2021-2022学年新教材高中数学,第三章《函数概念与性质》.docx
2021-2022学年新教材高中数学,第三章函数概念与性质3.1.1 函数的概念(二) 本节课选自一般中学课程标准数学教科书-必修一（人教A版）第三章函数的概念与性质，本节课是第1课时。函数的基本学问是中学数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于整个初中和中学数学. 对于高一学生来说，函数不是一个生疏的概念。但是，由于局限初中阶段学生的认知水平；学生又善未学习集合的概念，只是用运动改变的观点来定义函数，通过对正比例函数、反比例函数、一次和二次函数的学习来理解函数的意义，对于函数的概念理解并不深刻. 高一学生学习集合的概念之后，进一步运用集合与对应的观点来刻画函数，突出了函数是两个集合之间的对应关系，领悟集合思想、对应思想和模型思想。所以把第一课时的重点放在函数的概念理解，通过生活中的实际事例，引出函数的定义，懂得数学与人类生活的亲密联系，通过对函数三要素剖析，进一步理解充溢函数的内涵。所以在教学过程中分别设计了不同问题来理解函数的定义域、对应法则、函数图象的特征、两个相同函数的条件等问题. 学生在初中阶段，已经知道函数的定义域是使函数解析式有意义、实际问题要符合实际意义的自变量的范围，所以在教学中进一步强调定义域的集合表示. 课程目标 学科素养 能依据函数的定义推断两个函数是否为同一个函数 会求函数的定义域 会求函数的值域 1.逻辑推理：同一个函数的推断； 2.数学运算：求函数的定义域，值域； 1.教学重点：函数的概念，函数的三要素； 2.教学难点：求函数的值域。 多媒体 复习回顾，温故知新 1、函数的概念：设A、B是非空的数集，假如根据某个确定的对应关系f，使对于集合A中的随意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：y=f(x) xA x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| xA 叫做函数的值域. 2.对函数符号y=f(x)的理解： （1）、y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示，仅是一个函数符号， f(x)不是f与x相乘。 例如：y=3x+1可以写成f(x)= 3x+1。当x=2时y=7可以写成f(2)=7 想一想：f(a)表示什么意思？f(a)与f(x)有什么区分？ 一般地，f(a)表示当x=a时的函数值，是一个常量。f(x)表示自变量x的函数，一般状况下是变量。（2）、“y=f(x)”是函数符号，可以用随意的字母表示， 如:“y=g(x)”，“y=h(x)”； 二、探究新知 探究一 同一个函数 前提条件 定义域相同 对应关系完全一样 结论 是同一个函数 思索1：函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么推断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？ 提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以推断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可 探究二 常见函数的定义域和值域 思索2：求二次函数的值域时为什么分和两种状况？ 提示：当a>0时，二次函数的图象是开口向上的抛物线，视察图象得值域为y|y 当a<0时，二次函数的图象是开口向下的抛物线，视察图象得值域为y|y 例1.推断正误(对的打“”，错的打“×”) (1)f(x)与g(x)x是同一个函数() (2)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数() (3)函数f(x)x2x与g(t)t2t是同一个函数() 解析(1)f(x)与g(x)x的定义域不相同，所以不是同一个函数 (2)例如f(x)与g(x)的定义域与值域相同，但这两个函数不是同一个函数 (3)函数f(x)x2x与g(t)t2t的定义域都是R，对应关系完全一样，所以这两个函数是同一个函数 例2 (2019·江苏启东中学高一检测)下图中，能表示函数yf(x)的图象的是() 解析由函数定义可知，随意作一条垂直于x轴的直线xa，则直线与函数的图象至多有一个交点，可知选项D中图象能表示y是x的函数 例3若函数yx23x的定义域为1,0,2,3，则其值域为(A) A2,0,4B2,0,2,4 Cy|yDy|0y3 例4.下表表示y是x的函数，则函数的值域是() Ay|1y1BR Cy|2y3D1,0,1 解析函数值只有1,0,1三个数值，故值域为1,0,1 关键实力·攻重难 题型一 函数的值域 1、函数的值域是() A(3,0B(3,1 C0,1D1,5) 分析首先看二次函数的开口方向，再考虑二次函数的对称轴与限定区间的位置关系 解析由，可知当x2时，；当x0时， 因为x2，所以函数的值域为(3,1 归纳提升二次函数的值域 (1)对称轴在限定区间的左边，则函数在限定区间左端点取最小值，右端点取最大值； (2)对称轴在限定区间的右边，则函数在限定区间左端点取最大值，右端点取最小值； (3)对称轴在限定区间内，则函数在对称轴处取最小值，限定区间中距离对称轴较远的端点取最大值 题型二 同一个函数 2、推断下列各组函数是否是同一个函数，为什么？ (1)y与y1； (2)y与yx； (3)y·与y. 分析推断两个函数是否是同一个函数，只须看这两个函数的定义域和对应关系是否完全一样即可 解析(1)对应关系相同，都是无论x取任何有意义的值，y都对应1.但是它们的定义域不同，y的定义域是x|x0，而y1的定义域为R，故这两个函数不是同一个函数 (2)对应关系不相同，y|x|的定义域为R，yx的定义域也是R，但当x<0时，对应关系不同，故两个函数不是同一个函数 (3)函数y·的定义域为使成立的x的集合，即x|1x1在此条件下，函数解析式写为y，而y的定义域也是x|1x1，由于这两个函数的定义域和对应关系完全相同，所以两个函数是同一个函数 归纳提升推断两个函数f(x)和g(x)是不是同一函数的方法与步骤 (1)先看定义域，若定义域不同，则两函数不同(2)再看对应关系，若对应关系不同，则不是同一函数(3)若对应关系相同，且定义域也相同，则是同一函数 题型三复合函数、抽象函数的定义域 3、(1)若函数f(x)的定义域为(1,2)，则函数f(2x1)的定义域为_. (2)若函数f(2x1)的定义域为(1,2)，则函数f(x)的定义域为_. (3)若函数f(2x1)的定义域为(1,2)，则函数f(x1)的定义域为_. 分析(1)f(x)的定义域为(1,2)，即x的取值范围为(1,2)f(2x1)中x的取值范围(定义域)可由2x1(1,2)求得 (2)f(2x1)的定义域为(1,2)，即x的取值范围为(1,2)，由此求得2x1的取值范围即为f(x)的定义域 (3)先由f(2x1)的定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求f(x1)的定义域 解析(1)由1<2x1<2，得1<x<，f(2x1)的定义域为(1，) (2)1<x<2，1<2x1<5，f(x)的定义域为(1,5) (3)由f(2x1)的定义域为(1,2)得f(x)的定义域为(1,5)， 由1<x1<5得0<x<6，f(x1)的定义域为(0,6) 归纳提升函数yfg(x)的定义域由yf(t)与tg(x)的定义域共同确定： (1)若已知函数f(x)的定义域为数集A，则函数fg(x)的定义域由g(x)A解出 (2)若已知函数fg(x)的定义域为数集A，则函数f(x)的定义域为g(x)在A中的值域 误区警示 函数概念理解有误 1、设集合Mx|0x2，集合Ny|0y2，给出下列四个图形(如图所示)，其中能表示集合M到N的函数关系的个数是() A0 B1 C2 D3 错解函数的对应关系可以一对一，也可以多对一，故(1)(2)(3)正确，选D 错因分析不但要考虑几对几的问题，还要考虑定义域中的元素x在值域中是否有相应的y值与之对应 正解图(1)定义域M中的(1,2部分在值域N中没有和它对应的数，不符合函数的定义；图(2)中定义域、值域及对应关系都是符合的；图(3)明显不符合函数的定义；图(4)中在定义域(0,2上任给一个元素，在值域(0,2上有两个元素和它对应，因此不唯一故只有图(2)正确答案为B 方法点拨函数的定义中，从数的角度描述了函数的对应关系，首先它是两个非空数集之间的对应，它可以一对一，也可以多对一，除此之外，还要弄清定义域与数集A、值域与数集B之间的关系 学科素养 求函数值域的方法转化与化归思想及数形结合思想的应用 1分别常数法 求函数y的值域 分析这种求函数值域的问题，我们常把它们化为ya的形式再求函数的值域 解析y3， 又0，y3.函数y的值域是y|yR，且y3 归纳提升求y这种类型的函数的值域，应采纳分别常数法，将函数化为ya的形式 2配方法 求函数的值域 解析， 其图象是开口向下，顶点为(1,4)，在x5，2上对应的抛物线上的一段弧 依据x5，2时的抛物线上升，则当x5时，y取最小值，且；当x2时，y取最大值，且. 故的值域是12,3 归纳提升遇到求解一般二次函数yax2bxc(a0)的值域时，应采纳配方法，将函数化为ya(x)2的形式，从而求得函数的值域 3换元法 求函数yx的值域 分析忽视常数系数，则x与隐含二次关系，若令t，则x(t21)，于是函数转化为以t为自变量的二次函数，由于原函数的定义域由有意义确定，故t的允许取值范围就是的取值范围 解析设u(x)，则x(u0)， 于是yu(u0)由u0知(u1)21，则y. 故函数yx的值域为，) 归纳提升求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，干脆求解很困难，既费时又费劲，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子值得留意的是，在代换过程中，要留意新变量的取值范围 WORD模版 源自网络，仅供参考！ 如有侵权，可予删除！ 文档中文字均可以自行修改
