2018年全国统一高考数学试题(理科)(新课标Ⅱ卷)(带解析)3.pdf

欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！试卷第 1 页，共 4 页 2018 年全国统一高考数学试题（理科）（新课标卷）（带解析）一、单选题 112i12i A43i55 B43i55 C34i55 D34i55 2已知集合223Ax y xyxZyZ，则A中元素的个数为（）A9 B8 C5 D4 3函数 2eexxf xx的图像大致为()A B C D 4已知向量a,b满足a1，a b1，则a(2ab)A4 B3 C2 D0 5双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为3，则其渐近线方程为 A2yx B3yx C22yx D32yx 6在ABC中，5cos25C,BC=1,AC=5，则 AB=A4 2 B30 C29 D2 5 7为计算11111123499100S ，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！试卷第 2 页，共 4 页 A1ii B2ii C3ii D4ii 8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 A112 B114 C115 D118 9在长方体1111ABCDABC D中，1ABBC，13AA，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为 A15 B56 C55 D22 10若 cossinf xxx在,a a是减函数，则a的最大值是 A4 B2 C34 D 11已知()f x是定义域为(,)的奇函数,满足(1)(1)fxfx.若(1)2f，则(1)(2)(3)(50)ffff A50 B0 C2 D50 12已知1F，2F是椭圆22221(0)xyCabab：的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，12PF F为等腰三角形，12120F F P，则C的离心率为 A23 B12 C13 D14 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！试卷第 3 页，共 4 页 二、填空题 13曲线2ln(1)yx在点(0,0)处的切线方程为_ 14若,x y满足约束条件250,230,50,xyxyx 则zxy的最大值为_ 15已知sincos1，cossin0，则sin_ 16已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为 45，若SAB的面积为5 15，则该圆锥的侧面积为_ 三、解答题 17记nS为等差数列na的前n项和，已知17a ，315S （1）求na的通项公式；（2）求nS，并求nS的最小值 18下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量t的值依次为1,2,17）建立模型：30.413.5yt；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量t的值依次为1,2,7）建立模型：99 17.5yt （1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 19设抛物线24Cyx：的焦点为F，过F且斜率为(0)k k 的直线l与C交于A，B两点，|8AB （1）求l的方程；欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！试卷第 4 页，共 4 页 （2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程 20如图，在三棱锥PABC中，2 2ABBC，4PAPBPCAC，O为AC的中点 （1）证明：PO 平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值 21已知函数 2xexf xa（1）若1a，证明：当0 x 时，1fx；（2）若 f x在只有一个零点，求a的值.22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为24xcosysin（为参数），直线l的参数方程为12xtcosytsin（t为参数）.（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为1,2，求l的斜率 23设函数()52f xxax.（1）当1a 时，求不等式()0f x 的解集；（2）若()1f x 恒成立，求a的取值范围.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！答案第 1 页，共 12 页 参考答案 1D【详解】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：212(12)341255iiii 选 D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.2A【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.【详解】223xy 23,x xZ 1,0,1x 当1x 时，1,0,1y ；当0 x 时，1,0,1y ；当1x 时，1,0,1y ；所以共有 9 个，故选：A.【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.3B【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()xxeexfxf xf xx 为奇函数，舍去 A,1(1)0fee 舍去 D;243()()2(2)(2)()2,()0 xxxxxxeexeexxexefxxfxxx，所以舍去 C；因此选 B.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！答案第 3 页，共 12 页 减.因此在空白框中应填入2ii，选 B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8C【详解】分析：先确定不超过 30 的素数，再确定两个不同的数的和等于 30 的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，随机选取两个不同的数，共有21045C种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于 30 的有 3 种方法，故概率为31=4515，选 C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.9C【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以 D 为坐标原点，DA,DC,DD1为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,3),(0,0,3)DABD,所以11(1,0,3),(1,1,3)ADDB,因为1111111 35cos,525AD DBAD DBAD DB，所以异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为55，选 C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.10A 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！答案第 4 页，共 12 页【详解】因为()cossin2cos()4f xxxx，所以由02 2,(kZ)4kxk得32 2,(kZ)44kxk 因此 33,044444a aaaaaa ，从而a的最大值为4，故选：A.11C【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为()f x是定义域为(,)的奇函数，且(1)(1)fxfx，所以(1)(1)(3)(1)(1)4fxf xfxf xf xT ,因此(1)(2)(3)(50)12(1)(2)(3)(4)(1)(2)ffffffffff，因为(3)(1)(4)(2)ffff ，所以(1)(2)(3)(4)0ffff，(2)(2)(2)(2)0ffff，从而(1)(2)(3)(50)(1)2fffff，选 C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 12D【详解】分析：先根据条件得 PF2=2c,再利用正弦定理得 a,c 关系，即得离心率.详解：因为12PF F为等腰三角形，12120F F P，所以 PF2=F1F2=2c,由AP斜率为36得，2223112tan,sincos61313PAFPAFPAF，由正弦定理得2222sinsinPFPAFAFAPF,所以2112211313=4,5431211sin()3221313cac eacPAF，故选 D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,a b c的方程或不等式，再根据,a b c的关系消掉b得到,a c的关系式，而建立关于,a b c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！答案第 5 页，共 12 页 132yx【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.【详解】222210 1ykyxx【点睛】求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异，过点 P 的切线中，点 P不一定是切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点 P 为切点.149【分析】作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当5,4xy时，max9z.【详解】不等式组表示的可行域是以(5,4),(1,2),(5,0)ABC为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数zxy的最大值必在顶点处取得，易知当5,4xy时，max9z.【点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.1512【详解】因为，所以，因为，所以，得，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！答案第 6 页，共 12 页 即，解得，故本题正确答案为 1640 2【详解】分析：先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求结果.详解：因为母线SA，SB所成角的余弦值为78，所以母线SA，SB所成角的正弦值为158，因为SAB的面积为5 15，设母线长为,l所以221155 158028ll，因为SA与圆锥底面所成角为 45，所以底面半径为2cos,42ll 因此圆锥的侧面积为2240 2.2rll 17（1）an=2n9，（2）Sn=n28n，最小值为16【详解】分析：（1）根据等差数列前 n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前 n 项和公式得nS的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设an的公差为 d，由题意得 3a1+3d=15 由 a1=7 得 d=2 所以an的通项公式为 an=2n9（2）由（1）得 Sn=n28n=（n4）216 所以当 n=4 时，Sn取得最小值，最小值为16 点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18（1）利用模型预测值为 226.1，利用模型预测值为 256.5，（2）利用模型得到的预测值更可靠【详解】分析：（1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为 2018 时所对应的函数值，就得结果;（2）根据折线图知 2000 到 2009，与 2010 到 2016 是两个有明显区别的直线，且 2010欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！答案第 7 页，共 12 页 到 2016 的增幅明显高于 2000 到 2009，也高于模型 1 的增幅，因此所以用模型 2 更能较好得到 2018 的预测.详解：（1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 y=30.4+13.519=226.1（亿元）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 y=99+17.59=256.5（亿元）（2）利用模型得到的预测值更可靠 理由如下：（i）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线y=30.4+13.5t 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势 2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型 y=99+17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠（ii）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠 点睛：若已知回归直线方程，则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值；若回归直线方程有待定参数，则根据回归直线方程恒过点(,)x y求参数.19(1)y=x1,(2)22 3216xy或22116144xy【详解】分析：(1)根据抛物线定义得12ABxxp，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线l的方程；（2）先求 AB 中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程.详解：（1）由题意得 F（1，0），l 的方程为 y=k（x1）（k0）设 A（x1，y1），B（x2，y2）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！答案第 8 页，共 12 页 由214yk xyx得2222240k xkxk 216160k，故212224kxxk 所以 21224411kABAFBFxxk 由题设知22448kk，解得 k=1（舍去），k=1 因此 l 的方程为 y=x1（2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3，2），所以 AB 的垂直平分线方程为 23yx，即5yx 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则 002200051116.2yxyxx，解得0032xy，或00116.xy，因此所求圆的方程为 223216xy或22116144xy 点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法 若已知条件与圆心,a b和半径r有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于,a b r的方程组，从而求出,a b r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D、E、F 的方程组，进而求出 D、E、F 的值 20（1）证明见解析；（2）34.【分析】（1）根据等腰三角形性质得 PO 垂直 AC，再通过计算，根据勾股定理得 PO 垂直 OB，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面 PAM 一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得 M 坐标，再利用向量数量积求得向量 PC 与平面 PAM 法向量夹角，最后根据线面角与向欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！答案第 9 页，共 12 页 量夹角互余得结果【详解】（1）因为4APCPAC，O为AC的中点，所以OPAC，且2 3OP 连结OB 因为22ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且1,22OBAC OBAC 由222OPOBPB知POOB 由,OPOB OPAC知PO 平面ABC（2）如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz 由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,2 3),(0,2,2 3)OBACPAP 取平面PAC的法向量(2,0,0)OB 设(,2,0)(02)M aaa，则(,4,0)AMaa 设平面PAM的法向量为(,)nx y z 由0,0AP nAM n得22 30(4)0yzaxa y，可取2(3(4),3,)naaa 所以2222 3(4)cos2 3(4)3aOB naaa 由已知得3cos2OB n 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！答案第 10 页，共 12 页 所以2222 3|4|322 3(4)3aaaa 解得4a(舍去)，43a 所以8 3 4 34,333n 又(0,2,2 3)PC ，所以3cos,4PC n 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”21（1）见解析；（2）24ea 【详解】分析：(1)先构造函数 211xg xxe，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式;(2)研究 f x零点，等价研究 21xh xax e 的零点，先求 h x导数：2xh xax xe，这里产生两个讨论点，一个是 a 与零，一个是 x 与 2，当0a 时，0h x，h x没有零点；当0a 时，h x先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得 a 的值.详解：（1）当1a 时，1fx 等价于2110 xxe 设函数 211xg xxe，则 22211xxgxxxexe 当1x 时，0gx，所以 g x在0,单调递减 而 00g，故当0 x 时，0g x，即 1fx （2）设函数 21xh xax e f x在0,只有一个零点当且仅当 h x在0,只有一个零点（i）当0a 时，0h x，h x没有零点；（ii）当0a 时，2xh xax xe 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！答案第 11 页，共 12 页 当0,2x时，0h x；当2,x时，0h x 所以 h x在0,2单调递减，在2,单调递增 故 2421ahe 是 h x在0,的最小值 若 20h，即24ea，h x在0,没有零点；若 20h，即24ea，h x在0,只有一个零点；若 20h，即24ea，由于 01h，所以 h x在0,2有一个零点，由（1）知，当0 x 时，2xex，所以 333244216161614111102aaaaahaeaae 故 h x在2,4a有一个零点，因此 h x在0,有两个零点 综上，f x在0,只有一个零点时，24ea 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.22（1）221416xy，当cos0时，l的直角坐标方程为tan2tanyx，当cos0时，l的直角坐标方程为1x；（2）2【分析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线C的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线l的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分cos0 与cos0两种情况.(2)将直线l参数方程代入曲线C的直角坐标方程，根据参数几何意义得sin,cos之间关系，求得tan，即得l的斜率【详解】详解：（1）曲线C的直角坐标方程为221416xy 当cos0时，l的直角坐标方程为tan2tanyx，当cos0时，l的直角坐标方程为1x （2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！答案第 12 页，共 12 页 221 3cos4 280tcossint 因为曲线C截直线l所得线段的中点1,2在C内，所以有两个解，设为1t，2t，则120tt 又由得1224 21 3coscossintt，故2cossin0，于是直线l的斜率tan2k 23(1)2,3；(2),62,.【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|2|4xax，再根据绝对值三角不等式得|2|xax最小值，最后解不等式|2|4a得a的取值范围 详解：（1）当1a 时，24,1,2,12,26,2.xxf xxxx 可得 0f x 的解集为|23xx （2）1f x 等价于24xax 而22xaxa，且当2x 时等号成立故 1f x 等价于24a 由24a可得6a 或2a，所以a的取值范围是,62,点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向