11.5 曲线与方程及轨迹问题.pdf
欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！11.5 曲线与方程及轨迹问题 11.5 曲线与方程及轨迹问题 (11.5 文)（12.5 理）曲线与方程及轨迹问题 科学知识要点剖析 本节主要内容是曲线与方程的概念及轨迹方程的求法.一“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念 在直角坐标系中，如果某曲线 c（看作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的座标都就是这个方程的求解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。二求曲线（轨迹）方程 谋曲线的轨迹方程就是解析几何的两个基本问题之一.谋合乎某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“座标化”将其转变为谋求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌控，还充份考查了各种数学思想方法及一定的推理小说能力和运算能力。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。1.求用轻易法曲线（轨迹）方程的基本步骤：（1）建系设点：建立适当的直角坐标，设曲线上任一点坐标 m(x,y)；（2）列于几何等式：写下适宜条件的点的子集 p=m|p(m)，关键就是根据条件列举适宜条件的等式；（3）化为代数等式：用坐标代换几何等式，列出方程；（4）化简：把方程 f(x,y)=0 化为最珍形式；（5）证明：证明化简后的方程就是所求曲线的方程。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！除个别情况外，化简过程都就是同解变形，所以步骤（5）可以省略不写下。例如存有特定情况，可以适度予以表明，步骤（2）也可以省略。3求曲线轨迹方程应注意的问题 （1）必须特别注意一些暗含条件，若轨迹就是曲线的一部分，应付方程标明 x 的值域范围，或同时标明 x,y 的值域范围，确保轨迹的单纯性；（2）若轨迹有不同情况，应分别讨论，以保证它的完整性；（3）曲线的轨迹和曲线方程就是有区别的，谋曲线的轨迹不仅建议出来方程，而且必须阐明曲线的边线、类型。疑难点、易错点剖析 1.谋轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确认点的范围；2.谋轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立 x,y 之间的关系 f(x,y)?0；待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程 dd 先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。第 1 页共 15 页 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；代入迁移法：动点 p(x,y)依赖另一动点 q(x0,y0)的变化而变化，并且 q(x0,y0)又在某未知曲线上，则可以先用 x,y 的代数式则表示 x0,y0，再将 x0,y0 代入未知曲线得建议的轨迹方程；参数法：当动点 p(x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 x,y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。3.值得注意的几点：如果问题中牵涉至平面向量科学知识，那么需从未知向量的特点启程，考量挑选向量的几何形式展开转变，还是挑选向量的代数形式展开转变。曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.在与圆锥曲线有关的综合题中，常借助“平面几何性质”数形融合(例如角平分线的双重身份 dd 对称性、利用至角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类探讨思想”化整为零分化处置、“表达式结构等式、谋变量范围结构左右关系”等等.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.揭秘考点 考点一、用直接法求点的轨迹（方程）基准 1 未知直角坐标系则中，点 q（2，0），圆 c 的方程为 x2?y2?1，动点 m 至圆 c的切线短与 mq 的比等同于常数?(?0)，求动点 m 的轨迹。求解：设 mn 切圆 c 于 n，则mnx?y?1?222?mo2?on2。设 m(x,y),则 (x?2)?y22 化简得(?2?1)(x2?y2)?4?2x?(1?4?2)?0 54（1）当?1 时，方程为 x?，则表示一条直线。2?2222（2）当?1 时，方程化为(x1)?y?1?3?222(?1)表示一个圆。锦囊妙计：谋轨迹方程通常只建议出来方程即可，谋轨迹却不仅建议出来方程而且必须表明轨迹就是什么。举一反三：（待定系数法）在?pmn 中，tan?pmn?12,tan?mnp?2，且?pmn 的 面积为 1，创建适度的坐标系，隆格尚 m，n 为焦点，且过点 p 的椭圆方程。yppmmnonqx 思路分析：如上图，以直线 mn 为 x 轴，线段 mn 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角 第 2 页共 15 页 坐标系，则所求椭圆方程为 xa22+yb22=1.显然 a、b 是未知数，但 a、b 与已知条件没有直 2222 接联系，因此应寻找与已知条件和谐统一的未知元，或改造已知条件.数学分析一：如上图，过 p 作 pqmn，像距为 q，令|pq|=m，于是可得|mq|=|pq|cotpmq=2m，|qn|=|pq|cotpnq=|mn|=|mq|nq|=2m于是 spmn=43121212m.m=欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！123232m.mm=1.13|mn|pq|=43 因而 m=，|mq|=2，|nq|=，|mn|=3.|mp|=|mq|2?|pq|2=16313?43=2153，|np|=|nq|2?|pq|2=43=153.以 mn 的中点为原点，mn 所在直线为 x 轴创建直角坐标系则，设立椭圆方程为（ab0）.则 2a=|mp|+|np|=15，2c=|mn|=3，故所求椭圆方程为 4x152xa22+yb22=1 +y23=1.数学分析二：设 m（c，0）、n（c，0），p（x，y），y0，则 yx?cyx?c=12，=2，yc=1，解之，得 x=536，y=233，c=欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！32.设椭圆方程为 b2x2+a2y2=a2b2，则 b2（536）2+a2（，233）2=a2b2，a2b2=34 第 3 页共 15 页 解之，得 a=（以下略）2 154，b=3.2 考点二、用定义法求轨迹方程 例 2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿 ap、bp运到 p 处，其中 ap=100m，bp=150m，apb=600，问怎能样运才能最省工？求解：半圆上的点可以分成三类：一就是沿 ap 至 p 较将近，二是沿 bp 至 p 较将近，三就是沿 ap 或 bp 一样将近。其中第三类的点坐落于前两类的分界线上，设 m 为分界线上的任一点，则存有 ma?ap?mb?bp，即为 ma?mb?pb?pa?50?ab?507，故 m 在以 a，b 为焦点的双曲线的右支上。创建例如图直角坐标系则，得边界的方程为 x2625?y23750?1(x?25),故运土时为了省工，在双曲线弧左侧 的土沿 ap 运往 p 处为，右侧的土沿 bp 运往 p 处为，在曲线上面的土两边都爰。锦囊妙计：利用双曲线的定义可直接写出双曲线方程。举一反三：未知圆 o 的方程为 x2+y2=100,点 a 的座标为（-6，0），m 为圆 o 就任一点，am 的垂直平分线交 om 于点 p，谋点 p 的方程。解：由中垂线知，pa?pm 故 pa?po?pm?po?om?10，即 p 点的轨迹为以 a、o 为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故 p 点的方程为(x?3)252?y216?125 考点三、用代入法求轨迹方程：基准 3 例如图，从双曲线 x2-y2=1 上一点 q 惹来直线x+y=2 的垂线，像距为 n。谋线段 qn 的中点 p 的轨迹方程。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！解：设动点 p 的坐标为（x,y）,点 q 的坐标为（x1,y1）则 n（2x-x1,2y-y1）代入x+y=2,得 2x-x1+2y-y1=2又 pq 垂直于直线 x+y=2，故 32y?y1x?x1x?12?1，即 x-y+y1-x1=0 1232 由解方程组得 x1?y?1,y1?x?y?1,代入双曲线方程即可得 p 点的轨 迹方程就是 2x2-2y2-2x+2y-1=0 举一反三：已知曲线方程 f(x,y)=0.分别求此曲线关于原点，关于 x 轴，关于 y 轴，关于直线 y=x，关于直线 y=-x，关于直线 y=3 对称的曲线方程。(f(-x,-y)=0,f(x,-y)=0,f(-x,y)=0,f(y,x)=0,f(-x,-y)=0，f(x,6-y)=0)第 4 页共 15 页 考点四、用参数法与点差法求轨迹方程：基准 4 经过抛物线 y=2p(x+2p)(p0)的顶点 a 作互相横向的两直线分别缴抛物线于 b、c 两点，谋线段 bc 的中点 m 轨迹方程。解：a（-2p,0）,设直线 ab 的方程为 y=k(x+2p)(k?0).与抛物线方程联立方程组可解得 b 点的坐标为(2pk22 2p,2pk)，由于 ac 与 ab 横向，则 ac 的方程为 y?1k(x?2p)，与甩 物线方程联立方程组可解得 c 点的坐标为(2k2p?2p,?2kp)，又 m 为 bc 中点，设 m（x,y）,?x?则?y?pkpk2?kp?2p2，消去 k 得 y2=px,即点 m 的轨迹是抛物线。kp 考点五、用交轨法与几何法求轨迹方程基准 5 抛物线 y2?4px(p?0)的顶点作互相垂直的两弦 oa、ob，求 抛物线的顶点 o 在直线 ab 上的射影 m 的轨迹。思路分析：点 m 是 om 与 ab 的交点，点 m 随着 a、b 两点的变 化而变化，而 a、b 为抛物线上的动点，点 m 与 a、b 的轻易关系不显著，因此须要导入参数.解法一（交轨法）：点 a、b 在抛物线 y?4px(p?0)上，设 a（2ya4p2,ya)，b（yb4p2,yb)所以 koa=4pyakob=欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！4pyb,由 oa 垂直 ob 得 koakob=-1，得 yayb=-16p2,又 ab 方程可求得 2y?ya?ya?yby2a4p?y2b(x?ya4p)，即为（ya+yb）y-4px-yayb=0,把 yayb=-16p 代入得 ab 方程 2 4p（ya+yb）y-4px+16p2=0又 om 的方程为 y?ya?yb?4px 22222 由消去得 ya+yb 即得 x?y?4px?0，即得(x?2p)?y?4p。所以点 m 的轨迹方程为(x?2p)?y?4p，其轨迹就是以(2p,0)为圆心，半径为 2p 的圆,除去点（0，0）。说明：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。数学分析二：设 a、b 两点座标为 a（pt12，2pt1）、b（pt22，2pt2）.koa=2t1222，kob=2t2，kab=2t1?t2.第 5 页共 15 页
