2022年因式分解知识点总结 .docx
精品_精品资料_因式分解学问点总结一、学问梳理1. 因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种变形叫因式分解.即： 多项式几个整式的积例： 1 ax1 bx1 xab333因式分解是对多项式进行的一种恒等变形,是整式乘法的逆过程.2. 因式分解的方法：（ 1）提公因式法：定义： 假如多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这个变形就是提公因式法分解因式.公因式：多项式的各项都含有的相同的因式.公因式可以是一个数字或字母,也可以是一个单项式或多项式.系数 取各项系数的最大公约数字母 取各项都含有的字母指数 取相同字母的最低次幂3332342 2例： 12a b c8a b c6a b c 的公因式是解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑,系数部分分别是12、-8 、6,它们可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的最大公约数为2.字母部分a3b3c,a3b2c3 ,a4b2c2都含有因式a3b2c ,故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_多项式的公因式是2 a3b2c .提公因式的步骤第一步：找出公因式.其次步：提公因式并确定另一个因式,提公因式时,可用原多项式除以公因式, 所得商即是提公因式后剩下的另一个因式.留意： 提取公因式后, 对另一个因式要留意整理并化简,务必使因式最简. 多项式中第一项有负号的,要先提取符号.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例 1：把 12a b18ab224a3b3分解因式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 12a2b18ab26ab2a3b24a3b34a2b2 例 2：把多项式 3x4x4x 分解因式解析：由于 4x x4 ,多项式 3 x4x4x 可以变形为 3x4x x4 , 我们可以发觉多项式各项都含有公因式（ x4 ） , 所以我们可以提取公因式（x4 ）后 , 再将多项式写成积的形式 .解： 3 x4x4x= 3 x4x x4= 3x x4例 3：把多项式x22 x 分解因式解：x22 x = x22xx x2（ 2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用,就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.a. 逆用平方差公式： a 2b2 ababb. 逆用完全平方公式： a22abb2ab2c. 逆用立方和公式： a3b3aba2abb2（ 拓展）d. .逆用立方差公式： a3b3aba 2abb 2（ 拓展）留意：公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式.挑选使用公式的方法： 主要从项数上看, 如多项式是二项式可考虑平方差公式.如多项式是三项式,可考虑完全平方公式.解析：此题的各项系数的最大公约数是6,相同字母的最低次幂是ab,故公因式为 6ab.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1：因式分解a 214a49可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： a214a49 = a72可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例 2：因式分解 a2abcbc2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22解： a22abcbc = abc（ 3）分组分解法（拓展）将多项式分组后能提公因式进行因式分解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：把多项式abab1 分解因式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abab1= abab1=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab1) b1a1b1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2将多项式分组后能运用公式进行因式分解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：将多项式 a22ab1b 因式分解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a解：22ab1b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2= a2abb2 1 ab21ab1ab1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）十字相乘法（形如x2 pq xpq xp xq形式的多项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式,可以考虑运用此种方法）方法：常数项拆成两个因数p和q ,这两数的和 pq 为一次项系数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2pq xpq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xqx2 pq xpq xp xq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：分解因式 x2x30分解因式x252x100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_补充点详解补充点详解我们可以将 -30 分解成 p× q 的形式,我们可以将 100 分解成 p× q 的形式, 使 p+q=-1, p× q=-30, 我们就有 p=-6,使 p+q=52, p ×q=100, 我们就有 p=2,q=5 或 q=-6,p=5 .q=50或 q=2,p=50 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2所 以 将 多 项 式 x pq xpq 可 以 分所 以 将 多 项 式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x pqxpq 可以分解为 xp xq解为 xp xqx5x2x-6x50可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2x30x6 x5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x252 x100x50 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 因式分解的一般步骤：假如多项式有公因式就先提公因式,没有公因式的多项式就考虑运用公式法.如是四项或四项以上的多项式,通常采纳分组分解法,最终运用十字相乘法分解因式.因此, 可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”.留意： 因式分解肯定要分解到每一个因式都不能再分解为止, 否就就是不完全的因式分解, 如题目没有明确指出在哪个范畴内因式分解, 应当是指在有理数范畴内因式分解,因此分解因式的结果,必需是几个整式的积的形式.二、例题解析提公因式法提取公因式：假如多项式的各项有公因式,一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法：系数取多项式各项系数的最大公约数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_字母 或多项式因式 取各项都含有的字母 或多项式因式 的最低次幂 .【例 1】 分解因式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 15a ab2n 110ab ba2n1 n 为正整数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 4a 2 n1bm6an2bm m 、 n 为大于 1 的自然数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n21【巩固】 分解因式：xyxz xy2 yx yz,n 为正整数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 2】 先化简再求值,y xyxyxyx ,其中 x2 , y1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【巩固】 求代数式的值：3 x2 2 x13x22 x1x2 x123x ,其可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22中 x2 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 3】 已知：22221bca2,求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a abcbcabc2b2c2a 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n2 n33333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【巩固】 分解因式：322x xyz yzax zzxyx yzxy xza .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公式法平方差公式：a22bab ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公式左边形式上是一个二项式,且两项的符号相反.每一项都可以化成某个数或式的平方形式.右边是这两个数或式的和与它们差的积,相当于两个一次二项式的积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_完全平方公式：22a2abb22a2 abb2 ab2ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_左边相当于一个二次三项式.左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式.左边中间哪一项这两个数或式的积的2 倍,符号可正可负.右边是这两个数或式的和 或差 的完全平方,其和或差由左边中间一项的符号打算 .一些需要明白的公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33aba3b32 ab a ab a 22abb abb 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aba3a b3abb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3ab32a3a b233abb可编辑资料 - - - 欢迎下载
