2022年最新勾股定理典型例题归类总结.docx

精品_精品资料_9. 已知 Rt ABC 的周长为,其中斜边,求这个三角形的面积.10. 假如把勾股定理的边的平方懂得为正方形的面积,那么从面积的角度来说,勾股定理可以推广.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 如图,以Rt ABC的三边长为边作三个等边三角形,就这三个等边三角形的面积S1 、 S2 、 S3 之间有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_何关系？并说明理由.（ 2）如图,以 Rt ABC 的三边长为直径作三个半圆,就这三个半圆的面积S1 、 S2 、 S3 之间有何关系？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）假如将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°,请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系,并说明理由. （此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）题型二：利用勾股定理测量长度例 1. 假如梯子的底端离建筑物9 米,那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？跟踪练习：1. 如图（ 8）,水池中离岸边 D 点 1.5 米的 C 处,直立长着一根芦苇,出水部分BC 的长是 0.5 米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B 恰好落到 D 点,并求水池的深度AC.2. 一座建筑物发生了火灾,消防车到达现场后,发觉最多只能靠近建筑物底端5 米,消防车的云梯最大升长为 13 米,就云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A 、 12 米B、13 米C、14 米D 、15 米3.如图,有两颗树,一颗高10 米,另一颗高4 米,两树相距8 米一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢,问小鸟至少飞行（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 、 8 米B、10 米C、12 米D、14 米题型三：勾股定理和逆定理并用例 3. 如图 3,正方形 ABCD 中, E 是 BC 边上的中点, F 是 AB 上一点,且 FB角三角形吗？为什么？1 AB4那么 DEF 是直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：此题利用了四次勾股定理,是把握勾股定理的必练习题.跟踪练习：1.如图,正方形 ABCD 中, E 为 BC 边的中点, F 点 CD 边上一点,且DF=3CF ,求证： AEF=90°题型四：利用勾股定理求线段长度例 1. 如图 4,已知长方形 ABCD 中 AB=8cm,BC=10cm, 在边 CD 上取一点 E,将 ADE 折叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F,求 CE 的长 .跟踪练习：1. 如图,将一个有45 度角的三角板顶点C 放在一张宽为 3cm 的纸带边沿上,另一个顶点B 在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,求三角板的最大边AB 的长 .2. 如图,在 ABC 中, AB=BC , ABC=90°,D 为 AC 的中点, DE DF,交 AB 于 E,交 BC 于 F,（ 1）求证： BE=CF; （ 2）如 AE=3 , CF=1 ,求 EF 的长.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 如图, CA=CB,CD=CE, ACB= ECD=90°,D 为 AB 边上的一点 .如 AD=1 , BD=3 ,求 CD 的长 .题型五：利用勾股定理逆定理判定垂直例 1. 有一个传感器掌握的灯,安装在门上方,离的高4.5 米的墙上,任何东西只要移至5 米以内,灯就自动打开,一个身高1.5 米的同学,要走到离门多远的的方灯刚好打开？跟踪练习：1. 如图,每个小正方形的边长都是1, ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上,试判定ABC 的外形,并说明理由 .（ 1）求证： ABD=90° ;（ 2）求的值2. 以下各组数中,以它们边的三角形不是直角三角形的是（）A 、 9,12, 15B 、7,24,25C、D 、 , ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.在 ABC 中,以下说法 B= C-A . A: B: C=3：4：5. a:b:c=5:4:3 .：=1:2:3 ,其中能判定 ABC 为直角三角形的条件有（）A 、 2 个B、3 个C、4 个D、 5 个4. 在 ABC 中, A 、 B 、 C 的对边分别是a、b、c.判定以下三角形是否为直角三角形？并判定哪一个是直角？（ 1） a=26,b=10, c=24;（ 2） a=5, b=7, c=9;（ 3）a=2,A 、 2 个B、3 个C、4 个D 、5 个5. 已知 ABC 的三边长为 a、b、c,且满意,就此时三角形肯定是（）A 、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D 、锐角三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_26. 在 ABC 中,如 a= n1 , b=2n,c= n21 ,就 ABC 是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 、锐角三角形B、钝角三角形C、等腰三角形D、直角三角形7.如图,正方形网格中的ABC 是（）A 、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、锐角三角形或钝角三角形8. 已知在 ABC 中, A 、 B、 C 的对边分别是 a、b、c,以下说法中,错误选项（）A 、假如 C- B= A, 那么 C=90°B 、假如 C=90°,那么C、假如（ a+b）（a-b） =,那么 A=90°D 、假如 A=30°,那么 AC=2BC9. 已知 ABC 的三边分别为a, b,c,且 a+b=3, ab=1,求的值,试判定 ABC 的外形, 并说明理由10. 观看以下各式：, ,依据其中规律,写出下一个式子为 11. 已知, m n, m、n 为正整数,以, 2mn,为边的三角形是 三角形 .12. 一个直角三角形的三边分别为n+1 ,n-1,8,其中 n+1 是最大边, 当 n 为多少时, 三角形为直角三角形？ 题型六：旋转问题：例题 6. 如图, P 是等边三角形ABC 内一点, PA=2,PB= 2 3 ,PC=4,求 ABC 的边长 .跟踪练习1. 如图, ABC为等腰直角三角形,BAC=90 °, E 、 F 是 BC上的点,且 EAF=45 °,摸索究可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BE 2、CF 2、 EF 2 间的关系,并说明理由.题型七：关于翻折问题例题 7.如图,矩形纸片 ABCD 的边 AB=10cm , BC=6cm , E 为 BC 上一点,将矩形纸片沿AE 折叠,点 B恰好落在 CD 边上的点 G 处,求 BE 的长.跟踪练习1.如图, AD 是 ABC 的中线, ADC=45 °,把 ADC 沿直线 AD 翻折,点 C 落在点 C的位置, BC=4,求 BC 的长 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一折叠直角三角形1. 如图, 在 ABC 中, A = 90,°点 D 为 AB 上一点, 沿 CD 折叠 ABC ,点 A 恰好落在 BC 边上的A' 处,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB=4 , AC=3 ,求 BD 的长.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 如图, Rt ABC 中, B=90°,AB=3 ,AC=5 将 ABC 折叠使 C 与 A 重合,折痕为 DE,求 BE 的长（二）折叠长方形1. 如图,长方形 ABCD 中, AB=4 ,BC=5 ,F 为 CD 上一点,将长方形沿折痕AF 折叠,点 D 恰好落在 BC上的点 E 处,求 CF 的长.2. 如图,长方形ABCD 中, AD=8cm , AB=4cm ,沿 EF 折叠,使点 D 与点 B 重合,点 C 与 C'重合 . （ 1） 求 DE 的长 ;（ 2）求折痕 EF 的长.3. （ 2022.常德）如图,将长方形纸片ABCD 折叠,使边CD 落在对角线 AC 上,折痕为 CE,且 D 点落在对角线 D处如 AB=3 , AD=4 ,就 ED 的长为（）4. 如图, 长方形 ABCD 中, AB=6 ,AD=8 ,沿 BD 折叠使 A 到 A处 DA交 BC 于 F 点. （1）求证： FB=FE（ 2）求证： CA BD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）求 DBF 的面积7. 如图,正方形 ABCD 中,点 E 在边 CD 上,将 ADE 沿 AE 对折至 AFE,延长 EF 交边 BC 于点 G,G为 BC 的中点,连结 AG 、CF. （ 1）求证： AG CF; （ 2）求的值 .题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例 1、如图,大路 MN 和大路 PQ 在 P 点处交汇,点A 处有一所中学, AP=160 米,点 A 到大路 MN 的距离为 80 米,假使拖拉机行驶时, 四周 100 米以内会受到噪音影响, 那么拖拉机在大路MN 上沿 PN 方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由.假如受到影响,已知拖拉机的速度是18 千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少？例 2.一辆装满货物高为1.8 米,宽 1.5 米的卡车要通过一个直径为5 米的半圆形双向行驶隧道,它能顺当通过吗？跟踪练习：1. 某市气象台测得一热带风暴中心从A 城正西方向 300km 处,以每小时 26km 的速度向北偏东60°方向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_移动,距风暴中心200km 的范畴内为受影响区域.试问A 城是否受这次风暴的影响？假如受影响,恳求出遭受风暴影响的时间.假如没有受影响,请说明理由.2. 一辆装满货物的卡车 ,其外形高 2.5 米,宽 1.6 米,要开进厂门外形如下图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 .3. 有一个边长为50dm 的正方形洞口,想用一个圆盖去盖住这个洞口,圆的直径至少多长？（结果保留整数）4. 如图,铁路上 A ,B 两点相距 25km ,C,D 为两村庄,DA AB 于 A ,CB AB 于 B ,已知 DA=15km,CB=10km ,现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站E,使得 C,D 两村到 E 站的距离相等,就 E 站应建在离 A 站多少 km 处？题型九：关于最短性问题例 1、如右图 119,壁虎在一座底面半径为2 米,高为 4 米的油罐的下底边沿A 处,它发觉在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫,便打算捕获这只害虫,为了不引起害虫的留意,它有意不走直线,而是围着油罐,沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然突击结果,壁虎的偷袭得到胜利,获得了一顿美可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫.（ 取 3.14,结果保留 1 位小数,可以用运算器运算）例 2.跟踪练习：1. 如图为一棱长为3cm 的正方体,把全部面都分为9 个小正方形,其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm,就它从下的面 A 点沿表面爬行至右侧面的B 点,最少要花几秒钟？2. 如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于 5cm, 3cm 和 1cm, A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点, A 点上有一只蚂蚁, 想到 B 点去吃可口的食物 .请你想一想, 这只蚂蚁从 A 点动身,沿着台阶面爬到 B 点,最短线路是多少？A531B3. 一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm, 6cm, 12cm,一只蚂蚁想从盒底的A 点爬到盒顶的 B 点,你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？BAA4. 如图将一根13.5 厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4 厘米、 3 厘米和 12 厘米的长方体无盖盒子中, 能全部放进去吗？A？3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型十：勾股定理与特别角（一） 直接运用 30°或 45°的直角三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 如图,在 ABC 中, C = 90,° B = 30 °, AD 是 ABC 的角平分线,如 AC= 2 3 ,求 AD的长.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 如图,在 ABC 中, ACB = 90 °, AD 是 ABC 的角平分线, CD AB于 D, A= 30 °,CD=2 ,求 AB的长.3. 如图,在 ABC 中, A D BC于 D, B= 60 °, ,C= 45 ,°AC=2 ,求 BD 的长.（二） 作垂线构造 30°或 45°的直角三角形（ 1） 将 105°转化为 45°和 60°1.如图,在 ABC 中, B= 45 °, A=105 °, AC=2 ,求 BC 的长.2. 如图,在四边形ABCD中, A= C= 45°, ADB= ABC=105 ° ,如 AD=2, 求 AB的长.如AB+CD= 23 +2,求 AB 的长.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CDAB（ 2）将 75°转化为 30°和 45°3. 如图,在 ABC 中, B= 45 °, BAC=75 °, AB=6,求 BC 的长.题型十一：运用勾股定理列方程（一）直接用勾股定理列方程1. 如图,在 ABC 中, C= 90 °, AD 平分 CAB 交 CB 于 D ,CD=3,BD=5 ,求 AD 的长.2. 如图,在 ABC 中, A D BC于 D,且 CAD=2 BAD, 如 BD=3 , CD=8 ,求 AB 的长.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二巧用“连环勾”列方程1. 如图,在 ABC 中, AB=5 ,BC=7 , AC= 42 ,求 SABC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 如图,在 ABC 中, ACB= 90 °, CD AB于 D, AC=3, BC=4,求 AD 的长.3. 如图, ABC 中, ACB=90°, CD AB 于 D, AD=1 , BD=4 ,求 AC 的长4. 如图, ABC 中, ACB=90°, CD AB 于 D ,CD=3 , BD=4 ,求 AD 的长题型十二：勾股定理与分类争论（一） 锐角与钝角不明时需分类争论1. 在 ABC 中, AB=AC=5 ,求 BC 的长2. 在 ABC 中, AB=15 , AC=13 , AD 为 ABC 的高,且 AD=12 ,求 ABC 的面积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）腰和底不明时需分类争论3. 如图 1, ABC 中, ACB=90°,AC=6 ,BC=8 ,点 D 为射线 AC 上一点,且 ABD 是等腰三角形,求 ABD 的周长 .（三）直角边和斜边不明时需分类争论1. 已知直角三角形两边分别为2 和 3,就第三边的长为 2. 在 ABC 中, ACB=90°,AC=4 , BC=2 ,以 AB 为边向外作等腰直角三角形ABD ,求 CD 的长3. 如图, D2,1, 以OD 为一边画等腰三角形,并且使另一个顶点在x轴上,这样的等腰三角形能画多少个.写出落在 x 轴上的顶点坐标 .题型十三：或问题的证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 如图 1, ABC 中, CA=CB , ACB=90°, D 为 AB 的中点, M 、N 分别为 AC 、BC 上一点,且 DM DN. （ 1）求证： CM+CN= BD（ 2）如图 2,如 M 、N 分别在 AC 、CB 的延长线上,探究 CM 、CN 、BD 之间的数量关系式.2. 已知 BCD= , BAD= ,CB=CD. （ 1）如图 1,如 = =9,0 °求证： AB+AD= AC .（ 2）如图 2,如 =90,°求证： AB-AD= AC .（ 3）如图 3,如 =120°, =60°,求证： AB=AD= AC .（4）如图 3,如 = =12,0 °求证： AB-AD= AC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型十四：问题的证明1.如图, OA=OB ,OC=OD ,AOB= COD=90°,M 、N 分别为 AC 、BD 的中点, 连 MN 、ON. 求证：MN=ON.2.已知 ABC 中, AB=AC , BAC=90°, D 为 BC 的中点, AE=CF ,连 DE 、EF. （ 1）如图 1,如 E、F分别在 AB 、AC 上,求证： EF=DE.（ 2）如图 2,如 E、F 分别在 BA 、AC 的延长线上,就 1中的结论是否仍成立？请说明理由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 如图, ABD 中, O 为 AB 的中点, C 为 DO 延长线上一点, ACO=135°, ODB=45°探究 OD 、OC、AC 之间相等的数量关系4. 如图, ABD 是等腰直角,BAD=90°, BC AD ,BC=2AB , CE 平分 BCD ,交 AB 于 E,交 BD于 H 求证：（ 1） DC=DA .（ 2） BE=DH题型十五： 勾股定理（逆定理）与网格画图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 如图,每个小正方形的边长为1, A 、B、C 是小正方形的顶点,就ABC 的度数为2. 如图,每个小正方形的边长都是1,在图中画一个三角形,使它的三边长分别是3,2,且三角形的三个顶点都在格点上3. 如图,每个小正方形的边长都是1,在图中画一个边长为的正方形,且正方形的四个顶点在格点上4. 在图中以格点为顶点画一个等腰三角形,使其内部已标注的格点只有3 个5. 如图,在 4 个匀称由 16 个小正方形组成的网格正方形中,各有一个格点三角形,那么这4 个三角形中, 与众不同的是中的三角形,图 4 中最长边上的高为 6. 如图,正方形网格中的每个小正方形边长都为1,每个小正方形的顶点叫格点,以格点为顶点分别按以下要求画图：（ 1）画一条线段 MN ,使 MN=.（ 2）画 ABC ,三边长分别为 3, 2.7. 如图,在 5×5 的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,线段 AB 的端点在格点上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）图 1 中以 AB 为腰的等腰三角形有个,画出其中的一个,并直接写出其底边长（ 2）图 2 中, 以 AB 为底边的等腰三角形有 个,画出其中的一个, 并直接写出其底边上的高题型十六： 利用勾股定理逆定理证垂直1. 如图,在 ABC 中,点 D 为 BC 边上一点,且AB=10 ,BD=6 , AD=8 , AC=7 ,其求 CD 的长.2. 如图,在四边形 ABCD 中, B=90°, AB=2 ,CD=5 , AD=4 ,求.3. 如图,在 ABC 中, AD 为 BC 边上的中线, AB=5,AC=13,AD=6,求 BC 的长 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 已知 ABC 中, CA=CB, ACB=,点 P 为 ABC 内一点,将 CP 绕点 C 顺时针旋转得到 CD ,连AD （ 1）如图 1,当 =60°,PA= 10 , PB=6, PC=8 时,求 BPC 的度数（ 2）如图 2,当 =90°,PA=3 , PB=1 ,PC=2 时,求 BPC 的度数题型十七： 勾股定理综合纯几何问题1. 已知,在 Rt ABC 中, C=90°, D 是 AB 的中点, EDF=90°, DE 交射线 AC 于 E,DF 交射线 CB于 F（ 1）如图 1,当 AC=BC 时,、之间的数量关系为（直接写出结果） .（ 2）如图 2,当 ACBC 时,试确定、之间的数量关系,并加以证明.（ 3）如图 3,当 ACBC 时, 2中结论是否仍成立？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知 OMN 为等腰直角,MON=90° ,点 B 为 NM 延长线上一点, OC OB ,且 OC=OB.（ 1）如图 1,连 CN ,求证： CN=BM;（ 2）如图 2,作 BOC 的平分线交 MN 于 A ,求证：（ 3）如图 3,在 2的条件下,过 A 作 AE ON 于 E,过 B 作 BF OM 于 F, EA 、 BF 的延长线交于 P, 请探究、之间的数量关系式题型十八： 勾股定理综合（二）与代数结合1.已知点 A 的坐标为（ 1,-3）, OAB=90°, OA=OB.（ 1）如图 1,求点 B 的坐标.（ 2）如图 2, AD y 轴于 D, M 为 OB 的中点,求 DM 的长.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.已知点 A 、B 分别在 x 轴、 y 轴上, OA=OB ,点 C 为 AB 的中点, AB=12.（ 1）如图 1,求点 C 的坐标（ 2）如图 2, E、F 分别为 OA 上的动点,且 ECF=45° ,求证：（ 3）在图 2 中,如点 E 的坐标为 3, 0,求 CF 的长可编辑资料 - - - 欢迎下载