的作用，是解决几何问题常用的方法之一例21如图28137所示，已知的终边OPAB，直线AB的方程为yx，则cos等于()ABCD分析yx，当x0时，y，当y0时，x1，A(1，0)，B，OB，OA1，AB，cosOBA.OPAB，OAB90°，又OBAOAB90°，OBAcoscosOBA故选A.专题8分类探讨思想【专题解读】当结果不能确定，且有多种状况时，对每一种可能的状况都要进行探讨例22一条东西走向的高速马路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向上还有一个加油站C，C到高速马路的最短距离是30km，B，C间的距离是60km要经过C修一条笔直的马路与高速马路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，求交叉口P与加油站A的距离(结果可保留根号)解：如图28138(1)所示，在RtBDC中，CD30，CB60，B30°又PCPB，CPD60°，DP10故APADDP(3010)km同理，如图28138(2)所示，可求得AP(3010)km，故交叉口P与加油站A的距离为(3010)km或(3010)km【解题策略】此题针对P点的位置分两种状况进行探讨，即点P在线段AB上或点P在线段BA的延长线上专题9转化思想【专题解读】本章中的转化思想主要应用在把直角三角形的线段比转化为三角函数值、把实际问题转化为数学问题、把斜三角形问题转化为直角三角形问题等例23如图28139所示，某校教学楼的后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，BCAD，斜坡AB的长为22m，坡角BAD68°，为了防止山体滑坡，保障平安，学校确定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡(1)求改造前坡顶与地面的距离；(2)为确保平安，学校安排改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC改到F点处，则BF至少是多少米?(结果保留小数点后一位，参考数据：sin68°0.9272，cos68°0.3746，tan68°2.4751，sin50°0.7660，cos50°0.6428，tan50°1.1918)分析将实际问题转化为数学问题是解题关键解：(1)过B作BEAD于E，则在RtABE中，sinBAE，BEABsin68°22sin68°20.4(m)(2)过F作FGAD于G，连接FA，则FGBEAG17.12，AEABcos68°22cos68°824，BFGEAGAE8.888.9(m)例24如图28140所示，A，B两城市相距100km现安排在这两座城市中间修筑一条高速马路(即线段AB)，经测量，森林爱护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上已知森林爱护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内请问安排修筑的这条高速马路会不会穿越爱护区为什么?(参考数据：1.732，1.414)解：过点P作PCAB，C是垂足，则APC30°，BPC45°，ACPCtan30°，BCPCtan45°，ACBCAB，PCtan30°PCtan45°100，(1)PC100，PC50(3)50×(31.732)63450答：森林爱护区的中心与直线AB的距离大于爱护区的半径，所以安排修筑的这条高速马路不会穿越爱护区例25小鹃学完解直角三角形学问后，给同桌小艳出了一道题：“如图28141所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上已知36°，求长方形卡片的周长”请你帮小艳解答这道题(结果保留整数；参考数据：sin36°06，cos36°08，tan36°0.7)解：作BEl于点E，DFl于点FDAF180°BAD180°90°90°，ADFDAF90°，ADF36°依据题意，得BE24mm，DF48mm在RtABE中，sin，AB40(mm)在RtADF中，cosADF，AD60(mm)矩形ABCD的周长2(4060)200(mm)例26如图28142所示，某居民楼I高20米，窗户朝南该楼内一楼住户的窗台离地面距离CM为2米，窗户CD高18米现安排在I楼的正南方距1楼30米处新建一居民楼当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使楼的影子不影响I楼全部住户的采光，新建楼最高只能盖多少米?解：设正午时间线正好照在I楼的一楼窗台处，此时新建居民楼高x米过C作CFl于F，在RtECF中，EF(x2)米，FC30米，ECF30°，tan30°,102答：新建居民楼最高只能建(102)米2022中考真题精选一、选择题1.（2022江苏连云港，14，3分）如图，ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_.考点：锐角三角函数的定义；勾股定理。专题：网格型。分析：设小方格的长度为1，过C作CDAB，垂足为D，在RtACD中，利用勾股定理求出AC的长，然后依据锐角三角函数的定义求出sinA解答：解：过C作CDAB，垂足为D，设小方格的长度为1，在RtACD中，AC=2.sinA=，故答案为点评：本题主要考查锐角三角函数的定义和勾股定理的学问点，此题比较简洁，构造一个直角三角形是解答本题的关键2.（2022江苏苏州，9，3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（）ABCD考点：锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理；三角形中位线定理专题：几何图形问题分析：依据三角形的中位线定理即可求得BD的长，然后依据勾股定理的逆定理即可证得BCD是直角三角形，然后依据正切函数的定义即可求解解答：解：连接BDE、F分別是AB、AD的中点BD=2EF=4BC=5，CD=3BCD是直角三角形tanC=故选B点评：本题主要考查了三角形的中位线定义，勾股定理的逆定理，和三角函数的定义，正确证明BCD是直角三角形是解题关键3.（2022江苏镇江常州，6，2分）如图，在RtABC中，ACB=90°，CDAB，垂足为D若AC=，BC=2，则sinACD的值为（）ABCD考点：锐角三角函数的定义；勾股定理专题：应用题分析：在直角ABC中，依据勾股定理即可求得AB，而B=ACD，即可把求sinACD转化为求sinB解答：在直角ABC中，依据勾股定理可得：AB=3B+BCD=90°，ACD+BCD=90°，B=ACDsinACD=sinB=，故选A点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要娴熟驾驭好边角之间的关系，难度适中4.（2022山东日照，10，4分）在RtABC中，C=90°，把A的邻边与对边的比叫做A的余切，记作cotA=则下列关系式中不成立的是（）AtanAcotA=1BsinA=tanAcosACcosA=cotAsinADtan2A+cot2A=1考点：同角三角函数的关系。专题：计算题。分析：可依据同角三角函数的关系：平方关系；正余弦与正切之间的关系（积的关系）；正切之间的关系进行解答解答：解：依据锐角三角函数的定义，得A、tanAcotA=1，关系式成立；B、sinA=，tanAcosA=，关系式成立；C、cosA=，cotAsinA=，关系式成立；D、tan2A+cot2A=（）2+（）21，关系式不成立故选D点评：本题考查了同角三角函数的关系（1）平方关系：sin2A+cos2A=1（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或sinA=tanAcosA（3）正切之间的关系：tanAtanB=15.（2022陕西，5，3分）在ABC中，若三边BC、CA、AB满意BCCAAB=51213，则cosB=（）ABCD考点：锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理。专题：计算题。分析：依据三角形余弦表达式即可得出结果解答：解：依据三角函数性质cosB=，故选C点评：本题主要考查了锐角三角函数的定义及比例关系，比较简洁6.（2022天津，1，3分）sin45°的值等于（）A.B.C.D.1考点：特别角的三角函数值。分析：依据特别角度的三角函数值解答即可解答：解：sin45°=故选B点评：此题比较简洁，只要熟记特别角度的三角函数值即可7.（2022贵港）如图所示，在ABC中，C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2，则tanCAD的值是（）A、2B、C、D、考点：锐角三角函数的定义；勾股定理。专题：常规题型。分析：依据中线的定义可得CD=BD，然后利用勾股定理求出AC的长，再依据正切等于对边：邻边列式求解即可解答：解：AD是BC边上的中线，BD=4，CD=BD=4，在RtACD中，AC=2，tanCAD=2故选A点评：本题考查了正切的定义以及勾股定理的应用，熟记直角三角形中，锐角的正切等于对边：邻边是解题的关键8.（2022山东烟台，9，4分）假如ABC中，sinA=cosB=，则下列最准确的结论是（）A.ABC是直角三角形B.ABC是等腰三角形C.ABC是等腰直角三角形D.ABC是锐角三角形考点：特别角的三角函数值.分析：依据特别角的三角函数值，干脆得出A，B的角度从而得出答案解答：解：sinA=cosB=，A=B=45°，ABC是等腰直角三角形故选C点评：此题主要考查了特别角的三角函数值，正确的记忆特别角的三角函数值是解决问题的关键10.（2022四川达州，8，3分）如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（）A、B、C、D、考点：特别角的三角函数值；实数与数轴。专题：计算题。分析：先依据数轴上A点的位置确定出其范围，再依据特别角的三角函数值对四个选项进行分析即可解答：解：由数轴上A点的位置可知，A2A、由sin30°xsin60°可知，×x，即x，故本选项错误；B、由cos30°xcos45°可知，x×，即x，故本选项错误；C、由tan30°xtan45°可知，×x1，即x1，故本选项错误；D、由cot45°xcot30°可知，×1x，即x，故本选项正确故选D点评：本题考查的是特别角的三角函数值及在数轴的特点，熟记各特别角的三角函数值是解答此题的关键9.（2022甘肃兰州，4，4分）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将ACB围着点A逆时针旋转得到ACB，则tanB的值为（）ABCD考点：锐角三角函数的定义；旋转的性质分析：过C点作CDAB，垂足为D，依据旋转性质可知，B=B，把求tanB的问题，转化为在RtBCD中求tanB解答：解：过C点作CDAB，垂足为D依据旋转性质可知，B=B在RtBCD中，tanB=CD：BD=，tanB=tanB=故选B点评：本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法10（2022甘肃兰州，8，4分）点M（sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（）A（，）B（，）C（，）D（，）考点：特别角的三角函数值；关于x轴、y轴对称的点的坐标分析：先依据特别三角函数值求出M点坐标，再依据对称性解答解答：解：sin60°=，cos60°=，点M（，）点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P（m，-n），M关于x轴的对称点的坐标是（，）故选B点评：考查平面直角坐标系点的对称性质，特别角的三角函数值11.（2022广东省茂名，8，3分）如图，已知：45°A90°，则下列各式成立的是（）A、sinA=cosAB、sinAcosAC、sinAtanAD、sinAcosA考点：锐角三角函数的增减性。专题：计算题。分析：依据锐角三角函数的增减性sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，干脆得出答案即可解答：解：45°A90°，依据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，当A45°时，sinAcosA，故选：B点评：此题主要考查了锐角三角函数的增减性，正确的利用锐角三角函数的增减性是解决问题的关键12.（2022宜昌，11，3分）如图是教学用直角三角板，边AC=30cm，C=90°，tanBAC=，则边BC的长为（）A、30cmB、20cmC、10cmD、5cm考点：解直角三角形；特别角的三角函数值。专题：计算题。分析：因为教学用的直角三角板为直角三角形，所以利用三角函数定义，一个角的正切值等于这个角的对边比邻边可知角BAC的对边为BC，邻边为AC，依据角BAC的正切值，即可求出BC的长度解答：解：在直角三角形ABC中，依据三角函数定义可知：tanBAC=，又AC=30cm，tanBAC=，则BC=ACtanBAC=30×=10cm故选C点评：此题考查学生驾驭三角函数正弦、余弦及正切的定义，是一道基础题要求留意视察生活中的数学问题，培育学生利用数学学问解决实际问题的实力，体现了数学来自于生活且服务于生活13.（2022湖北随州，9，3）cos30°（）A、B、C、D、考点：特别角的三角函数值。专题：计算题。分析：干脆依据cos30°进行解答即可解答：解：因为cos30°，所以C正确故选C点评：本题考查的是特别角的三角函数值，熟记各特别角的三角函数值是解答此题的关键14.（2022玉林，2，3分）若的余角是30°，则cos的值是（）A、B、C、D、考点：特别角的三角函数值。专题：计算题。分析：先依据题意求得的值，再求它的余弦值解答：解：=90°30°=60°，cos=cos60°=故选A点评：本题考查特别角三角函数值的计算，特别角三角函数值计算在中考中常常出现，题型以选择题、填空题为主【相关链接】特别角三角函数值：sin30°=，cos30°=，tan30°=，cot30°=；sin45°=，cos45°=，tan45°=1，cot45°=1；sin60°=，cos60°=，tan60°=，cot60°=互余角的性质：两角互余其和等于90度15.（2022广西防城港2，3分）若的余角是30°，则cos的值是（）ABCD考点：特别角的三角函数值专题：解直角三角形分析：先依据题意求得的值，再求它的余弦值90°30°60°，coscos60°解答：A点评：本题考查特别角三角函数值的计算，特别角三角函数值计算在中考中常常出现，题型以选择题填空题为主特别角三角函数值：sin30°，cos30°，tan30°，cot30°；sin45°，cos45°，tan45°1，cot45°1；sin60°，cos60°，tan60°，cot60°16.（2022年广西桂林，6，3分）如图，已知RtABC中，C90°，BC=3,AC=4，则sinA的值为（）ABCD考点：锐角三角函数的定义；勾股定理分析：直角三角形中，正弦值是角的对边与斜边的比值；先求出斜边AB的值，然后，即可解答答案：解：RtABC中，C=90°，BC=3，AC=4，AB=5；sinA=故选C点评：本题考查了锐角三角函数值的求法及勾股定理的应用，熟记公式才能正确运用17.（2022广西来宾，6，3分）在RtABC中，C=90°，AB=5，BC=3，则A的余弦值是A.B.C.D.考点：锐角三角函数的定义；勾股定理。专题：计算题。分析：先依据勾股定理，求出AC的值，然后再由余弦=邻边÷斜边计算即可解答：解：在RtABC中，C=90°，AB=5，BC=3，AC=4，cosA=故选C18.（2022湖州，4，3分）如图，已知在RtABC中，C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（）A2BCD考点：锐角三角函数的定义.分析：依据tanA是角A的对边比邻边，干脆得出答案tanA的值解答：解：C=90°，BC=1，AC=2，tanA=故选B点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义，娴熟记忆锐角三角函数的定义是解决问题的关键19.如图，在ABC中，C=90°，AB=13，BC=5，则sinA的值是（）A、B、C、D、【答案】A【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理【专题】待定系数法【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，sinA为A的对边比上斜边，求出即可【解答】解：在ABC中，C=90°，AB=13，BC=5，sinA=故选A【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边20（2022福建莆田，8，4分）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tanAFE的值为（）ABCD 考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；锐角三角函数的定义分析：由四边形ABCD是矩形，可得：A=B=D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由折叠的性质可得：EFC=B=90°，CF=BC=5，由同角的余角相等，即可得DCF=AFE，然后在RtDCF中，即可求得答案解答：解：四边形ABCD是矩形，A=B=D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由题意得：EFC=B=90°，CF=BC=5，AFE+DFC=90°，DFC+FCD=90°，DCF=AFE，在RtDCF中，CF=5，CD=4，DF=3，tanAFE=tanDCF=故选C点评：此题考查了折叠的性质，矩形的性质以及三角函数的性质解此题的关键是数形结合思想与转化思想的应用21.（2022四川遂宁，8，4分）计算2sin30°sin245°+cot60°的结果是（）A、+3B、+C、+D、1+考点：特别角的三角函数值。专题：计算题。分析：分别把sin30°的值，sin45°的值，cot60°的值代入进行计算即可解答：解：2sin30°sin245°+cot60°=2×（）2+（）2+=1+=+故选B点评：本题考查了特别角的三角函数值，熟记30°，45°，60°角的特别角的三角函数值是解题的关键22.（2022四川雅安，11,3分）已知ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB=（）A.B.C.D.考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义。专题：推理填空题。分析：作协助线（连接AO并延长交圆于E，连CE）构造直角三角形ACE，在直角三角形中依据锐角三角函数的定义求得角E的正弦值；然后由同弧所对的的圆周角相等知B=E；最终由等量代换求得B的正弦值，并作出选择解答：解：连接AO并延长交圆于E，连CEACE=90°（直径所对的圆周角是直角）；在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，sinE=；又B=E（同弧所对的的圆周角相等），sinB=故选D点评：本题主要考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义在求锐角三角函数值时，一般是通过作协助线构造直角三角形，在直角三角形中解三角函数的三角函数值即可23.(2022四川雅安11，3分)已知ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则（）ABCD考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义。专题：推理填空题。分析：作协助线（连接AO并延长交圆于E，连CE）构造直角三角形ACE，在直角三角形中依据锐角三角函数的定义求得角E的正弦值；然后由同弧所对的的圆周角相等知B=E；最终由等量代换求得B的正弦值，并作出选择解答：连接AO并延长交圆于E，连CEACE=90°（直径所对的圆周角是直角）；在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，sinE=；又B=E（同弧所对的的圆周角相等），sinB=故选D点评：本题主要考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义在求锐角三角函数值时，一般是通过作协助线构造直角三角形，在直角三角形中解三角函数的三角函数值即可 二、填空题1.（2022江苏南京，11，2分）如图，以0为圆心，随意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cosAOB的值等于考点：特别角的三角函数值；等边三角形的判定与性质。分析：依据作图可以证明ABC是等边三角形，则AOB=60°，据此即可求解解答：解：OA=OB=AB，ABC是等边三角形，AOB=60°，cosAOB=cos60°=故答案是：点评：本题主要考查了特别角的三角函数值，正确理解ABC是等边三角形是解题的关键2.（2022江苏镇江常州