2011年考研数学三真题及解析.pdf
欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2011 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）已知当0 x 时，3sinsin3f xxx与kcx是等价无穷小，则（）（A）k=1,c=4 （B）k=1,c=4 （C）k=3,c=4 （D）k=3,c=4【答案】（C）【考点】无穷小量的比较，等价无穷小，泰勒公式【难易度】【详解】解析：方法一：当0 x 时，sin xx:03sinsin3limkxxxcx03sinsincos2cos sin2limkxxxxxxcx 20sin3cos22coslimkxxxxcx2103cos22coslimkxxxcx 221032cos12coslimkxxxcx22110044cos4sinlimlimkkxxxxcxcx 304lim14,3kxckcx，故选择（C）.方法二：当0 x 时，33sin()3!xxxo x)(4)(!3)3(3)(!3 33sinsin3)(333333xoxxoxxxoxxxxxf 故3,4kc，选（C）.（2）已知函数 f x在 x=0 处可导，且 0f=0，则 23302limxx f xf xx=（）（A）2 0f （B）0f （C）0f （D）0.【答案】（B）【考点】导数的概念【难易度】【详解】欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精选文库-2 解析：2333300200limlim2xxx fxfxfxffxfxxx 0200fff.故应选（B）（3）设 nu是数列，则下列命题正确的是 （）（A）若1nnu收敛，则2121()nnnuu收敛 （B）若2121()nnnuu收敛，则1nnu收敛（C）若1nnu收敛，则2121()nnnuu收敛（D）若2121()nnnuu收敛，则1nnu收敛【答案】（A）【考点】级数的基本性质【难易度】【详解】解析：由于级数2121()nnnuu是级数1nnu经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当1nnu收敛时，2121()nnnuu也收敛，故（A）正确.（4）设40lnsinIxdx，40lncotJxdx，40lncosKxdx，则,I J K的大小关系是（）（A）IJK （B）IKJ （C）JIK （D）KJI【答案】（B）【考点】定积分的基本性质【难易度】【详解】解析：如图所示，因为04x时，20sincoscot2xxx，因此lnsinlncoslncotxxx 444000lnsinlncoslncotxdxxdxxdx，故选（B）（5）设A为 3 阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第三行得单位矩/4 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精选文库-3 阵，记1100110001P，2100001010P，则A=（）（A）12PP （B）112PP （C）21P P （D）121P P【答案】（D）【考点】矩阵的初等变换【难易度】【详解】解析：由初等矩阵与初等变换的关系知1APB，2P BE，所以111112121ABPPPP P，故选（D）（6）设A为4 3矩阵，123,是非齐次线性方程组Ax的3个线性无关的解，12,k k为任意常数，则Ax的通解为（）（A）23121()2k （B）23121()2k（C）23121231()()2kk （D）23121231()()2kk【答案】（C）【考点】线性方程组解的性质和解的结构；非齐次线性方程组的通解【难易度】【详解】解析：1213,为0Ax的解，因为321,线性无关，故1213,线性无关，232为Ax的解，故Ax的通解为)()(212213132kk所以应选（C）.（7）设1()F x,2()F x为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x与2()fx是连续函数，则必为概率密度的是（）（A）1()f x2()fx （B）22()fx1()F x（C）1()f x2()F x （D）1()f x2()F x+2()fx1()F x【答案】（D）【考点】连续型随机变量概率密度【难易度】【详解】欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精选文库-4 解析：1221()()()()f x F xfx F x dx2112()()()()F x dF xF x dF x 121212()()()()()()F x F xF x dF xF x dF x1 故选（D）.（8）设总体 X 服从参数为(0)的泊松分布，12,(2)nXXXn L为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量111niiTXn和121111niniTXXnn，有（）（A）1ET2ET,1DT2DT （B）1ET2ET,1DT2DT（C）1ET2DT （D）1ET2ET,1DT2DT【答案】（D）【考点】随机变量函数的数学期望；随机变量的数学期望的性质【难易度】【详解】解析：由于12,nXXXL是简单随机样本，0iiEXDX，1,2,inL，且12,nXXXL相互独立，从而 111111()()nniiiiE TEXEXn E Xnnn，112111111()()11nnininiiE TEXXEXE Xnnnn 11(1)()()1innE XE Xnn 111E XE Xnn 故 12E TE T 又 1121(11)niiD TDn D XD XnnXnn，12221111()(1)1(1)niniD TDXXnnnnn12()1D Tnnn，故选（D）.二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精选文库-5（9）设 0lim1 3xttfxxt，则 fx .【答案】31 3xex【考点】重要极限公式【难易度】【详解】解析：31300lim1 3lim1 3xtxtttttfxxtxt3xx e 所以有 31 3xfxex.（10）设函数1xyxzy，则1,1dz .【答案】1 2ln2dxdy【考点】多元复合函数的求导法【难易度】【详解】解析：两边取对数得 lnln(1)xxzyy，由一阶微分形式不变性，两边求微分得 dyyxyyxyxyxzdxyxyxyxyzdzdyyxyxdxyxyyxdyyxdxyyxyxdyxyxdyxdzz)()1ln()()1ln(1)111()1)(1ln()1ln()()1ln(122222 将1x，1y，2)1,1(z代入得(1,1)1 2ln 2dzdxdy（11）曲线tan4yxye在点0,0处的切线方程为 .【答案】2yx 【考点】隐函数微分法 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精选文库-6【难易度】【详解】解析：两边对x求导得yeyyxy)1)(4(sec2，所以在点(0,0)处(0)2y，从而得到曲线在点(0,0)处的切线方程为2yx.（12）曲线21yx，直线2x 及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为 .【答案】43【考点】定积分的应用【难易度】【详解】解析：222223111141().33Vy dxxdxxx （13）设二次型123,Tfx xxx Ax的秩为1，A中各行元素之和为 3，则f在正交变换xQy下的标准形为 .【答案】213y【考点】用正交变换化二次型为标准形【难易度】【详解】解析：A的各行元素之和为 3，即1113 111A 所以13是A的一个特征值.又因为二次型Tx Ax的秩1)(Ar230.因此，二次型的标准形为：213y.（14）设二维随机变量,X Y服从正态分布22,;,;0 N，则2E XY=.【答案】22()【考点】数学期望的性质；相关系数的性质 x 2 y 1 0 21yx 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精选文库-7【难易度】【详解】解析：因为,X Y22,;,;0 N，所以2(,)XN，Y,2222)(,EYDYEYEX 又因为0，所以X，Y相互独立.由期望的性质有22()E XYEX EY22()。三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）求极限012sin1limln 1xxxxx【考点】无穷小量的比较；洛必达法则【难易度】【详解】解析：当0 x 时，ln(1)xx:012sin1limln 1xxxxx2012sin1limxxxx 2022220032222000 12sin(1)12sin(1)lim 12sin(1)12sin(1)2sin2limlim2212sin2116limlimlim2222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx （16）（本题满分 10 分）已知函数,f u v具有连续的二阶偏导数，1,12f是,f u v的极值，(,)zf xy f x y.求21,1zx y 【考点】多元复合函数的求导法；二阶偏导数；多元函数的极值【难易度】欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精选文库-8【详解】解析：(,(,)zf xy f x y 121211xxzffffffx 21112212221112212221111yxyxyyxyxyzfffffffffx yfffffffff 1,12fQ为,f u v的极值 1,11,10 xyff 211211212(1,1)(2,2)(2,2)(1,1)(2,2)(2,2)(1,1)xyzffffffx y （17）（本题满分 10 分）求不定积分arcsinlnxxdxx【考点】不定积分的基本性质；不定积分的换元积分法与分部积分法【难易度】【详解】解析：arcsinlnarcsinln22(arcsin2ln)2xxxxdxdxxx dxxx 22(arcsin2ln)2(arcsin2ln)221txttt dttttdtt 222(1)2(arcsin2ln)42(arcsin2ln)2 1412(arcsin2ln)2 14dttttttttttCtxxxxxC 其中C是任意常数.（18）（本题满分 10 分）证明方程44arctan303xx恰有两个实根.【考点】闭区间上连续函数的性质；函数单调性的判别【难易度】【详解】解析：令4()4arctan33f xxx，fz 1 2 x y f x y 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精选文库-9 则24()1031fxxx 当(,3)x 时，()0fx，()f x单调递减；当(3,3)x 时，()0fx，()f x单调递增；当(3,)x时，()0fx，()f x单调递减；又因为4(3)4arctan(3)(3)303f.3x 是函数()f x在(,3)上唯一的零点.又因为48(3)4arctan3332 3033f 且 4limlim4arctan3.3xxfxxx 由零点定理可知，03,x，使 00f x,方程44arctan303xx恰有两个实根.（19）（本题满分 10 分）设函数()f x在区间 0,1具有连续导数，(0)1f，且满足()()ttDDfxy dxdyf t dxdy,(,)0,0(01)tDx yytxxtt，求()f x的表达式.【考点】二重积分的计算；一阶线性微分方程【难易度】【详解】解析：因为 0000()()()()ttt xtt xDfxy dxdydxfxy dydxfxy d yx 00000()()()()()ttty t xx tyxf xydxf tf x dxf t xf x dx 0()()ttf tf x dx，21()()()2ttDDf t dxdyf tdxdyt f t 3 3 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精选文库-10 201()()()2ttf tf x dxt f t.两边对t求导，得 2()()02f tf tt,解齐次方程得212()(2)dttCf tCet 由(0)1f，得4C.所以函数表达式为24()(01)(2)f xxx.（20）（本题满分 11 分）设 向 量 组11,0,1T，20,1,1T，31,3,5T 不 能 由 向 量 组11,1,1T,21,2,3T,33,4,Ta 线性表出.（I）求a的值；（II）将1，2，3用1，2，3线性表出.【考点】向量组的线性相关与线性无关；矩阵的初等变换【难易度】【详解】解析：（I）因为123101,01310115 ，所以123,线性无关，又因为123,不能由123,线性表示，所以123,3r ，所以123113113,1240115013023aaa ，所以5a （II）123123,（）=101113013124115135 1011130131240140221011130131240011021002150104210001102 故112324，2122，31235102 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精选文库-11（21）（本题满分 11 分）A为 3 阶实对称矩阵，A的秩为 2，且111100001111A（I）求A的所有特征值与特征向量;（II）求矩阵A.【考点】矩阵的秩；矩阵的特征值和特征向量的概念、性质；实对称矩阵的特征值和特征向量【难易度】【详解】解析：（I）因为111100001111A 所以110011A ，111000111A，所以11是A的特征值，1(1,0,1)T是对应的特征向量；21 是A的特征值，2(1,0,1)T是对应的特征向量.因()2r A 知0A，所以30是A的特征值.设3123(,)Tx xx是A属于特征值30的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量相互正交，即 131323130,0,TTxxxx 解得3(0,1,0)T 故矩阵A的特征值为1,1,0；特征向量依次为123(1,0,1),(1,0,1),(0,1,0)TTTkkk，其中 123,k k k均是不为 0 的任意常数.（II）将321,单位化得101211，101212，0103 令0212110002121),(321Q，则011AQQT 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精选文库-12 所以100110000100TAQQ.（22）（本题满分 11 分）设随机变量X与Y的概率分布分别为 X 0 1 P 1/3 2/3 Y 1 0 1 P 1/3 1/3 1/3 且22()1P XY.（I）求二维随机变量(,)X Y的概率分布；（II）求ZXY的概率分布；（III）求X与Y的相关系数XY.【考点】二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布；两个随机变量简单函数的分布；相关系数【难易度】解析：（I）因为22()1P XY，所以22()0P XY 即0)0,1()1,0()1,0(YXPYXPYXP 又因为31)1(,31)0(,31)1(,32)1(,31)0(YPYPYPXPXP 所以(,)X Y的概率分布为 X Y-1 0 1 Y 0 0 31 0 31 1 31 0 31 32 X 31 31 31 1 （II）ZXY的所有可能取值为-1，0，1.111,13P ZP XY 111,13P ZP XY 101113P ZP ZP Z ZXY的概率分布为 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精选文库-13 （）23EX，0EY，0EXY，故(,)0Cov X YEXYEX EY，从而0XY.（23）（本题满分 11 分）设二维随机变量(,)X Y服从区域G上的均匀分布，其中G是由0,2xyxy与0y 所围成的三角形区域.（I）求X的概率密度()Xfx；（II）求条件概率密度|(|)X Yfx y.【考点】二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度；常见二维随机变量的分布【难易度】【详解】解析：（I）因为1GS 所以(,)X Y的联合密度为1,(,),(,)0,(,).x yGf x yx yG 由于dyyxfxfX),()(当0 x 或2x 时，()0Xfx.当01x时，0()(,)1xXfxf x y dydyx；当12x时，20()(,)12xXfxf x y dydyx；所以,01,()2,12,0,Xxxfxxx其它.（II）dxyxfyfY),()(当0y 或1y 时，()0Yfy.当01y时，2()122yYyfydxy；所以|(,)(|)()X YYf x yfx yfy1,2,01,220,yxyyy其他.Z-1 0 1 p 1/3 1/3 1/3 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！
