高一数学下册《直线平面垂直的判定及其性质》知识点人教版.docx

高一数学下册直线平面垂直的判定及其性质知识点人教版高一数学教案：直线与平面垂直的判定教学设计 高一数学教案：直线与平面垂直的判定教学设计 一、教学目标 1.借助对图片、实例的视察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义。 2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简洁命题，进一步培育学生的空间观念。 3.让学生亲身经验数学探讨的过程，体验探究的乐趣，增加学习数学的爱好。 二、教学重点、难点 1.教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。 2.教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。 三、课前打算 1.老师打算：教学课件 2.学生自备： 三角形纸片、铁丝（代表直线）、纸板（代表平面）、三角板 四、教学过程设计 1.直线与平面垂直定义的建构 （1）创设情境 请同学们视察图片，说出旗杆与地面、高楼的侧棱与地面的位置有什么关系？ 请把自己的数学书打开直立在桌面上，视察书脊与桌面的位置有什么关系？ 请将中旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。 （2）视察归纳 思索：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？ 多媒体演示：旗杆与它在地面上影子的位置改变。 归纳出直线与平面垂直的定义及相关概念。 定义：假如直线l与平面内的随意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面相互垂直，记作：l. 直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。 用符号语言表示为： （3）辨析（完成下列练习）： 假如一条直线垂直于一个平面内的多数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。 若a,b，则ab。 在创设情境中，学生练习本上画图，老师针对学生出现的问题，如不直观、不标字母等加以强调，并指出这就叫直线与平面垂直，引出课题。 在多媒体演示时，先展示动画1使学生感受到旗杆AB所在直线与过点B的直线都垂直。再展示动画2使学生明确旗杆AB所在直线与地面内随意一条不过点B的直线B1C1也垂直，进而引导学生归纳出直线与平面垂直的定义。 在辨析问题中，说明“多数”与“任何”的不同，并说明线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化，给出常用命题： 2.直线与平面垂直的判定定理的探究 （1）设置问题情境 提出问题：学校广场上树了一根新旗杆，现要检验它是否与地面垂直，你有什么好方法？ （2）折纸试验 如图，请同学们拿出打算好的一块（随意）三角形的纸片，我们一起来做一个试验：过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.视察并思索： 折痕AD与桌面垂直吗？ 如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？ 多媒体演示翻折过程。 （3）归纳直线与平面垂直的判定定理 思索：由折痕ADBC，翻折之后垂直关系，即ADCD，ADBD发生改变吗？由此你能得到什么结论？ 归纳出直线与平面垂直的判定定理。 定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 用符号语言表示为： 在探讨实际问题时，学生同桌合作进行试验（将铁丝当旗杆，桌面当地面）后沟通方案，如用直角三角板量一次，量两次等。老师不作点评，说明完成下面的折纸试验后就有结论。 在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种状况，引导这两类学生进行沟通，依据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的缘由。学生再次折纸，进而探究直线与平面垂直的条件，经过探讨沟通，使学生发觉只要保证折痕AD是BC边上的高，即ADBC，翻折后折痕AD就与桌面垂直，再利用多媒体演示翻折过程，增加几何直观性。 在归纳直线与平面垂直的判定定理时，先让学生叙述结论，不完善的地方老师引导、补充完整，并结合“两条相交直线确定一个平面”的事实，简要说明直线与平面垂直的判定定理。然后，学生试用图形语言表述，练习本上画图，可能出现垂足与两相交直线交点重合的状况（如图），老师加以说明，同时给出符号语言表述。 在理解直线与平面垂直的判定定理时，强调“两条”、“相交”缺一不行，并结合前面“检验旗杆与地面垂直”问题再进行确认。指出要推断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，这充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。 3.直线与平面垂直的判定定理的初步应用 （1）尝试练习： 求证：与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直。 学生依据题意画图，将其转化为几何命题：不妨设 请三位同学板演，其余同学在练习本上完成，师生共同评析，明确运用线面垂直判定定理时的详细步骤，防止缺少条件，同时指出：这为证明“线线垂直”供应了一种方法。 （2）尝试练习：如图，有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上）C、D。假如这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直.为什么？ 本题须要通过计算得到线线垂直。学生练习本上完成后，比照课本P69例1,完善自己的解题步骤。 （3）尝试练习：如图，已知ab，a，求证：b。 此题有肯定难度，老师引导学生分析思路，可利用线面垂直的定义证，也可用判定定理证，提示协助线的添法，学生练习本上完成，比照课本P69例2,完善自己的解题步骤。 4.总结反思 （1）通过本节课的学习，你学会了哪些推断直线与平面垂直的方法？ （2）在证明直线与平面垂直时应留意哪些问题？ （3）本节课你还有哪些问题？ 学生发言，相互补充，老师点评，归纳出推断直线与平面垂直的方法，给出框图（投影展示），同时，说明本课蕴含着转化、类比、归纳、猜想等数学思想方法，强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路，并激励学生反思，大胆质疑，老师作好记录，以便查缺补漏。 五.布置作业 （1）如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD. 求证：PO平面ABCD （2）课本P70 练习2 （3）探究：如图，PA圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中有几个直角三角形?由此你认为三棱锥中最多有几个直角三角形？四棱锥呢？ 【板书设计】 教学设计说明 在这次新课程数学教学内容中，立体几何不论从教材编排还是教学要求上都发生了很大改变，因而，我在本节课的处理上也作了相应调整，借助多媒体协助教学，采纳“引导探究式”教学方法。整个教学过程遵循“直观感知操作确认归纳总结”的认知规律，注意发展学生的合情推理实力，降低几何证明的难度，同时，加强空间观念的培育，注意学问产生的过程性，详细体现在以下几个方面： 1.线面垂直的定义没有干脆给出，而是让学生在对图形、实例的视察感知基础上，借助动画演示帮助学生概括得出，并通过辨析问题深化对定义的理解。这样就避开了学生死记硬背概念，有利于理解数学概念的本质。 2.线面垂直的判定定理不易发觉，在教学中，通过创设问题情境引起学生思索，支配折纸试验，探讨沟通，给学生充分活动的时间与空间，帮助学生从自己的实践中获得学问。老师尽量少讲，学生能做的事就让他们自己去做，使学生更好的参加教学活动，绽开思维，体验探究的乐趣，增加学习数学的爱好。 3.本节中老师不作例题示范，而是让学生先尝试完成，后讲评明晰。为更好地巩固判定定理，设置了有梯度的练习，其中练习（1）是补充题，是判定定理的最简洁的运用。作业中增加了基础题（第1题）和开放性题目（第3题），这样，有助于培育学生的发散思维，使学生在不同的几何体中体会线面垂直关系，发展学生的几何直观实力与肯定的推理论证实力。同时，在教学中，始终注意训练学生精确地进行三种语言（文字语言、图形语言和符号语言）的转换，培育运用图形语言进行沟通的实力。 4.以问题探讨的方式进行小结，培育学生反思的习惯，激励学生对问题多质疑、多概括。 高一数学教案：直线与平面垂直的判定优秀教学设计 高一数学教案：直线与平面垂直的判定优秀教学设计 一、内容和内容解析 直线与平面垂直的定义：假如直线与平面内的随意一条直线都垂直，就称直线与平面相互垂直。定义中的“随意一条直线”就是“全部直线”。 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。定理体现了转化的数学思想：将“直线与平面垂直”的问题转化为“直线与直线垂直”的问题。 直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特别状况，它是空间中线线垂直位置关系的拓展，又是面面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。 对直线与平面垂直的定义的探讨遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程绽开，而对直线与平面垂直的判定的探讨则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程绽开，通过该内容的学习，能进一步培育学生空间想象实力，发展学生的合情推理实力和肯定的推理论证实力，同时体会“平面化”思想和“降维”思想。 教学重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。 二、目标和目标解析 目标：理解直线与平面垂直的意义，驾驭直线与平面垂直的判定定理。 目标解析： 1、借助对图片、实例的视察，抽象概括出直线与平面垂直的定义。 2、通过直观感知、操作确认，归纳、概括出直线与平面垂直的判定定理。 3、能运用直线与平面垂直的判定定理，证明与直线和平面垂直有关的简洁命题：在平面内选择两条相交直线，证明它们与平面外的直线垂直。 4、能运用直线与平面垂直定义证明两条直线垂直，即证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面。 三、教学问题诊断分析 学生已经学习了直线、平面平行的判定及性质，学习了两直线（共面或异面）相互垂直的位置关系，有了“通过视察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了肯定的空间想象实力、几何直观实力和推理论证实力。 在直线与平面垂直的判定定理中，为什么至少要两条直线，并且是两条相交直线，学生的理解有肯定的困难，因为定义中“任一条直线”指的是“全部直线”，这种用“有限”代替“无限”的过程导致学生形成理解上的思维障碍。同时，由于学生的空间想象实力、推理论证实力有待进一步加强，在直线与平面垂直判定定理的运用中，不知如何选择平面内的两条相交直线证线面垂直（抑或选择平面证线面垂直从而得到线线垂直）导致证明过程中无从着手或发生错误。 教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。 四、教学支持条件分析 为了有效实现教学目标，条件许可打算投影仪，多媒体课件，三角板。学生自备学具：三角形纸片、铁丝、三角板。 五、教学过程设计 （一）、视察归纳直线与平面垂直的定义 1、直观感知 问题1：请同学们视察图片，说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？ 设计意图：从实际背景动身，直观感知直线和平面垂直的位置关系，使学生在头脑中产生直线与地面垂直的初步印象，为下一步的数学抽象做打算。 师生活动：视察图片，引导学生举出更多直线与平面垂直的例子，如教室内直立的墙角线和地面位置关系，桌子腿与地面的位置关系，直立书的书脊与桌面的位置关系等，由此引出课题。 2、视察思索 思索：如何定义一条直线与一个平面垂直呢？ 我们已经学过直线和平面平行的判定和性质，知道直线和平面平行的问题可转化为考察直线和平面内直线平行的关系, 直线和平面垂直的问题同样可以转化为考察一条直线和一个平面内直线的关系，然后加以解决。 问题2：（1）如图1，在阳光下视察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在的直线与影子所在直线位置关系是什么？ （2）旗杆AB与地面上随意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置关系又是什么？ 设计意图：引导学生用“平面化”的思想来思索问题，通过视察，感知直线与平面垂直的本质属性。 师生活动：老师用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的改变而移动的过程，引导学生得出旗杆所在直线与地面内的直线都垂直。 3、抽象概括 问题3、通过上述视察分析，你认为应当如何定义一条直线与一个平面垂直？ 设计意图：让学生归纳、概括出直线与平面垂直的定义。 师生活动：学生思索作答，老师补充完善，指出定义中的“随意一条直线”与“全部直线”是同意词，定义是说这条直线和平面内全部直线垂直。同时给出线面垂直的记法与画法。 定义：假如直线l与平面内的随意一条直线都垂直，我们就说直线 l与平面相互垂直，记作： l.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。 画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图2。 4、辩析举例 辨析：下列命题是否正确，为什么？ （1）假如一条直线垂直于一个平面内的多数条直线，那么这条直线与这个平面垂直。 （2）假如一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任始终线。 设计意图：通过问题辨析，加深概念的理解，驾驭概念的本质属性。由（1）使学生明确定义中的“随意一条直线”是“全部直线”的意思，定义的实质就是直线与平面内全部直线都垂直。由（2）使学生明确，线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化。 师生活动：命题（1）推断中引导学生用铁丝表直线，用三角板两直角边表两垂直直线，桌面表平面举出反例。老师利用三角板和教鞭进行演示，将一块大直角三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一 条直角边BC就和讲台上的一条直线（即三角板与桌面的交线AC）垂直，但它不肯定和讲台桌面垂直.在此基础上在讲台上放一根和AC平行的教鞭EF并平行移动，那么BC始终和EF垂直，但它不肯定和讲台桌面垂直，最终老师用多媒体课件展示反例的直观图，如图3。 由命题（2）给出下列常用命题： 这个命题体现了平行关系与垂直关系的联系，它是推断线线垂直的常用方法。 （二）、探究发觉直线与平面垂直的判定定理 1、视察猜想 思索：我们该如何检验学校广场上的旗杆是否与地面垂直？ 虽然可以依据定义判定直线与平面垂直，但这种方法事实上难以实施。有没有比较便利可行的方法来推断直线和平面垂直呢？ 问题4、视察跨栏、简易木架等实物，你能猜想出推断一条直线与一个平面垂直的方法吗？ 设计意图：通过问题思索与实例分析，找寻具有可操作性的判定方法，体验有限与无限之间的辩证关系。 师生活动：引导学生视察思索，给出猜想：一条直线与一个平面内两相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 2、操作确认 问题5：如图4，请同学们拿出打算好的一块（随意）三角形的纸片，我们一起来做一个试验：过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.视察并思索： （1）折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？ （2）由折痕ADBC，翻折之后垂直关系，即ADCD，ADBD发生改变吗？由此你能得到什么结论？ 设计意图：通过试验，引导学生独立发觉直线与平面垂直的条件，培育学生的动手操作实力和几何直观实力。 师生活动：在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种状况，引导学生进行沟通，依据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的缘由。学生再次折纸，进而探究直线与平面垂直的条件，经过探讨沟通，使学生发觉只要保证折痕AD是BC边上的高，即ADBC，翻折后折痕AD就与桌面垂直，再利用多媒体演示翻折过程，增加几何直观性。 3、合情推理 问题6：依据上面的试验，结合两条相交直线确定一个平面的事实，你能给出直线与平面垂直的判定方法吗？ 设计意图：引导学生依据直观感知及已有学问阅历，进行合情推理，获得判定定理。 师生活动：老师引导学生回忆出“两条相交直线确定一个平面”，以及直观过程中获得的感知，将“与平面内全部直线垂直”逐步归结到“与平面内两条相交直线垂直”，进而归纳出直线与平面垂直的判定定理。同时指出要推断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的.定理充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。 定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 用符号语言表示为： 4、质疑深化 辨析：假如一条直线与一个梯形的两条边垂直，那么这条直线垂直于梯形所在的平面吗？ 设计意图：通过辨析，强化定理中“两条相交直线”的条件。 师生活动：学生思索作答，老师再次强调“相交”条件。 （三）、直线与平面垂直的判定定理的初步应用 尝试练习1、求证：与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直。 设计意图：初步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理与定义解决问题，明确运用线面垂直判定定理的条件。 师生活动：学生依据题意画图（如图6），将其转化为几何命题：不妨设aAC,aBC求证：aAB。请两位同学板演，其余同学在练习本上完成，师生共同评析，明确运用线面垂直判定定理时的详细步骤，防止缺少条件，特殊是“相交”的条件。 尝试练习2、如图7，已知ab，a，求证：b。 设计意图：进一步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直，体会转化思想在证题中的作用，发展学生的几何直观实力与肯定的推理论证实力。 师生活动：老师引导学生分析思路，可利用线面垂直的定义证，也可用判定定理证，提示协助线的添法，将思路集中在如何在平面内内找到两条与直线b垂直的相交直线上。另外，再引导学生将已知条件详细化的过程中，逐步明确依据异面直线所成角的概念解决问题。学生练习本上完成，比照课本P73例1,完善自己的解题步骤。同时指出：本例结果可以作为直线和平面垂直的又一个判定定理.这样判定一条直线与已知平面垂直，可以用这条直线垂直于平面两条相交直线来证明，也可以用这条直线的平行直线垂直于平面来证明. 尝试练习3：如图8，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满意什么条件时，？ 设计意图：能合理找寻平面证线面垂直从而得出线线垂直，体会转化思想在证题中的作用。 师生活动：学生思索探讨，请一位同学用投影仪展示并分析其思路，老师参加探讨。 （四）、总结反思 （1）通过本节课的学习，你学会了哪些推断直线与平面垂直的方法？ （2）上述推断直线与平面垂直的方法体现的什么数学思想？ （3）关于直线与平面垂直你还有什么问题？ 设计意图：培育学生反思的习惯，激励学生对问题多质疑、多概括。 师生活动：学生发言，相互补充，老师点评完善，归纳出推断直线与平面垂直的方法，给出框图（投影展示）。 六、目标检测设计 1、如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD. 求证：PO平面ABCD 2、课本P74 练习1、2 3、课本P86 A组10 4、如图，PA圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中有几个直角三角形?由此你认为三棱锥中最多有几个直角三角形？ （板书设计） 直线与平面垂直的判定 第一课时直线与平面垂直的判定 （一）教学目标1学问与技能（1）使学生驾驭直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生驾驭直线和平面所成的角求法；（3）培育学生的几何直观实力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论.2过程与方法（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；（2）探究判定直线与平面垂直的方法.3情态、看法与价值观培育学生学会从“感性相识”到“理性相识”过程中获得新知.（二）教学重点、难点重点：（1）直线与平面垂直的定义和判定定理；（2）直线和平面所成的角.难点：直线与平面垂直判定定理的探究.教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题：直线和平面平行的判定方法有几种？师投影问题，学生回答.生：可用定义可推断，也可依判定定理推断.复习巩固探究新知一、直线和平面垂直的定义、画法假如直线l与平面内的随意一条直线都垂直，我们说直线l与平面相互垂直，记作l.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足.画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表不平面的平行四边形的一边垂直，如图.师：日常生活中我们对直线与平面垂直有许多感性相识，如旗杆与地面，桥柱与水面等，你能举出更多的例子来吗？师：在阳光下视察，直立于地面的旗杆及它在地面的影子，它们的位置关系如何？生：旗杆与地面内随意一条经B的直线垂直.师：那么旗杆所在直线与平面内不经过B点的直线位置关系如何，依据是什么？（图）生：垂直，依据是异面直线垂直的定义.师：你能尝试给线面垂直下定义吗？师：能否将随意直线改为多数条直线？学生找一反例说明.培育学生的几何直观实力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论.探究新知二、直线和平面垂直的判定1试验如图，过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）.（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直？2直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.思索：能否将直线与平面垂直的判定定理中的“两条相交直线”改为一条直线或两条平行直线？师：下面请同学们打算一块三角形的小纸片，我们一起来做一个试验，（投影问题）.学生动手试验，然后回答问题.生：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直.师：此时AD垂直上的一条直线还是两条直线？生：AD垂直于桌面两条直线，而且这两条直线相交.师：怎么证明？生：折痕ADBC，翻折之后垂直关系不变，即ADCD，ADBD师：直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想.培育学生的几何直观实力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论.典例剖析例1如图，已知ab，a，求证：b.证明：在平面内作两条相交直线m、n.因为直线a，依据直线与平面垂直的定义知am，an.又因为ba，所以bm，bn.又因为，m、n是两条相交直线，b.师：要证b，需证b与内随意一条直线的垂直，又ab，问题转化为a与面内随意直线m垂直，这个结论明显成立.学生依图及分析写出证明过程.师：此结论可以干脆利用，判定直线和平面垂直.巩固所学问培育学生转化化归实力、书写表达实力.探究新知二、直线和平面所成的角如图，一条直线PA和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线的平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角.老师借助多媒体干脆讲授，留意直线和平面所成的角是分三种状况定义的.借助多媒体讲授，提高上课效率.典例剖析例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.分析：找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影，就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角.解：连结BC1交B1C于点O，连结A1O.设正方体的棱长为a，因为A1B1B1C1，A1B1B1B，所以A1B1平面BCC1B1.所以A1B1BC1.又因为BC1B1C，所以B1C平面A1B1CD.所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.在RtA1BO中，所以，BA1O=30°因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.师：此题A1是斜足，要求直线A1B与平面A1B1CD所成的角，关键在于过B点作出（找到，面A1B1CD的垂线，作出（找到）了面A1B1CD的垂线，直线A1B在平面A1B1CD内的射影就知道了，怎样过B作平面A1B1CD的垂线呢？生：连结BC1即可.师：能证明吗？学生分析，老师板书，共同完成求解过程.点拔关键点，突破难点，示范书写及解题步骤.随堂练习1如图，在三棱锥VABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VBAC.2过ABC所在平面外一点P，作PO，垂足为O，连接PA，PB，PC.（1）若PA=PB=PC，C=90°，则点O是AB边的心.（2）若PA=PB=PC，则点O是ABC的心.（3）若PAPB，PBPC，PBPA，则点O是ABC的.心.3两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线肯定平行吗？4如图，直四棱柱ABCDABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满意什么条件时，ACBD？学生独立完成答案：1略2（1）AB边的中点；（2）点O是ABC的外心；（3）点O是ABC的垂心.3不肯定平行.4ACBD.巩固所学学问归纳总结1直线和平面垂直的定义判定2直线和平面所成的角定义与解答步骤、完善.3线线垂直线面垂直学生归纳总结老师补充巩固学习成果，使学生逐步养成爱总结，会总结的习惯和实力.课后作业2.7第一课时习案学生独立完成强化学问提升实力备选例题例1如图，在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，M为BD中点，作AOMC，交MC于O求证：AO平面BCD【解析】连结AMAB=AD，CB=CD，M为BD中点BDAM，BDCM又AMCM=M，BD平面ACMAO平面ACM，BDAO又MCAO，BDMC=M，AO平面貌BCD【评析】本题为了证明AO平面BCD，先证明白平面BCD内的直线垂直于AO所在的平面这一方法具有典型性，即为了证明线与面的垂直，须要转化为线与线的垂直；为了解决线与线的垂直，又需转化为另一个线与面的垂直，再化为新的线线垂直这样相互转化，螺旋式往复，最终使问题得到解决例2已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值【解析】取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连AO由已知正方体，易知EOABC1D1，所以EAO为所求在RtEOA中，sinEAO=所以直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为【评析】求直线和平面所成角的步骤：（1）作作出斜线和平面所成的角；（2）证证明所作或找到的角就是所求的角；（3）求常用解三角形的方法（通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角形）（4）答 直线与平面垂直的判定与性质教学设计 直线与平面垂直的判定与性质教学设计 【教学目标】 1、学问与技能目标： 驾驭直线和平面垂直的定义及判定定理、性质定理；驾驭判定直线和平面垂直的方法；驾驭直线和平面垂直的性质。培育学生的几何直观实力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。 2、过程与方法目标： 感受直线和平面垂直的定义的形成过程；探究判定直线与平面垂直的方法。 3、情感看法与价值观目标： 培育学生学会从“感性相识”到“理性相识”过程中获得新知。 【教学重点】直线与平面垂直的定义和判定定理。 【教学难点】直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。 【教学方法】实践操作、师生互动、共同探究的方法 【教学手段】多媒体协助课堂教学 【课时支配】1课时 教学过程 （一）创设情景，揭示课题 举例：旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系。模型演示：直棱柱的侧棱与底面的位置关系。 【设计意图】生活中到处有数学的存在.学生对一些实例虽然熟识，但往往知其然，不知其所然，用这样的实例导入，学生必定有要探个原委的心理.激发出了学生探究的爱好和主动性。 （二）研探新知 1、直线与平面垂直的定义：直线l与平面内的随意一条直线都垂直。记作：l。 直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，垂线与平面的交点P叫做垂足。 2、直线与平面垂直的判定： （1）探究：打算一块三角形纸片。 过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）。 折痕AD与桌面所在平面垂直吗？ 如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直？（AD是BC边上的高） （2）思索： 有人说，折痕AD所在直线已桌面所在平面上的一条直线垂直，就可以推断AD垂直平面，你同意他的说法吗？ 如图，由折痕ADBC，翻折之后垂直关系不变，即ADCD，ADBD，由此你能得到什么结论？ 【设计意图】通过实践活动，让学生经验视察、实践、揣测、验证、推理与沟通等数学活动，发觉折纸法可以验证直线和平面垂直的判定定理的缘由，提高了学生的数学相识，激发了学生的数学情感，促进了学生数学水平的提高.有助于学生逐步形成对数学学问的理解和有效的学习策略.同时对比折纸探究的过程，体会思维试验和符号化的理性思维。 （3）归纳定理：（直线与平面垂直的判定定理） 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 作用：由线线垂直得到线面垂直。（线不在多，相交就行。） 强调：定理中的“两条相交直线”这一条件不行忽视； 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。 3、实际应用，巩固深化 例1：有一根旗杆AB高8米，它的顶端A挂有一条长10米的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上）C、D，假如这两点都和旗杆脚B的距离是6米，那么旗杆就和地面升起垂直，为什么？ 分析：ABBC，ABBD，且B、C、D三点不共线。 课堂练习：已知三角形ABC，直线lAB，lAC，求证lBC。 【设计意图】由实例动身反映了直线与平面垂直的判定定理的广泛应用，强调了直线与平面垂直的判定定理的重要性。直线与平面垂直的判定定理求定积分是解决一些直线与平面位置关系的有力工具，是一种普遍性的方法。 例2：直线a、b和平面有以下三种关系：（1）a/b，（2），（3），假如随意取其中两个作为前提，另一个作为结论构造命题，能构成几个命题？并推断其真假。假如是真命题，请予以证明；假如是假命题，请举一个反例。 命题1：如图，已知a/b，a，求证：b 证明：在平面内作两条相交直线m，n，因为直线，依据直线与平面垂直的定义知，又因为a/b，所以，又因为，m，n是两条相交直线，所以。 归纳：两条相互平行的直线，假如有一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直。 命题2：如图，已知直线a，b，那么a/b。 证明（反证法）假设a、b不平行，且，是经过点O与直线b平行的直线。直线b与确定平面，设，则。因为a、b，所以ac、bc，又因为，所以。这样在平面内，经过直线c上同一点O就有两条直线b，与c垂直，明显不行能，因此a/b。 【设计意图】归纳出直线与平面垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线平行。同时可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行，性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系。 归纳性质：（直线与平面垂直的性质）垂直于同一平面的两条直线平行。 （三）课堂练习：课本P67，练习1、2。 1、如图，在三棱锥VABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VBAC。 2、过三角形ABC所在平面外一点P，作PO，垂足为O，连接PA，PB，PC。 （1）若PA=PB=PC，C=90°，则点O是AB边的点。 （2）若PA=PB=PC，则点O是三角形ABC的心。 （3）若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是三角形ABC的心。 【设计意图】通过练习，加深学生对直线与平面垂直的判定与性质的理解，培育学生数形结合的思想意识。 （四）归纳小结： 师：同学们，请问这节课你们学习了哪些学问？在应用过程中应当留意什么？你有什么收获？ 想好后，可以站起来和大家一起共享 生：仔细反思，对本节内容进行归纳小结。 师：（激励学生踊跃方言，并加以完善） （1）获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。 （2）直线与平面垂直的判定定理的内容。 （强调：定理中的“两条相交直线”这一条件不行忽视。） （3）直线与平面垂直的判定定理体现的数学思想方法是什么？ （强调：定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。） 【设计意图】通过小结，让学生在反思中整理学问，整理思维，从而获得解决问题的思想方法。体验胜利的欢乐，积累学习的阅历。， （五）课后作业： 1、正方体ABCD