2022年高中数学公式汇总 .docx

精品_精品资料_高中数学公式结论大全1.,.2.3.的子集个数共有个.真子集有个.非空子集有个.非空的真子集有个.(1) 一般式;(2) 顶点式; 当已知抛物线的顶点坐标时,设为此式(3) 零点式.当已知抛物线与轴的交点坐标为时,设为此式4 切线式：.当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时, 设为此式常有以下转化形式.在内有且只有一个实根 , 等价于或.8. 闭区间上的二次函数的最值二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得,详细如下：(1) 当 a>0 时,假设,就.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,.(2) 当 a<0 时,假设,就,假设,就,. 0 的实根分布1 方程在区间内有根的充要条件为或.2 方程在区间内有根的充要条件为或或.3 方程在区间内有根的充要条件为或.10. 定区间上含参数的不等式恒成立 或有解 的条件依据(1) 在给定区间的子区间形如,不同上含参数的不等式为参数 恒成立的充要条件是.(2) 在给定区间的子区间上含参数的不等式为参数 恒成立的充要条件是.(3) 在给定区间的子区间上含参数的不等式为参数 的有解充要条件是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 在给定区间的子区间上含参数的不等式为参数 有解的充要条件是.对于参数 及函数. 假设恒成立,就.假设恒成立,就.假设有解,就.假设有解,就.假设有解, 就. 假设函数无最大值或最小值的情形,可以仿此推出相应结论11. 真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有小于不小于至多有个个至少有个对全部 ,成立存在某 ,不成立或且对任何 ,不成立存在某 ,成立且或13. 四种命题的相互关系 右图:表示条件,表示结论1 充分条件：假设,就 是充分条件 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 必要条件：假设,就 是必要条件 .3 充要条件：假设,且,就 是 充要条件 .注：假如甲是乙的充分条件,就乙是甲的必要条件.反之亦然.(1) 设那么上是增函数.上是减函数 .(2) 设函数在某个区间内可导,假如,就为增函数.假如,就为减函数.和都是减函数 , 就在公共定义域内 , 和函数也是减函数 ;假如函数和都是增函数, 就在公共定义域内 , 和函数也是增函数 ;假如函数和在其对应的定义域上都是减函数 , 就复合函数是增函数. 假如函数和在其对应的定义域上都是增函数 , 就复合函数是增函数. 假如函数和在其对应的定义域上一个是减函数而另一个是增函数 , 就复合函数是减函数 .17. 奇偶函数的图象特点奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称; 反过来,假如一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数是奇函数.假如一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数18. 常见函数的图像：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,恒成立, 就函数的对称轴是; 两个函数与的图象关于直线对称., 就函数的图象关于点对称;假设, 就函数为周期为的周期函数 .21多项式函数的奇偶性多项式函数是奇函数的偶次项 即奇数项 的系数全为零.多项式函数是偶函数的奇次项 即偶数项 的系数全为零.的图象的对称性(1) 函数的图象关于直线对称.(2) 函数的图象关于直线对称.(1) 函数与函数的图象关于直线 即 轴 对称.(2) 函数与函数的图象关于直线对称.(3) 函数和的图象关于直线 y=x 对称.的图象右移 、上移 个单位,得到函数的图象.假设将曲线的图象右移、上移 个单位,得到曲线的图象.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 正比例函数.(2) 指数函数.(3) 对数函数.(4) 幂函数.(5) 余弦函数, 正弦函数,.26. 几个函数方程的周期 商定 a>01 ,就的周期 T=a.2 ,或, 就的周期 T=2a.3,就的周期 T=3a.4且,就的周期 T=4a.27. 分数指数幂1,且.2,且.1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 当 为奇数时,.当 为偶数时,.29. 有理指数幂的运算性质1.2.3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_p注：假设 a0,p 是一个无理数,就 a指数幂都适用 .表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质,对于无理数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_30. 指数式与对数式的互化式 :.31. 对数的换底公式 :, 且, 且,.对数恒等式：, 且,.推论, 且,. 32对数的四就运算法就 : 假设 a 0,a1, M0,N0,就1;2;3;4., 记. 假设的定义域为, 就且; 假设的值域为, 就,且.34. 对数换底不等式及其推广 ：设,且,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.2.35. 平均增长率的问题负增长时假如原先产值的基础数为 N,平均增长率为,就对于时间的总产值,有.36. 数列的通项公式与前 n 项的和的关系：数列的前 n 项的和为.37. 等差数列的通项公式：.其前 n 项和公式为：.38. 等比数列的通项公式：.其前 n 项的和公式为或.:的通项公式为.其前 n 项和公式为：.40. 分期付款 按揭贷款 ：每次仍款元 贷款 元,次仍清, 每期利率为 .41. 常见三角不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 假设,就.2假设,就.3.42. 同角三角函数的基本关系式：,=,.43. 正弦、余弦的诱导公式奇变偶不变,符号看象限,;. 平方正弦公式 ;.= 帮助角 所在象限由点的象限打算 ,.45. 二倍角公式及降幂公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.46. 三角函数的周期公式函数,xR及函数,xRA, , 为常数,且 A0 的周期.函数,A, , 为常数,且 A0 的周期.三角函数的图像：五点法作图列表：0/23/2247. 正弦定理：R为外接圆的半径 .;.1分别表示 a、b、c 边上的高 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.3.在ABC中,有.50.简洁的三角方程的通解.特殊的, 有.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.52. 实数与向量的积的运算律 : 设 、 为实数,那么(1) 结合律： = ;(2) 第一安排律： += +;(3) 其次安排律： += + .53. 向量的数量积的运算律：1· =·交换律;2·=· =·=·3+· =· +· .54. 平面对量基本定理假如 、 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数1 、2,使得 =1+ 2不共线的向量、 叫做表示这一平面内全部向量的一组 基底三点 A、B、C共线的充要条件：M 为任意点 55向量平行的坐标表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设=,=,且,就.56.与的数量积 或内积 ：· =|.57.·的几何意义：数量积 · 等于的长度| 与 在 的方向上的投影 |的乘积向量 在向量 上的投影： |1 设 =,=,就 +=.2 设 =,=,就 -=.3 设 A, B, 就.4 设 =,就=.5 设 =,=,就 ·=.公式=,=.=A,B.61. 向量的平行与垂直 ：设=,=,且,就|=.· =0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_62. 线段的定比分公式 ：设,是线段的分点,是实数,且,就.63. 三角形的重心坐标公式ABC三个顶点的坐标分别为、, 就ABC的重心的坐标是.注: 图形 F上的任意一点 Px,y 在平移后图形上的对应点为,且的坐标为.65. “按向量平移”的几个结论1 点按向量 =平移后得到点.(2) 函数的图象按向量 =平移后得到图象, 就的函数解析式为.(3) 图象按向量 =平移后得到图象, 假设 的解析式, 就的函数解析式为.(4) 曲线 :按向量 =平移后得到图象, 就的方程为.(5) 向量=按向量 =平移后得到的向量仍旧为=.66. 三角形五“心”向量形式的充要条件设 为所在平面上一点,角所对边长分别为,就1为的外心.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2为的重心.3为的垂心.4为的内心.5为的的旁心.67. 常用不等式：1 当且仅当 a b 时取“ =”号 2 当且仅当 a b 时取“ =”号 345.6 当且仅当 ab 时取“ =”号 .68. 最值定理 : 已知都是正数,就有1 假设积是定值,就当时和有最小值.2 假设和是定值 ,就当时积有最大值.3 已知,假设就有.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 已知,假设就有,假如与同号,就其解集在两根之外. 假如 与异号,就其解集在两根之间 . 简言之：同号两根之外,异号两根之间.70. 含有肯定值的不等式 ：当 a> 0 时,有.或.1.2.3.72. 指数不等式与对数不等式(1) 当时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_;.(2) 当时,;、.74. 直线的五种方程1 点斜式 直线 过点,且斜率为 2 斜截式b 为直线 在 y 轴上的截距 .3 两点式、.两点式的推广：无任何限制条件；4 截距式分别为直线的横、纵截距,5 一般式 其中 A、B 不同时为 0.直线的法向量：,方向向量：75. 两条直线的平行和垂直(1) 假设,;.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 假设, 且 A1、A2、B1、B2 都不为零 ,.,此时直线76. 四种常用直线系方程及直线系与给定的线段相交：(1) 定点直线系方程：经过定点的直线系方程为 除直线, 其中 是待定的系数 ;经过定点的直线系方程为, 其中是待定的系数(2) 共点直线系方程：经过两直线,的交点的直线系方程为 除 ,其中 是待定的系数(3) 平行直线系方程：直线中当斜率 k 肯定而 b 变动时,表示平行直线系方程与直线平行的直线系方程是 , 是参变量(4) 垂直直线系方程：与直线A0,B0 垂直的直线系方程是, 是参变量(5) 直线系与线段相交.77. 点到直线的距离： 点, 直线 ：.78. 或所表示的平面区域设直线,就或所表示的平面区域是：假设,当 与同号时,表示直线 的上方的区域.当与异号时,表示直线的下方的区域 . 简言之, 同号在上 , 异号在下 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设,当 与同号时,表示直线 的右方的区域.当与异号时,表示直线的左方的区域 .简言之, 同号在右 , 异号在左.79. 或所表示的平面区域或所表示的平面区域是两直线和所成的对顶角区域上下或左右两部分.80. 圆的四种方程1 圆的标准方程.2 圆的一般方程0.3 圆的参数方程.4 圆的直径式方程 圆的直径的端点是、.81. 圆系方程1 过点,的圆系方程是, 其中是直线的方程, 是待定的系数2 过直线 :与圆 :的交点的圆系方程是, 是待定的系数3过圆:与圆:的交点的圆系方程是, 是待定的系数特殊的,当时,就是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_表示：当两圆相交时,为公共弦所在的直线方程.向两圆所引切线长相等的点的轨迹直线方程82. 点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有三种假设,就点 在圆外;点 在圆上;点 在圆内.直线与圆的位置关系有三种 :;.84. 两圆位置关系的判定方法 : 设两圆圆心分别为 O1, O2 ,半径分别为 r 1,r 2,;.(1) 已知圆假设已知切点在圆上,就切线只有一条,其方程是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当圆外时,表示过两个切点的切点弦方程求切点弦方程,仍可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定.过圆外一点的切线方程可设为,再利用相切条件求 k,这时必有两条切线,留意不要漏掉平行于 y 轴的切线斜率为 k 的切线方程可设为,再利用相切条件求 b,必有两条切线(2) 已知圆过圆上的点的切线方程为;斜率为 的圆的切线方程为.(3) 过圆外一点的切线长为的离心率,过焦点且垂直于长轴的弦长为：.,.88. 椭圆的的内外部1 点在椭圆的内部.2 点在椭圆的外部.89. 椭圆的切线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 椭圆上一点处的切线方程是.2 过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.3 椭圆与直线相切的条件是.的离心率,过焦点且垂直于实轴的弦长为：.,.(1) 点在双曲线的内部.(2) 点在双曲线的外部.1 假设双曲线方程为渐近线方程：.(2) 假设渐近线方程为双曲线可设为.(3) 假设双曲线与有公共渐近线,可设为,焦点在 x 轴上,焦点在 y 轴上.(4) 焦点到渐近线的距离总是.93. 双曲线的切线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 双曲线上一点处的切线方程是.2 过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.3 双曲线与直线相切的条件是.94. 抛物线的焦半径公式抛物线,. 其中 为 x 轴的正向绕焦点按逆时针方向旋转到FC的角过焦点弦长. 其中 为倾斜角 上的动点可设为 P或P,其中.的图象是抛物线：1 顶点坐标为.2 焦点的坐标为.3 准线方程是.97. 以抛物线上的点为圆心,焦半径为半径的圆必与准线相切.以抛物线焦点弦为直径的圆,必与准线相切.以抛物线的半径为直径径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切.98. 抛物线的切线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 抛物线上一点处的切线方程是.2 过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.3 抛物线与直线相切的条件是.(1) 过曲线,的交点的曲线系方程是为参数 .(2) 共焦点的有心圆锥曲线系方程, 其中.当时, 表示椭圆 ;当时, 表示双曲线 .100. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式或弦端点 A,由方程消去 y 得到,为直线的倾斜角,为直线的斜率,.1 曲线关于点成中心对称的曲线是.2 曲线关于直线成轴对称的曲线是.特殊的,曲线关于原点成中心对称的曲线是.曲线关于直线 轴对称的曲线是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲线关于直线轴对称的曲线是.曲线关于直线轴对称的曲线是.曲线关于直线轴对称的曲线是.的距离之比为常数,假设,M的轨迹为椭圆.假设,M的轨迹为抛物线.假设,M的轨迹为双曲线.103. 证明直线与直线的平行的摸索途径1 转化为判定共面二直线无交点.2 转化为二直线同与第三条直线平行.3 转化为线面平行.4 转化为线面垂直.5 转化为面面平行 .104. 证明直线与平面的平行的摸索途径1 转化为直线与平面无公共点.2 转化为线线平行.3 转化为面面平行 .105. 证明平面与平面平行的摸索途径1 转化为判定二平面无公共点.2 转化为线面平行.3 转化为线面垂直 .106. 证明直线与直线的垂直的摸索途径1 转化为相交垂直.2 转化为线面垂直.3 转化为线与另一线的射影垂直.4 转化为线与形成射影的斜线垂直 .107. 证明直线与平面垂直的摸索途径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 转化为该直线与平面内任始终线垂直.2 转化为该直线与平面内相交二直线垂直.3 转化为该直线与平面的一条垂线平行.4 转化为该直线垂直于另一个平行平面.108. 证明平面与平面的垂直的摸索途径1 转化为判定二面角是直二面角.2 转化为线面垂直.(3) 转化为两平面的法向量平行.1 加法交换律： = 2 加法结合律： = 3 数乘安排律： = 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量 .对空间任意两个向量、 ,存在实数 使 = 三点共线.、共线且不共线且不共线.112. 共面对量定理向量 与两个不共线的向量、 共面的存在实数对, 使推论空间一点 P位于平面 MAB内的存在有序实数对, 使,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或对空间任肯定点 O,有序实数对,使.和不共线的三点 A、B、C,满意,就当时,对于空间任一点,总有 P、A、B、C 四点共面.当就 P、A、B、C四点不共面时,假设平面 ABC,就 P、A、B、C 四点共面.假设平面 ABC,四点共面与、共面平面 ABC.114. 空间向量基本定理假如三个向量、 不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯独的有序实数组 x,y,z,使 xyz推论设 O、A、B、C是不共面的四点,就对空间任一点P,都存在唯独的三个有序实数 x, y, z,使.已知向量=和轴 , 是 上与 同方向的单位向量 . 作 A 点在 上的射影,作 B点在 上的射影, 就设 , 就1 .2 .3 R.4· .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,B,就=.118. 空间的线线平行或垂直设,就.119. 夹角公式设 , ,就.推论,此即三维柯西不等式 .120. 正棱锥的侧面与底面所成的角为,就.特殊的,对于正四周体每两个面所成的角为,有.121. 异面直线所成角=其中为异面直线所成角,分别表示异面直线的方向向量与平面所成角为平面 的法向量 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的平面角依据详细图形确定是锐角或是钝角或, 为平面, 的法向量 .124 折叠角定理设 AC是 内的任一条直线,AD是 的一条斜线 AB在 内的射影,且 BDAD,垂足为 D,设 AB与AD所成的角为, AD 与 AC所成的角为, AB 与 AC所成的角为就.125. 空间两点间的距离公式假设 A,B,就=.到直线 距离 点 在直线 上,为直线 的方向向量,=.127. 异面直线间的距离是两异面直线,其公垂向量为,分别是上任一点,为间的距离 .到平面 的距离为平面 的法向量,是 的一条斜线段 .129. 异面直线上两点距离公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_. 两条异面直线 a、b 所成的角为 ,其公垂线段的长度为 h. 在直线 a、b 上分别取两点 E、F,.131作截面的依据三个平面两两相交,有三条交线,就这三条交线交于一点或相互平行. 132棱锥的平行截面的性质假如棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相像,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比对应角相等,对应边对应成比例的多边形是相像多边形,相像多边形面积的比等于对应边的比的平方. 相应小棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的立方比.相应小棱锥的的侧面积与原棱锥的的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比133. 球的半径是 R,就其体积, 其外表积(1) 球与长方体的组合体 :长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2) 球与正方体的组合体 : 正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长 ,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四周体的组合体 :棱长为 的正四周体的内切球的半径为 正四周体高的, 外接球的半径为 正四周体高的 .135. 柱体、锥体的体积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是柱体的底面积、是柱体的高 .是锥体的底面积、是锥体的高 .136. 分类计数原理加法原理：.137. 分步计数原理乘法原理：.*：=., N,且 规定.: 1;2;3; 4;5.6.*：=N,且.141. 组合数的两个性质 :1=;2+=. 规定.1;2;3;4=;5.6.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7.8.9.10.143. 排列数与组合数的关系 :.144. 单条件排列以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列1“在位”与“不在位”某特元必在某位有种.某特元不在某位有补集思想着眼位置着眼元素种 .2 紧贴与插空即相邻与不相邻定位紧贴：个元在固定位的排列有种.浮动紧贴：个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法.插空：两组元素分别有 k、h 个,把它们合在一起来作全排列, k 个的一组互不能挨近的全部排列数有种.3 两组元素各相同的插空个大球 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法？当时,无解.当时,有种排法.4 两组相同元素的排列：两组元素有m个和 n 个,各组元素分别相同的排列数为.145. 安排问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 平均分组有归属问题 将相异的个物件等分给个人,各得 件,其安排方法数共有.2 平均分组无归属问题 将相异的个物体等分为无记号或无次序的堆,其安排方法数共有.3 非平均分组有归属问题 将相异的个物体分给个人,物件必需被分完,分别得到, ,件,且, ,这 个数彼此不相等,就其安排方法数共有.4 非完全平均分组有归属问题 将相异的个物体分给个人,物件必需被分完,分别得到 , ,件,且, ,这 个数中分别有 a、b、c、个相等,就其安排方法数有.5 非平均分组无归属问题 将相异的个物体分为任意的, , 件无记号的堆,且 , ,这 个数彼此不相等,就其安排方法数有.6 非完全平均分组无归属问题 将相异的个物体分为任意的, ,件无记号的 堆,且 , , 这 个数中分别有 a、b、c、个相等,就其安排方法数有.7 限定分组有归属问题 将相异的个物体分给甲、乙、丙,等个人,物体必需被分完,假如指定甲得件,乙得件,丙得件,时,就无论, ,等 个数是否全相异或不全相异其安排方法数恒有.146. “错位问题”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 封信与2 个信封全部错位排列数：1.3 封信与3 个信封全部错位排列数：2.4 封信与4 个信封全部错位排列数：9.5 封信与5 个信封全部错位排列数：44.一般记着上面的就够了推广贝努利装错笺问题 : 信 封信与 个信封全部错位的组合数为.推广:个元素与 个位置, 其中至少有个元素错位的不同组合总数为.147. 不定方程的解的个数(1) 方程的正整数解有个.(2) 方程的非负整数解有个.(3) 方程满意条件, 的非负整数解有个.148. 二项式定理;二项绽开式的通项公式.的绽开式的系数关系：.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_149. 等可能性大事的概率：.150. 互斥大事 A, B分别发生的概率的和： PAB=PA PB 151. 个互斥大事分别发生的概率的和：PA1A2 An=PA1 PA2 PAn 152. 独立大事 A, B同时发生的概率： PA·B= PA ·PB