03不等式 学生版2021版.docx

不等式专题考纲内容明细内容要求层次了解理解掌握不等式的性质不等式的性质、结合函数图像判 断不等式解不等式一元二次不等式、分式不等式、 结合函数图像解不等式基本不等式：用基本不等式解决简单的最大 （小）值问题、变式I1 双JI4知识框图讲义导航考占-J ）、总题数例题练习A练习B练习C作业不等式的性质2048305解不等式2675707基本（均值）不等式343711013练习A【练1】那么以下不等式中正确的选项是（）A. a<hB. <C. -a>-bD. a2 < h2a b【练2】（2018东城区一模）bcR,且那么以下不等式一定成立的是（）A. a2 -b2 >Q B. costz cosZ?>0 C. <0 D. ea -eb < 0 a b【练3】（2017春西城区校级期末）假设非零实数那么一定成立的不等式是（）A. ac> beB. ab>acC.a-c> b-cD.1<1<1【练4】（%<（与，那么以下关系正确的选项是（ 7171A. > a>b>0A. > a>b>0B. a<hC.a>hD.>b>a>0【练5】x, y w R ,且x>y>0,那么(A. - - > 0 % c.分-分<。22B.sin x-sin y > 0D. Inx + Iny > 0【练6 （2018秋通州区期中）某人从甲地到乙地往返的速度分别为a和仇人勿，其全程的平均速 度为u，那么（）aa + bA. v =2aa + bB. v =2C. v = fabD. a <v < ab【练7】（2018北京模拟）不等式父+x 2<0的解集为（）A. x|-2<x< 1 B. x- <x<2 C. x|x<-2 或x>l D. x|xv-l 或x>2【练8】（2019秋海淀区校级期中）假设q>0, b>0, ab = 2,那么a +%的最小值为（）A. 272B. 4C. 4、6D. 6【练9】（2019北京模拟）a>0, b>0, ab = 4,那么a + Z?的最小值是（）A. 272B. 3C. 4D. 6【练10（2018春海淀区校级期末）/gQ + /g = 0,那么这（。+ ）的最小值为（）A. 1g 2B. 2 V2C. -lg 2D. 2【练秋嗨淀区校级期中）比拟大小：严【练12假设P =1,。=而-逐，那么。与。的大小关系是_【练13（2018秋东城区校级期中）不等式上1,0的解是l-2x【练14 （2019石景山区一模）集合人=-5, -1, 2, 4, 5,请写出一个一元二次不等式, 使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是.【练15（2017秋海淀区校级期末）对VxwA,加-x + l>0恒成立，那么。的取值范围是1a > 一4-【练16（2019秋朝阳区校级期中）函数y = x-l + 3（x>0）的最小值为.此时户 x7【练17 （2019秋西城区校级期中）函数/（x） = x +上5>1）的最小值是;取到最小值时,x-1【练18】(2019秋西城区校级期中)假设x、ye/?+,且，+ 3y = 4,那么上的最大值为. xx【练19(2019秋海淀区校级期中)，是正实数，且q + = 2,那么& +的最小值为 a b【练20(2019秋海淀区校级期中)求以下不等式的解集.1Q-4<x2 -x;22(x + 3)2.(1-2x)2.5r-2>32x+l【练21】【练21】Y + 4(1)求y = -的最小值.2G +1x2 +10(2)求函数y= 的最值.&+9练习B【练1】假设0 v，篦v 1 ,那么()A log,Jl + m)> log,(l- m)C. 1 - m > (1 + m)2B. log, (1 + m) > 01 £D. (1 - mY > (1 - m)2【练2】（2018春海淀区校级期中）设a, bR,以下不等式中一定成立的是（A. 6Z2 + 3> 2aC. a3 -I-b3.a2b + ab2B. cr-b2 >0D.ci H2【练3】（2017秋海淀区校级期中）关于x的不等式/依+）<0的解集为x|-l<x<4,那么不等式|云+。|>5的解集为（）A .（，2）B.（co ,）（2 ,+8）22C. （2,）D.（co ,2）（9+8）22【练4】不等式x的解集为.【练5】（2017秋海淀区校级期中）关于x的方程加+x + 2 = 0的两个实根一个小于0,另一个 大于1,那么实数。的取值范围是.【练6】（2018春海淀区期中）不等式1>履+ 1的解集为【练7】（2018春海淀区期中）不等式区*的解集为【练8】（2019北京模拟）国油 的取值范围是 .4 1'f 且1= 1,假设冈，1恒成立,那么实数导【练9】（2019秋海淀区校级月考）函数|冈 一.bcR+）,|回|的最小值为4,那么点回到直线|因二距离的最小值为.【练1。】设皿x + 2y = 5,那么。+ 1犍+ 1）的最小值为“而【练11（2018朝阳区二模）x>0, y>0,且满足国u中：”那么/gx + /gy的最大值为【练12（2017朝阳区模拟）q>1, 再,且"+ 2 = 2（ +勿，那么"的最小值为【练13】函数0的最小值是I*SR ；【练14（2019秋海淀区校级期中）比b为正实数，试比拟冈 与G + C的大小.【练15（2019秋海淀区校级期中）一元二次不等式 区 |的解集为二|a<xv0，且CX2 +/zx +4Vo 的解集.【练16（2017秋海淀区校级期中）一元二次方程依2+2x+1=0.有一个正根和一个负根”充要条件.有一个正根和一个负根''一个必要而不充分条件，并给予证明.【练17（2019秋海淀区校级期中）（1）的最小值.Q 1(2)假设把(1)中的“2 + = 1»改为“% >”,其他条件不变,【练18求证:【练19】求实数理I勺取值范围，使得关于x的方程|冈“”|分别满足以下条件:（1）有两个不同的，且都大于1的实数根；（2）至少有一个正实数根.【练20（2017秋海淀区校级期中）函数0（1）求函数可的解析式，并判断卬的奇偶性;（2）解关于x的不等式/（%）.历（2x + l）.【练21集合反，集合区【练22求函数y=的最小值. +4作业【题1】（2018秋西城区校级月考）后W7以下不等式中正确的选项是（A.B.C.D.【题2】以下选项中正确的选项是1）B.C.假设q6>0, a>b ,那么 a bD.【题3】（2018秋西城区期末）如果百卫 那么以下不等式中正确的选项是长 1C.A.【题4】（2018春西城区期末）如果那么以下不等式一定成立的是达 JA.A.B.D.【题5】（2019石景山区一模）x> y> a>b> ,那么以下各式中一定正确的选项是（）A. ax >hyA. ax >hyc.D.题6 （2019秋海淀区校级期中）假设国和目食别是一元二次方程|国的两根.那么1% 一% 1=【题7】假设不等式办2+区一2>。的解集是（co , -2）（1 , +8）,那么 + /? =.【题8】（2018秋海淀区校级期中）不等式fx<2的解集为 .【题9】如果方程123公+ 2/=0的一根小I,另一根大于1,那么实数。的取值范围是【题10】（2018秋西城区期末）不等式匚1的解集为_.x-17 r _ 1【题11】（2017秋西城区校级期中）集合A = x|x q|,3, xg/?）, B = xJ<1.假设AqB, x + 4求实数。的取值范围.【题12】求实数域勺取值范围，使得关于x的方程|冈一|分别满足以下条件:（1）有两个不同的，且都大于1的实数根；（2）至少有一个正实数根.【题13】（2018秋东城区期末）假设实数x, y满足2x+y = l,那么心y的最大值为（）A. 1A. 1C.-8【题14】（2018秋海淀区期中）函数/（x） = log“x, g（x） = b"的图象都经过点，,2）,那么必 的值为（）A. 1B. 2C. 4D. 8【题15】（2018北京模拟）a>0, Z?>0,且q + 2Z? = 8,那么他的最大值等于（）A. 4B. 8C. 16D. 32【题16】（2019秋丰台区期中）x>0, y>0, x+y = 3,那么母的最大值为.4【题17】函数y = x + + 2(x>0)的最小值为x【题18x>3,那么函数v = + x-3的最小值是2 ； x 3【题19】(2017春东城区校级期末)在平面直角坐标系宜»中，两点43,0)，5(0,4),点 M(x,y)为直线上的动点，那么冲的最大值是.【题20】(2017春朝阳区期末)正实数, 满足利+ = 3,那么能的最大值为2【题21】(2017秋海淀区校级月考)函数y = ± 在x£(l,+oo)上的最大值为_.1-X【题22】(2019秋海淀区校级期中)(1)x>0,求函数)7=一+51+ 4的最小值; x(2)0<xvg求函数y = x(l-3x)的最大值.【题23】(2019秋海淀区校级期中)(1)尤<9,求丁二以2 + 的最大值; 44x-5(2)0vx<L2(2)0vx<L2求y = gx(l -2x)的最大值.【题24】(2019秋海淀区校级期中)a>0, b>0, a + 2 = l,求，=，+，的最小值. a b【题25】(2019秋海淀区校级期中)假设x>0, y>0,且2x + 8y-盯=0,求x+y的最小值.【题26】(2020北京)函数/(x) =2x-x- b那么不等式/ (%) >0的解集是()A. (-1,1)B. ( - oo, - 1) U (1, +8)C. (0, 1)D. ( - 8, o) U (1, 4-00)【题27】(2020东城区一模)xV-l,那么在以下不等式中，不成立的是()A. x2- l>0C. siiir - x>0D. cosx+x>0【题28】（2020海淀区校级一模）以下不等式成立的是（）A. sinA>cos22C. log1 -<log1 日73 T2b. (A)工>(1)与22±2D. (A) T> (A) 323【题29】（2020春延庆区期中）对任意实数x,都有logo （，+4） 21 （>0且。W1）,那么实数。的取值范围是（）1 . （0, -1） B. （1, 4）C. （1, 4D. 4, +8）4知识点梳理：一：不等式性质及其应用l不等式的概念：用不等号（3口 口 a 0表示不等关系的式子叫做不等式.2 .不等式的性质：不等式性质1：（对称性）如不目.那么I冈I;如果I臼，那么I冈1.不等式性质2：（传递性）如果可|且耳？那么卬.不等式性质3：加法法那么（同向不等式可加性）|冈|；推论:不等式性质4：乘法法那么假设那么推论 1: a>b>O,c>d >Q>ac>bd ；推论2：区 .推理3：.卜推理4：冈.3 .两个实数的大小比拟：（1）数轴法：对于任意两个实数口和口 对应数轴上的两点，右边的点对应的实数比左边点对应的 实数大.（2）作差比拟法：I B M； 值三三三三|； 回三三三三|； a-b>O<a>b （作差与。比拟） ； - = la = b ；凶（作商与1比拟）（4）特殊值法（5）函数的性质（6）分子有理化例题讲解考点1:不等式性质及其应用例1 （2019秋海淀区校级期中）3 那么以下不等式正确的选项是长达D.A.【例2】（2018秋东城区期末）耳耳I，那么以下不等式中一定成立的是达A.B.C.D.【例3】（2018秋朝阳区期中）瓦三,那么以下不等关系中正确的选项是. ）A. cosx>cosyB. log3 x < log3 yD.i_ 2 C.户【例4】比拟V7-君与20-几的大小为（用或"”填空）二、解不等式（-）绝对值不等式I表示I表示L绝对值的几何意义：设是一个实数，在数轴上|勺表示实数4对应的点与原点的距离；| 实数X对应的点与实数Q对应的点之间的距离.2 ,关于绝对值的几个结论定理：对任意实数和数有| + /?归同+忸|推论:.同一同 <卜+小.ci一目 < a c + cb ；.a+b + c < a +b + c ；.绝对值不等式的解法含绝对值的不等式I x |与| x |>。的解集含绝对值的不等式IXI（。与I的解集/(x)| > c(c > 0)= "X)> cf (x) < -c； /(%) < c(c>0)-c< f(x)<c.（二）分式不等式L分式不等式的概念：分母中含有未知数的不等式称为分式不等式.2 .分式不等式的解法：不等式两边同乘以分母的平方，将之化为两个一元一次不等式组处理.不等式a>0a =0a<Q|不的解集-a<x<a|不的解集x>ax<-aR等式直接转化为整式不等式组求解.两个数 （式）相除异 号，那么 这两个数 （式）相乘也 异号，可 将分式不（三）一元二次不等式. 一元二次不等式概念：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次 不等式.1 .一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以。0为例）：判别式A = Z?2 - 4acA>0A = 0A<0注注形结合思想，可使问题得到顺利解决.有关含有 参数的一 元二次不 等式问题, 假设能把不 等式转化 成二次函 数或二次 方程，通 过根的判 别式或数其方法大致有：用一元二次方程根的判别式;参数大于最大值或小于最小值;变更主元利用函数与方程的思想求解.2 .解一元二次不等式：通常先将不等式化为"？+云+ c>°或c+Sx + cYOm。）的形式，然后 求出对应方程的根（假设有根的话），再写出不等式的解：大于。时两根之外，小于°时两根之间；例题讲解考点1:绝对值不等式【例1】（2019秋西城区校级期中）解以下关于的不等式|2-1|<3；考点2：分式不等式【例1】（2020春房山区期末）假设不等式红卫<0的解集是国VxV2,那么的值是（ ）x-23A. 1B. 2C. 3D. 4例2 (2018秋东城区期末)不等式三工0的解集为 x-3【例3】(2018秋东城区校级期中)以下选项中，使不等式成立的x的取值范围是()xA. (-00, -1)0(0, 1)B. (-1 , 0)0(1 , +oo)C. (0,1)D. (l,+oo)考点3： 一元二次不等式解法例1 (2019北京模拟)不等式1+2%-3>0的解集为()A. x|-3<x<l B. x-1 <x<3 C. xhv-3 或x>l D. x|x<-l 或x>3(x+2n' 二,那么不等式/(x) 2/的解集为-x+2, x>0( )A. x| -B. 3-2WxW2 C. x|-2WxWl D. x|-lx<2考点4： 一元二次方程根的分布【例1】(2019秋海淀区校级期中)关于x的方程f+(加一3)工+ 7 一m=0的两根都大于3,那么 z的取 值范围是()A. (-00, 1-275)0(1 + 275 , +00) B. (-, 1一2石2C. (00, ) L-J(1 2/5 9 +8)D. (00, 1 2/52【例2】假设关于x的不等式2%2_8冗_4-。>0在x|lvx<4内有解，那么的取值范围是( )A a V -4B. q > 4C. a>10D. a <10五、均值不等式1 .均值定理：如果（R+表示正实数），那么 一三疝，当且仅当。=人时，有等号成 立.此结论又称均值不等式或基本不等式.2 ,常用的均值不等式（1）假设那么/+/之2"（当且仅当，=时，取二号）假设a,£R,贝（当且仅当时' 取二号） 2（2）假设alcR*,那么竺疝（当且仅当。=翻寸，取二号）假设。力eR"那么a +（当且仅当Q = b时，取二号）/» 2假设那么匕（当且仅当。=翻寸，取二号）I 2 J（3）假设x>0,那么x （当且仅当x = l时，取二号） x假设x<0,贝Ijx + K2 （当且仅当x = l时，取二号） xa b（4）假设必>。，那么7+ >2 （当且仅当时，取二号） b a（5）假设£R,贝lj（空2）24工± （当且仅当a = b时，取二号） 223 .均值不等式的几何解释：对于任意正实数。，"以AB = q +力的线段为直径做圆，在直线A3上取点C,使AC = q,CB =。，过 点C作垂直于直线AB的弦。，连接AD、DB、如图应AACDMADCB,那么 dc2=ac bc,即。=疝.这个圆的半径为彳，显然平，而，当且仅当点C与圆心重 乙乙合，即。=/?时，等号成立.DDAB.求最小值的步骤：一正、二定、三相等一正：a,be R二定：a + b或必为定值（和或积为定值）三相等：。式子等于人式时取最值例题讲解考点1:均值不等式【例1】（2020春房山区期末）冽>0, >0,且加+-2加=0,贝九的最大值是（）A. 1B. VSC. 2D. 3【例2】（2020春西城区校级月考）。>0, b>0, a+b= 1,假设a= a6=b+，那么a+0 ab的最小值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【例3】（2019秋丰台区期中）。，£/?+,且人=2,那么以下结论一定成立的是（）A. + /?. 4B. q + 仇,4C. cr + Z?2.4D. u + b44【例4】（2019秋朝阳区校级期中）q>0,那么-2 + 的最小值是（）aA. 1B. 2C. 4D. 5【例5】（2019秋海淀区校级期中）以下不等式正确的选项是（）A. x2 H.2a/3B. cr + tr.AcibC. Jab. D. cih.4x22a.（i Yi）【例6】己知x>。，>>0, x+y = l,那么l + - 1 + 一的最小值为（）I x 八y）考点2：对勾函数【例1】xN4,那么x + 3的最小值是()XA. 4B. 5C. 6D. 472【例 2】设函数/(x) = 2x + , l(x<0),那么/(x)() xA.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数