2018年上海高三一模真题汇编——三角比三角函数专题(教师版)(共18页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上2018年一模汇编三角比三角函数专题1、 知识梳理【知识点1】三角比求值【例1】已知是第二象限的角，且，利用表示 . 【答案】.【解析】由是第二象限的角，知，.【点评】熟练掌握由的值求的值的操作程序；给（一个角的三角函数）值求（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示“求值”的角，再用两角和（差）的三角公式求得.【例2】已知且，则 . 【答案】. 【解析】由平方得，又由知.则有.，得.有，所以.【点评】此类问题经常出现在各类考试中，而且错误率都比较高.原因是不能根据角所在的象限，对函数值进行正确的取舍.【知识点2】两角和与差公式、诱导公式、倍角公式【例1】设且求【答案】.【解析】故由得由得 【点评】两角和与差公式、诱导公式、倍角公式等在应用时，都比较注重寻求角与角的联系，尤其是建立已知角与所求角的联系.【例2】已知 求证【解析】由题设：即 【点评】注意题设中的角和结论中角的关系.【知识点3】万能公式【例1】已知，求的值.【答案】.【解析】由得：，则或.又，所以.由万能公式得，.知.【点评】先通过正余弦的齐次式处理方法求出正切值，再根据万能公式得出答案.【知识点4】正余弦定理【例1】有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在中，角A，B，C所对的边分别为已知_，求角”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示试将条件补充完整【答案】.【解析】由得正弦定理得.【点评】此题很容易由得,但答案不能填，否则题目中的答案角算出来有两解不符合题意.【例2】在ABC中，分别是对边的长.已知成等比数列，且，求的大小及的值.【答案】，.【解析】由成等比数列得，则化成，由余弦定理得，.由得，所以=.【点评】三角形中边角运算时通常利用正弦定理、余弦定理转化为角（或边）处理.有关的齐次式（等式或不等式），可以直接用正弦定理转化为三角式；当知道ABC三边平方的和差关系，常联想到余弦定理解题.【知识点5】判断三角形形状【1】 在ABC中，若，则ABC的形状一定是（）A、等腰直角三角形；B、直角三角形；C、等腰三角形；D、等边三角形.【答案】C.【解析】在三角形ABC中：，则.所以ABC是等腰三角形.【点评】判断三角形形状一般有两种思路，一是通过角的转化，二是用边的关系。此题也可以通过正余弦定理转化为边的关系去解题.【知识点6】解三角形应用题【例1】如图，旅客从某旅游区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C ，另一种从A沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C . 现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 分钟后，再从B 匀速步行到C . 假设缆车匀速直线运动的速度为130 米/分钟，山路AC 长1260 米 ，经测量，（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？【答案】（1）的长为1040米；（2）当(min)时，甲、乙两游客距离最短.【解析】（1）在中，2分5分由正弦定理，得，7分所以索道的长为1040米8分（2）假设乙出发分钟后，甲、乙两游客距离为米，此时，甲行走了米，乙距离处米，由余弦定理得：11分，即，12分故当(min)时，甲、乙两游客距离最短14分【点评】熟练运用正余弦定理，读懂题意，找到函数关系，转化为函数求最值问题.【知识点7】三角函数周期、最值、单调性【例1】函数的最小正周期为 ；最大值为 ；单调递增区间为 ；在区间上，方程的解集为 .【答案】；2；.【解析】由.所以函数的最小正周期为；最大值为2；单调递增区间满足，即；由，则，或得或，又由得解集为.【点评】欲求三角函数的周期、最值、单调区间等，应注意运用二倍角正（余）弦公式，半角公式降次即：；引入辅助角（特别注意，经常弄错）使用两角和、差的正弦、余弦公式（合二为一），将所给的三角函数式化为的形式.函数的周期是函数周期的一半.【例2】已知函数，求的最大值与最小值.【答案】最大、最小值分别为与.【解析】函数.由，则，所以函数的最大、最小值分别为与.【点评】当自变量的取值受限制时，求函数的值域，应先确定的取值范围，再利用三角函数的图像或单调性来确定的取值范围，并注意A的正负；千万不能把取值范围的两端点代入表达式求得.【例3】已知函数，其中常数若在上单调递增，则的取值范围为_.【答案】.【解析】因为，根据题意有【点评】本题一个要注意最终答案要加上题干中的这个条件，另一方面其实就只能是的子区间【知识点8】三角函数对称性【例1】若函数的图像关于点成中心对称，则_.【答案】.【解析】由的图像关于点成中心对称知，.【点评】正（余）弦函数图像的对称中心是图像与“平衡轴”的交点.【例2】已知函数，且是偶函数，则满足条件的最小正数_.【答案】.【解析】是偶函数，则是它图像的一条对称轴.时，函数取最大（小）值.，.所以满足条件的最小正数.【点评】正（余）弦函数图像的对称轴是平行于轴且过函数图像的最高点或最低点.【知识点9】三角函数图像变换【例1】要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A、向右平移个单位；B、向右平移个单位；C、向左平移个单位；D、向左平移个单位.【答案】A【解析】，故应选A.【点评】当函数名不一样的时候，可以先通过诱导公式变成同名再作其他变换.【知识点10】三角函数性质综合【例1】已知函数是上的偶函数，其图像关于点对称，且在区间上是单调函数，求的值【答案】，.【解析】由是上的偶函数，得，即，展开整理得：，对任意都成立，且，所以又，所以由的图象关于点对称，得取，得， 所以，所以，即；综上所得，【点评】此类题型一般利用奇偶性、单调性先把的通解解出，再根据题目条件确定的取值.【例2】已知,且在区间有最小值,无最大值,则 【答案】【解析】如图所示,因为,且,又在区间内只有最小值、无最大值,所以在处取得最小值,所以,所以又,所以当时,；当时,此时在区间内有最大值,故【点评】结合三角函数图像解题更加直观【知识点11】反三角函数和最简三角方程【例1】已知，若，求实数a的取值范围【答案】【解析】的定义域是，而和在上都是增函数，又都是奇函数， 在上既是增函数，又是奇函数 解得a的取值范围为.【点评】熟记反三角函数的定义域、值域及基本性质是解决反三角类型的关键.【例2】求的取值范围 ，使得关于的方程在上 (1)无解；          (2)仅有一解；          (3)有两解.【答案】(1)；(2)；   (3)；【解析】用分离参数的方法，只需要考虑与函数的交点个数就是方程解的个数，令，则函数，画出二次函数在上的图像，观察常值函数与二次函数的交点个数，可知(1)当时，两函数图像没有交点，即原方程无解；(2)当时，两函数图像只有一个交点，即原方程只有一个解；(3)当时，两函数图像有两个交点，即原方程有两个解.【点评】分离参数是处理方程有解问题的常用方法，此题也可以用换元法，转化为二次方程根的分布问题.2、 一模真题汇编1、 填空题1. （宝山区2018年一模3题）函数的最小正周期为 . 【答案】.2. （青浦区2018年一模4题）函数的最大值为 . 【答案】.3. （虹口区2018年一模4题）在中，、所对边分别是、，若，则 .【答案】.4. （虹口区2018年一模9题）已知和的图像的连续的三个交点、构成三角形，则的面积等于 . 【答案】.5. （松江区2018年一模5题）已知角的终边与单位圆交于点，则 . 【答案】.6. （松江区2018年一模7题）函数的图像与的图像在区间上交点的个数是 【答案】.7.（杨浦区2018年一模3题）已知，则 . 【答案】.8.（杨浦区2018年一模9题）在中，若、成等比数列，则角的最大值为 . 【答案】.9.（杨浦区2018年一模11题）已知函数，设，若函数为奇函数，则的值为 . 【答案】.10.（徐汇区2018年一模8题）某船在海平面处测得灯塔在北偏东30°方向，与相距6.0海里，船由向正北方向航行8.1海里到达处，这时灯塔与船相距 海里（精确到0.1海里）.【答案】.11.（长宁嘉定区2018年一模3题）已知，则 . 【答案】.12.（长宁嘉定区2018年一模8题）在中，角、所对的边分别为、，若，则 . 【答案】.13.（普陀区2018年一模2题）若，则 . 【答案】.14.（普陀区2018年一模6题）函数的值域为 . 【答案】.15.（浦东区2018年一模11题） 已知函数（），将的图像向左平移个单位得到函数的图像，令，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为 . 【答案】.16.（奉贤区2018年一模4题）已知，且，则 . 【答案】 .17.（奉贤区2018年一模12题）已知函数是上的偶函数，图像关于点对称，在是单调函数，则符合条件的数组有_对. 【答案】. 18.（崇明区2018年一模6题）若函数的最小正周期是，则 .【答案】.2、 选择题1.（青浦区2018年一模14题）已知函数，若对任意实数，都，则的最小值是（ ） A、； B、； C、2； D、4.【答案】C.2. （长宁嘉定区2018年一模13题）设角的始边为轴正半轴，则“的终边在第一、二象限”是“”的（ ）A、充分非必要条件； B、必要非充分条件；C、充分必要条件； D、既非充分又非必要条件.【答案】A.3.（浦东区2018年一模16题）关于的方程恰有3个实数根、，则（ ） A、1； B、2； C、； D、.【答案】B.3、 解答题1. （宝山区2018年一模18题）已知函数.（1）求在上的单调递减区间；（2）设的内角、所对应的边依次为、，若且，求面积的最大值，并指出此时为何种类型的三角形.【答案】（1），在递减；（2），等边三角形.2.（青浦区2018年一模19题）如图，某大型厂区有三个值班室、，值班室在值班室的正北方向2千米处，值班室在值班室的正东方向千米处.（1）保安甲沿从值班室出发行至点处，此时，求的距离；（2）保安甲沿从值班室出发前往值班室，保安乙沿从值班室出发前往值班室，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【答案】（1）；（2）两人不能通话的时间为小时.【解析】（1）在中，；所以，在中，由余弦定理可得：，.（2）在中，. 设甲出发后的时间为小时，则由题意可知， 设甲在线段上的位置为点，则当时，设乙在线段上的位置为点，则，如图所示，在中，由余弦定理得，解得或，所以.当时，乙在值班室处，在中，由余弦定理得：，解得或，又，不合题意舍去.综上所述时，甲乙间的距离大于千米，所以两人不能通话的时间为小时.【考点】解三角形.3.（虹口区2018年一模18题）已知函数，其中，且此函数的最小正周期等于.（1）求的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值.【答案】（1），；（2）最大值为2，最小值. 4.（松江区2018年一模17题）在中，.（1）求边的长；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）. 5.（徐汇区2018年一模18题） 如图是函数（，）图像的一部分，、是它与轴的两个交点，、分别为它的最高点和最低点，是线段的中点.（1）若点的坐标为，求点、点和点的坐标；（2）若点的坐标为（），且，试确定函数解析式.【答案】（1），；（2）. 6.（普陀区2018年一模19题）设函数（，），已知角的终边经过点，点、是函数图像上的任意两点，当时，的最小值是.（1）求函数的解析式；（2）已知面积为，角所对的边，求的周长.【答案】（1）；（2）. 7.（金山区2018年一模18题）已知函数（）.（1）写出函数的最小正周期以及单调递增区间；（2）在中，角、所对的边分别为、，若，且，求的值.【答案】（1），；（2）.8.（浦东区2018年一模18题）在中，角、所对的边分别为、，已知，且.（1）求；（2）若，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，2分由正弦定理得：，2分； 由，2分；1分（2）由，；4分由知，2分.1分【考点】三角函数.9.（闵行区2018年一模17题）已知函数（其中）.（1）若函数的最小正周期为，求的值，并求函数的单调递增区间；（2）若，且，求的值.【答案】（1），；（2）或.10.（奉贤区2018年一模19题）如图，某公园有三条观光大道围成直角三角形，其中直角边，斜边（1）若甲乙都以每分钟的速度从点出发，甲沿运动，乙沿运动，乙比甲迟2分钟出发，求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离；（2）现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点设，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且，请将甲乙之间的距离表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离【答案】（1）；（2）.【解析】（1）可用余弦定理求得 2分 2分 3分（2） 1分 1分 1分（式子出来3分） 1分 2分答：. 1分 【考点】解三角形.11. （崇明区2018年一模18题）（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分6分；第（2）小题满分8分.）已知（1）求的最大值及该函数取得最大值时的值；（2）在中，分别是角，所对的边，若，且，求边的值.【答案】（1）当，时，函数取得最大值2；（2）或.【解析】（1） 3分 所以当，即，时， 函数取得最大值26分（2） 因为，所以或3分当时，由得：所以或（舍去）6分当时，7分综上所述：或8分【考点】三角函数.12. （长宁嘉定区2018年一模19题）一根长为的铁棒欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽.（1）设，试将表示为的函数；（2）求的最小值，并说明此最小值的实际意义.【答案】（1）；（2），超过则无法通过.专心-专注-专业