2022年高中数学有关圆锥曲线的经典结论.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -有关解析几何的经典结论一、椭圆1. 点 P 处的切线PT平分 PF1F2 在点 P 处的 外角 .2. PT 平分 PF1F2 在点 P处的外角, 就焦点在直线PT 上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离 .4. 以焦点半径PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 如 P x , y 在椭圆xy21 上,就过P 的椭圆的切线方程是x0 xy0 y1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2000220abx2y2a2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 如 P0 x0 , y0 在椭圆a 2b21 外 ,就过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2,就切点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_弦 P1P2 的直线方程是x0 xy0 y1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 椭圆221aba b 0 的左右焦点分别为F1 , F 2 ,点P 为椭圆上任意一点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F1 PF2,就椭圆的焦点角形的面积为2SbtanF1PF22 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 椭圆a 2b 21 （ a b 0）的焦半径公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| MF1 |aex0 ,| MF2 |aex0 F1 c,0 ,F2 c,0M x0 ,y0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q两点, A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M、N两点,就MF NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q交于点 M, A2P 和 A1Q交于点 N,就 MFNF.x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. AB 是 椭 圆221 的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 , M x0 , y0 abb2为AB 的 中 点 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kOMk AB2 ,a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 K ABb2 x0.a2 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0x2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 如P0 x0 , y0 在 椭 圆1a2b 2内 , 就 被Po所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x xy yx 2y 20000.a 2b 2a2b2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13. 如P0 x0 , y0 在 椭 圆a 2b21内 , 就 过Po的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2x0 xy0 y.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b2a2b2二、双曲线1. 点 P 处的切线PT 平分 PF1F2 在点 P 处的 内角 .2. PT平分 PF1F2 在点 P 处的内角, 就焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交 .4. 以焦点半径PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 . （内切： P 在右支.外切： P 在左支）x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 如 P0 x0 , y0 在双曲线221（ a 0,b 0）上,就过abP0 的双曲线的切线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是 x0 xy0 y1 .a2b2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 如 P0 x0 , y0 在双曲线221 （ a 0,b 0）外 ,就过 Po 作双曲线的两条切ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线切点为P1、P2,就切点弦P1P2 的直线方程是x0 xy0 y221 .ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 双曲线221（ a 0,b o）的左右焦点分别为F1,F 2,点 P 为双曲线上任意ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一点F1PF2,就双曲线的焦点角形的面积为2Sb co tF1 PF22 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 双曲线221 （a 0,b o）的焦半径公式：abF1c,0,F2 c,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 M x0, y0 在右支上时,| MF1 |ex0a , | MF2 |ex0a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 M x0, y0 在左支上时,| MF1 |ex0a , | MF2 |ex0a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P 、Q两点, A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M、N两点,就MF NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点, A1 P 和 A2Q交于点 M, A2P 和 A1Q交于点 N,就 MF NF.x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. AB 是双曲线221 （ a 0,b 0）的不平行于对称轴的弦,M x0 , y0 ab为 AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的中点,就K OMK ABb2 x00a 2 y22,即 K ABb 2 x0.0a 2 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 如 P x, y 在双曲线xy1 （ a 0,b 0）内,就被Po 所平分的中点弦的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2000ab2x xy yx 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程是0000.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b2a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13. 如 P0 x0 , y0 在双曲线221 （ a 0,b 0）内,就过Po 的弦中点的轨迹方ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2程是x0 xy0 y.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 2a 2b2椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论）椭圆x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 椭圆a 2b 21（ a b o）的两个顶点为A1 a,0 ,x2A2 a,0y2,与 y 轴平行的直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线交椭圆于P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是221 .ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 过椭圆a2b21a 0, b 0 上任一点Ax0 , y0 任意作两条倾斜角互补的直b2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线交椭圆于B,C 两点,就直线BC有定向且kBC00a2 y（常数） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 如 P 为椭圆221 （ a b 0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F2 是焦点 ,ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PF1 F2,acPF2 F1,就actanco t.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 设椭圆a2b 21 （ ab 0）的两个焦点为F1、F2,P （异于长轴端点）为椭圆上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_任意一点,在PF1F2 中,记F1PF2,PF1F2,F1 F2 P,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinsinsince .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 如椭圆221 （ a b0）的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,就当0ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e21时,可在椭圆上求一点P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离d 与 PF2 的比例中项 .x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. P 为椭圆a2b 21 （ a b0）上任一点 ,F 1,F 2 为二焦点, A 为椭圆内肯定点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 2a| AF2 | | PA | PF1 |2a| AF1 | , 当且仅当A, F2 , P 三点共线时,等号成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_立.xx 2 yy 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 椭圆0000a 2b21 与直线AxByC0 有公共点的充要条件是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A2 a2B2b2 AxByC 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 已知椭圆221（ a b 0）,O为坐标原点, P、Q为椭圆上两动点, 且 OPOQ .ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1（ ）11112222;（ 2）|OP|22+|OQ|的最大值为4a2 b222;（ 3）S OPQ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| OP的最小值是| OQ |ababa2b2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 过椭圆221 （ a b0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_MN的垂直平分线交x 轴于 P,就 | PF |e .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2| MN |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 已知椭圆a 2b21 （ a b 0） ,A 、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线与 x 轴相交于点P x0 ,0 ,就a 2b 2a2b 2x0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aax2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 设 P 点是椭圆a 2b21 （ a b0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F2 为其焦点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_记F PF,就 1 | PF | PF|2b2.2Sb 2 tan.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1212x2y21 cosPF1 F22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 设 A、 B 是椭圆2 21 （ a b 0 ）的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PAB,PBA,BPA, c、e 分别是椭圆的半焦距离心率,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) | PA |2ab2 | cos|.2tantan1e2 .3S2a 2b2cot.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2c2 cos2x2y2PAB22ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13. 已知椭圆221（ a b 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点E ,过椭圆右焦点F ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的直线与椭圆相交于A、B 两点 , 点 C 在右准线 l 上,且 BCx 轴,就直线AC 经过线段 EF 的中点 .14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,就相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直 .16. 椭圆焦三角形中, 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -e 离心率 .（注 : 在椭圆焦三角形中, 非焦顶点的内、 外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 . ）17. 椭圆焦三角形中, 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 椭圆焦三角形中, 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2双曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 双曲线221 （ a0,b 0）的两个顶点为abA1a,0 ,A2 a,0,与 y 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平行的直线交双曲线于P1、P2 时 A1 P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是a2b21.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 过双曲线221 （ a 0,b o）上任一点abA x0 , y0 任意作两条倾斜角互2b2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_补的直线交双曲线于B,C 两点,就直线BC有定向且kBC0 （常数） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2a y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 如 P 为双曲线221（a 0,b 0）右（或左） 支上除顶点外的任一点,F 1,ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F 2 是 焦 点 ,PF1 F2,PF2 F1ca, 就t a ncot（ 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cat a ncot）.ca22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ca22x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 设双曲线a 2b21 （a 0,b 0）的两个焦点为F1 、F2,P （异于长轴端点）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为双曲线 上任意一点, 在PF1F2中,记F1PF2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PF F,F F P,就有since .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1212sinsina可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 如双曲线221（ a 0,b 0）的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就当 1 e21时,可在双曲线上求一点P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项 .x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. P 为双曲线221 （a 0,b 0）上任一点 ,F 1,F 2 为二焦点, A 为双曲线ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_内肯定点,就| AF2|2a| PA | PF1 | , 当且仅当A, F2 , P 三点共线且P 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -A, F2 在 y 轴同侧时,等号成立.x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 双曲线a2b21（ a 0,b 0）与直线AxByC0 有公共点的充要条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22222件是 A aB bC.x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 已知双曲线a 2b 21（ ba 0）,O为坐标原点, P、Q为双曲线上两动点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 OPOQ .（1）11112222;（ 2）|OP|22+|OQ|的最小值为4 a 2b 222;（3）S OPQ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| OP | OQ |abba22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的最小值是a b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b 2a 2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 过双曲线221 （ a 0,b 0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M,N 两点,弦MN的垂直平分线交x 轴于 P,就 | PF |e .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2| MN |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 已知双曲线221 （ a 0,b 0） ,A 、B 是双曲线上的两点,线段AB 的ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_垂直平分线与x 轴相交于点P x0 ,0 ,就 x0a 2b 2或 x0aa 2b2.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 设 P 点是双曲线221 （ a 0,b 0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F2ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为其焦点记F1PF2,就1| PF1 | PF2 |2b 21cos.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S PF1 F2b2 cot.2x2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 设 A、B 是双曲线221 （a 0,b 0）的长轴两端点,P 是双曲线上的ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一点,PAB,PBA,BPA, c 、e 分别是双曲线的半焦距2ab2 | cos|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_离心率,就有1| PA |.| a2c2cos2|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) tantan1e2 .3S2a2 b2cot.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2PABb2a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13. 已知双曲线221 （a 0,b 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点E ,过双曲ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线右焦点 F 的直线与双曲线相交于A、B 两点 , 点 C 在右准线 l 上,且 BCx轴,就直线AC经过线段 EF 的中点 .14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,就相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直.16. 双曲线焦三角形中, 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e 离心率 . 注 : 在双曲线焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.17. 双曲线焦三角形中, 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 双曲线焦三角形中, 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦,利用方程的根与系数关系来运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_弦长,常用的弦长公式：AB1k 2x1x2112y1y2 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、直线的一般式方程：任何直线均可写成A,B 不同时为0 的形式.3、知直线横截距,常设其方程为 它不适用于斜率为0 的直线 与直线垂直的直线可表示为.4、两平行线间的距离为.5、如直线与直线平行就（斜率）且（在轴上截距）（充要条件）6、圆的一般方程：,特殊提示：只有当时,方程才表示圆心为,半径为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -的圆.二元二次方程表示圆的充要条件是且且.7、圆的参数方程：（为参数）,其中圆心为,半径为.圆的参数方程的主要应用是三角换元：.8、为直径端点的圆方程切线长：过圆（）外一点所引圆的切线的长为（）9、弦长问题：圆的弦长的运算：常用弦心距,弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：.过两圆、交点的圆 公共弦 系为,当时,方程为两圆公共弦所在直线方程 . .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载